2001年美国犹他州数学竞赛(高中).pdf

2 0 0 2年第 3 期 3 5 2 0 0 1 年美国犹他州数学竞赛 高中 说明 表示 以上 全不对 1 如果 厂 二 且 厂 则 厂 i A i B I C I D 一i E 2 设 g B 则满 足 厂 I g I 的 A和 B的值为 A A 0 B I B 4 I B 0 C A 3 B 一2 D A 一2 B 3 E 以 都对 3 八 一I 的反函数是 A 厂 I 告 B 厂 一 j I 一 c 一 1 一 i D 反函数不存在 E 4 代数式 厂 T 一 一 l I 等于 A 8 7 3 B 7 c 1 2 E 5 一I 的最 大素因 子是 A 3 B 7 C 3 1 D 5 E 1 3 6 化简 二 x x l A x一1 B 1 C 1 一 D 一1 一 r E 7 满足 l 0 g l l o 幽l 0 0的 的值是 A B c l n 2 D 2 E l 2 n A I I 3 一I n 2 一 B l n l n 2一 j C I n 3 1 1 2 一 3 D I n 3 I n 2 一 E 9 1 x 1 l I 2 x 1 l 的解集是 A 1 和 x 1 1 B 一 和 1 j 1 C 0 D 一1 2 B x 一1 C 2 F j 一1 D 一1 0 0 耶 幺 2 t f A v f 4 e T B f 4 一 c 一 4 一 D 12 4 e j E l 6 给定 整数 Jy 则 一 1 的解 一 共有 个 A 0 B 1 c 2 D 大于 2 但有限 E 无穷多 l 7 如 果 满 足 l o g l o g 2 4 则 l o g 是 A 2 3 B 2 C 2 1 D 2 E l 8 满足 i 6 e e 的 的正值是 A l n 4 v B 1 2 1 4 T s c ln 4 1 l 4 一 亍 维普资讯 中 等 数 学 c n 1 9 使 一2 x 4 一2 5为 0的有理 值的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 E 加 如果 b是止实 数 那 么 f 6 6 1 1 6 b X 6 1 1 b 一6 b的负 实数 根的 个 数 可能是 A 与 b 有关 B 1 或 3 C 1 D 0 E 2 1 函数 厂 X 4 5的图像在 1 处的 切线在 轴 f 的黻距是 B c 一 D E 2 2 设 S是边长 为 X的正方 形 如果 当边 的变化 由 X O 到 我 们 用 訾 X 0 h 表 示 s 的 面 积 变 化 的近似值 那 么 这 个近 似值的绝对误差是 A h B 2 h v o C i D h E 2 3 c o s 丌 s i I O O S 2 的 导数是 A 8 x e o s s i n C O S 2 x 一 c o X 丌 s z zf s i n 2 3 2 B 一2 c o s 丌 s i n 丌 2 c o s S i n X 2 x 一 c X 丌 s i n s i n 2 3 2 c 2 c 0 s X 2 s i n 2 一2 s i n X c o s I 一s i n 2 x 3 x 2 E 2 4 不共线 的三点 确定 三条直线 现给定 8个点 没有三点是共线 的 则这 8个点确定的直线 的数 日是 A 8 4 B 2 5 2 C 5 1 2 D 3 3 E 2 5 函数 的值域是 A 0 1 B 一 o U o c 0 1 U 吉 吉 D 0 E 26 设 萋 对 所 有 均 满 足 x f g 的函数 g 是 A g s i n B g C g X D g I I E 过三点 4 5 6 3 和 2 1 的 圆 的 圆心 是 8 7 B 4 3 c 萼 了8 13 131 詈 E 2 8 平面上仃 一点 P 一 如 果点 P到 3 0 的 距离与点 P到 0 3 的距离和为 6 那么 点 P必须 满足 A 3 一2 3 y一2 3 2 4 B 3 X一2 3 一2 2 2 4 C 3 一2 3 v一2 3 1 8 D 3 一 2 3 v一2 2 y 1 8 E 2 9 投掷均匀硬币 l 0次 恰好有三次背面朝上的 概率是 A 1 2 8 B c D l 8 E 3 0 如图2 C是射线 上一点 B D平分 A B C 如果 B A E 3 0 那 么 对 所 有 可 能 的 B C位 置 C B D 的变化范围是 A 0 3 0 B 0 6 0 o C 0 7 5 D 0 l 5 0 E 0 I 8 0 图 2 3 1 为证明平面上凸 N边形内角和为 2 N一5 1 8 0 N 2 下 面是一 个错误 的证法 指 出第 一 个错 误 的是 A 第一步 对 k 3 多边 形为一个三角形 三角 形的三 个 内角和 为 1 8 0 有 2 X 3 5 I 8 0 l 8 0 B 第二步 令 k是一个大于 3的确定的正整 数 假设凸 k边形 内角 和足 2 一5 1 8 0 C 第三 步 一个 凸 1 边形 可 以选 择两 个 顶点 用 一条线段将其连结起来 分成一个 凸 k边形 和一 个三角形 D 第四步 凸 k 1 边形内角和是 2 1 一 5 1 8 0 E 第 五步 由数学 归纳 法 对 任意 整 数 N 2 凸 N边形内角和是 2 N一5 1 8 0 3 2 在十二面的骰子上 数字 l 2 3 4各标两面 数字 5 6 7 8 各标一面 观察发现 骰子的 l 2面的各 面出现的概率是相同的 这个十二面骰子两次落下 的结果 的总 和是 6的概率是 A 吉 B 高 c 1 D E 3 3 有 l 0 0 项 公 差 为 4的 等 差 数 列 的 和 为 维普资讯 2 0 0 2年第 3 期 3 7 2 0 3 0 0 则 此 数 夕 lJ 的弟 一 坝 是 A 1 B 2 C 3 D 4 E 3 4 无 穷 级 数 l一 1 一 1 的 和 是 A l B c 导 D E 3 5 K为等边 A B C边 B C上 一点 如果 B A h l 5 那么 边 A A 的 比 是 A B c D E 3 6 在四边 形 A B C D 中 A B 4 B C 1 C D 7 若 D A B B C D 1 2 0 那 么 D A A 2 3 4 3 B 2 ff 3 C 2 ff 3 D 一2 3 4 3 E 3 7 在 A B C中 A B 6 B C 5 CA 4 若 K位 于 c边并有 3 那么 A K A 2 J 3 B 4 C 3 ff 2 D 2 3 8 等边 A B C和等边 A B D在两个相互垂直 的平 面上 则 C A D s 一 1 B c o s c 一 D 号 3 9 ta n 1 ta n t 的 值 是 A 詈 B 号 c 詈 D 号 E 4 0 满 足 c o t 2 c o t c o t 7的 值 是 A 1 B 2 C 3 D 4 E 韩健龙提供李直译 参 考 答 案 1 D 2 E 3 A 4 D 5 E 6 A 7 D 8 B 9 C 分情 况考虑 当 X 一1 时 I l I I 2 l I 一 一 1 一2x一 1 0 当一1 一 时 I l I I 2 l I 1 一2 x l 寻 当 一 时 I l I I 2 l l 10 综 上 1 1 I I 2 1 I 的解集足 0 1 0 B 1 1 B 因 B T E B E 7 6 0 E B T 6 0 B S T为 正三角形 则 E B T最小 1 2 E 1 一 3 得 4 8 y一2 z 0 即 2 x 4 一 0 与 2 矛盾 故方程组无解 1 3 C 由 1 1 2 2 有 n 2 k 2 k I 2 对 V N 则 n n 2 k 故 2 5 6 2 2 2 3 7 1 4 D 当 一l 时 有 一2 l 0 从而 当 一1 0 一2 不等式成 一 立 当 2时 有 1 一2 0 从 而 一 则 甘 1 5 A 由 T 3 I n x j k e j 2 Z 4 e j f 有2 l f 4 e f 0 1 6 C 由 一 1 了 1 j5 5 1 若 y 5 1 有 Y Y 5 1 则 5 I 5 0 5 2 又 Y 5 2 贝 0 5 I 5 1 与 1 5 5 1 矛盾 所 以 5 删 0 0 T J T 维普资讯 3 8 中 等 数 学 在 1 1 由 5 有 r 0 厂 0的负实数根有 3个 一1 一2 一3 2 1 E 因f 3 x 4 则f 1 7 厂 1 l 0 厂 4 5在 1 1 0 的切线为 Y一1 0 7 一1 因此 此切线在 轴上的截距是 一 2 2 A 因 S的面积 为 A X 则 当 从 一 h 时 A 变化 的绝 对值 为 A 0 h 一A 0 0 h 一 i 2 h x 0 h 又 d x X 0 2 x o 为 4 变化 的近 似值 则 绝 对误 差为 h 2 3 D 厂 c u s x i l l 2 1 c o s 2 x C O S s i c i s 2 x c o s 2 x 一s i n 2 x 3 x 2 2 4 E 因8个点中任三点不共线 则任两点确定一条直 线 所以 8个点确定的直线的数 目是 2 8 2 5 C 令 一5 贝 0 f X 一 X 4 3 9 3 9 1 0 且 0 厕 3 3 且厕 3 6 且 告 2 6 D s i n 2 2 2 2 一 2 13时 结论成立 但 B 中 设 k 3时结 论成立 为 第一 个错 误 3 2 A 6 5 l 4 2 3 3 2 4 l 5 因第一NSN 5 4 3 2 l 的概率分别为 I 吉 吉 1 第 二 掷 出 现l 3 4 5 的 概 率 分 别 为 吉 吉 1 则 所 求 概 率 为 l l l l l 1 l 百 6 3 3 Z 3 3 E 设首项为 1 则 n l n l 9 9 4 又 S 1 0 0 2 0 3 0 0 l 9 9 2 2 0 3 nl 5 3 4 C 1 l l 一 T 石一 一 1 一 一 l l 一 一 1 4 了 3 5 C AK A B s i n ABK s i n AKB 一 s i n 6 0 s i n 6 0 s i n 7 5 一 C O S 1 5 4c o s 3 0 o s i n l 5 2 1 c o s 3 0 3 3 3 9 3 6 1 如图 3 有 4 4 D AB l D BC CD f CD 即4 A D 4 1 D B r 7 7 则 A D 4 A D 4 1 从而 A D 一2 3 5 3 7 C 由 B K 3 B C 5 有 B D 3 s 二 一 二 坐 2 6 5 2 6 3 3 D AB BK 一 AK1 2 4 故 A K 3 3 8 B 如 图 4 取 A B 中点 E 由题 设知