2013北师大版选修2-1-第二章　空间向量与立体几何练习题及答案解课时作业10.doc

一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120，则直线l与平面的夹角为()A30B60C120D150【解析】直线l与平面的夹角为1209030.【答案】A新 课 标 第 一 网2如图258，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD为正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面所成的角满足()图258A BcosCtan Dsin 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，所以G(，0)，(，1)，又因为平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，则cos，n，所以与平面ABCD的法向量所成角的余弦值为，所以与平面ABCD所成角的余弦值为.【答案】B3如图259，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()图259A.BC. D【解析】以B为原点，直线BC、BA、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(2,2,0)，B1(0,0,1)，C1(2,0,1)设平面BB1D1D的一个法向量n(x，y，z)，则，取n(1，1,0)，直线BC1的方向向量(2,0,1)，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为，满足sin .【答案】D4正方体ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面四边形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM的夹角是()A. BC. D与点P的位置有关【解析】建立如右图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则M(0,2,1)，O(1,1,0)，设P(x,0,2)，其中0x2，则(0,2,1)，(x1，1，2)由0(x1)2(1)120，得AMOP，直线OP与AM所成的角是.【答案】C5把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角ABDC，若AB1，AD，AC，则平面ABD与平面BCD的夹角为()A30 B60 C120 D90【解析】过A作AEBD，过C作CFBD，则AE，BE，即EF1，向量，则|2|2|2|22|cos，cos，二面角是60，故选B【答案】B二、填空题6若v(1,1,0)是直线l的一个方向向量，n(1,2，1)是平面的一个法向量，则l与的夹角为_【解析】cosv，n，v，n，l与的夹角为.【答案】7正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角是_【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，设BC与平面PAC的夹角为，则sin |cos，n|，30.【答案】308正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_【解析】建立如图坐标系，设AB1，则D(，0，)，A(0,0,0)，(，0，)，F(1,0,0)，B(0,1,0)，(1，1,0)w W w . x K b 1.c o Mcos .【答案】三、解答题9如图2510，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点图2510(1)证明：AMPM；(2)求平面PAM与平面AMD夹角的大小【解】(1)证明：以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴，y轴，建立如图所示空间坐标系依题意可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，1，)，(，2,0)，2200，xKb 1. Com 即，AMPM.(2)设n(x，y，z)，且n平面PAM，则取y1，得n(，1，)，取p(0,0,1)，显然p平面ABCD，cosn，p，结合图形可知，平面PAM与平面AMD的夹角为45.图251110如图2511已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小新 课 标 第 一 网【解】设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系如图则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，0)(1)证明：(1，1，)，(，0)，因为00，所以CMSN.(2)(，1,0)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则a0，a0，令x2，得a(2,1，2)xK b1. Co m因为|cosa，|.所以SN与平面CMN所成角为45.11(2013江苏高考)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点图2513(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值【解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4). 因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,