奇异摄动问题SIPG方法的高阶一致收敛性分析.pdf

高校应用数学学报 2 0 1 4 2 9 2 2 3 3 2 4 4 奇异摄动问题S I P G方法的 高阶一致收敛性分析 祝鹏 杨宇博 尹云辉 1 嘉兴学院 数理与信息工程 学院 浙江嘉兴 3 1 4 0 0 1 2 嘉兴学院 南湖学院 浙江嘉兴 3 1 4 0 0 1 摘要 在S h i s h k i n 网格 上分析 了高阶S I P G方法求解一 维对流 扩散型 奇异摄动 问题 的一致收敛性 取尼 1 次分片多项式和 网格剖分单元数为N时 在能量范数度量 下S h i s h k i n 3 格 上可获 得 1 I n 的一致误 差估计 在 数值 算例部 分对理论 分 析 结果进行 了验证 关键词 奇异摄动 问题 S h i s h k i n网格 间断有限元 方法 高阶一致收敛 性 中图分类号 O2 4 1 8 2 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 0 4 4 2 4 2 0 1 4 0 2 2 3 3 1 2 1 引 言 考虑用高阶的对称内罚间断有限元方法求解下列奇异摄动问题 I E U b u C U f i n 0 1 扎 0 1 0 其 中00 c x 0 7 三c 一 6 C 0 0 V x 2 这里 和c 0 为常数 假设条件 2 保证问题 1 对任意的f L 在日 n 空间内有唯一 解 通常 问题 1 的解在X 1 附近有指数边界层 奇 异摄动 问题在 计算流体力学 化 学反应和最优控 制等领域有着 广泛 的应 用 众所 周知 当扰 动参数 非常小时 通常 的数值方法对 问题 1 是无效 的 除非 网格 尺寸特别 小 所 得结果 一 般是不准确的 为获得精确的结果而不用付出昂贵的计算代价 通常采用强稳定的数值方法 在层 自适应 网格上对奇异摄 动 问题进行求解 S h i s h k i n 网格 是一种结构简 单而十 分有 效的层 自 适应网格 间断有限元方法是近年来P D E 数值解领域非常活跃的数值方法 它具有较强的稳 定性 易于自适应和并行计算等特性 对称内罚间断有限元方法 简记为S I PG 方法 非对称内罚 收稿 口期 2 0 1 3 0 1 3 0 修回 日期 2 0 1 4 0 4 0 4 基金项目 浙江省自然科学基金 L Q1 2 A 0 1 0 1 4 浙江省教育厅科研项目 Y 2 0 1 3 3 0 0 2 0 2 3 4 高 校 应 用 数 学 学 报 第2 9 卷第2 期 间断有 限元 方法 简记为N I P G方法 和局部 间断有 限元 方法 简记为L DG方法 是 间断有 限元 方 法中的三类典型代表 f5 6 1讨论了采用双线性元的N I P G 方法在S h i s h k i n 网格上求解具不同边界层的二维奇异摄 动问题的一致收敛性 7 8 1 分别讨论了L DG 方法在S h i s h k i n 网格上求解一维和二维奇异摄动问 题的超收敛性 f9 1 从数值角度讨论了 L D G 方法在S h is h k i n 网格上求解一维和二维奇异摄动问题 的一致超收敛性 f 1 0 1 从理论方面分析了L DG方法在S h i s h k i n 网格上求解一类特殊的一维奇异 摄动 问题的一致超收敛性 1 l 1 从理论角度分析了采用k k 1 次元的L DG方法在S h i s h k i n 网 格 上 求解 一维 奇异 摄动 问题 的一致 收敛 性 f 1 2 从 理论 角度 分析 了采用 双线 性 元 的L DG方法 在S h i s h k i n 网格上求解二维奇异摄动 问题 的一致 收敛性 但 是 关 于S I P G方法 在 层 自适应 网格 上 求解 奇 异 摄 动 问题 的研 究却 未 见 报 道 究其 原 因 N I P G方 法和L DG方法 在 层 自适 应 网格 上 具 有 强制 性 的条 件和 拟 一 致 网格 时相 同 但 是 对S I P G方法则不然 本文主要工作是在S h i s h k i n 网格上分析高阶内罚间断有限元方法求解奇异摄动问题的一致 收敛性 2 给出了S I P G方法在S h i s h k i n 网格上具有强制性的条件 3 lJ 用f 1 3 1 中的插值方法分析 了采用k 次元 的S I P G方法在S h i s h k i n 网格上 的一致 收敛性 4 的数值 实验表 明数值 结果与 理论 结果 正好吻合 本文中C表示与扰动参数 和网格单元数 无关的常数 2 S h i s h k i n网格 I S I P G方法 本节介绍S h i s h k i n 网格和 求解 问题 1 的S I P G方法及其性质 S h i s h k i n 网格设 为正偶数 将区间 1 0 1 一 和 1 一 1 分别等分成 2 个子 区间 其中1 一 为转变点 定义为 一n 1 山 这里k为有限元空间中分片多项式的最高次数 事实上 实际问题中 非常小 通常 N 本 文假定取 E i n N 令7 N x j 一 1 x j J 1 为区域 的一个网格剖分 定义S h i s h k i n 格 以下 简称S 网格1 的网格结 点为 f 2 1 一 a j N J 0 1 2 x j 1 2 入 一j N J 2 1 设h j 一x j 一 1 为 单X I j 的长度 则 f 2 1 一 a N J 1 2 h j I 2 N J x 2 1 一 S I PG方法及 其性 质 为表述方便 先介绍一些必要 的记号 对任 意单元 7 r 定义s 阶的 分片S o b o l e v 空间 日 丁 L 2 u I H T N 祝鹏等 奇异摄动问题S I P G方法的高阶一致收敛性分析 2 3 5 t 乱 薹 札 u 姜 一 其中l I Iio D 和I l 1 D 分别为定义在区域D上的标准S o b o l e v 数和半范数 对s 网格剖分丁 定义相应 的有限元空间 为 喵 钆 L 2 u i j p V T N 其中 乃 表示定义在 上次数不超过七 次的多项式空间 空间中的函数在单元边界处是完全 由于允许间断 函数札 在结点处是多值的 令 让 和 对 分别表示函数 在结 J 一 乱 u J 吉 u 1 1 为表述方便 将跳跃和平均定义 的延拓到边界结点 0 和X N 即 o o 一 u u 求解问 题 1 S I P G 方法的 格式为 求 喵满足 a U N v N L V N V O N 3 a u a l a 2 u 口 t 口 E 0 为与 和 无关的充分大常数 则存在与 和 无关的常数C T 0 0 使得 a v u C o l l I l lI V 2 3 6 高 校 应 用 数 学 学 报 证 由 双线性型的 定义 对任意的 u 嘴 有 a v V 慨 I L y l j o N 2 E j o 利用C a u c h y S c h w a r z 不等式 有 2 e v J j o 第 2 9 卷第 2 期 j o I 1 2 1 1 由平均 的定义和逆估计不等式 有 N 1 一 1 1 v r 1 1 v 旦 O 0 I I羔 N I C I羔 I 1 C z 6 c N I 将 8 式代入 7 式 并取 满足 5 式的条件 则 N 2 j o 2 0 有 2 e v J j o 由 6 式和 9 式可得 a v V j o I 至 1 2 1 I 2 1 1 1 2 z 1 l j o 1 2 捌 z 1 l N 圳 凫 1 川 1 Jl 刊 f 薹 一 I I I J 三 2 L 口 祝鹏 等 奇异摄动 问题S I P G方法的 高阶一致收敛性分析 2 3 7 令 1 5 1m i n 5 一 一百 并要求0 5Z c k 1 则 O Ra v V C o 3 一致收敛性分析 本节将证明误差 一U N 在范数 4 度量下与E 无关 下面先介绍证明过程中将要用到的一些 结论和一种新的插值方法 引理3 1 见 2 设q 为正整数 假设条件 2 成立 则问题 1 的精确解 可分解为 S E 其 中S 为光滑部分 E为边 界层部 分 并且分别满足下列两个方程 一 E s b s c S f 一 E E bEr c E 0 和先验估计 1s f l lE f I C E f e x p f 一 堡 一 生 0 f q 1 0 这里 q 与系数的正则性有关 特别地 如果b C 则 1 0 式对任意的q N均成立 下面介绍将要用到的一种特殊的插值方法 这种插值方法是T 0 b i s l a n 在分析奇异摄动问 题L P s 方法的一致收敛性时提出的 本文称之为T o b i s k 插值 对每个单元 x j 一 1 先按如 下方 式定义 1 个结点泛函 0 w x j 一 1 wCj 2 南 x x j 1叫 州 f k 1 对任意的W H T N 在单元 上定义其局部k 次T o b i s k a 插值为 求7 F KW 使 7 F K W W 0 f 0 全局 k 次T o b i s k a 插值丌 叫 定义为 r W K 7 r K W V K T N 显然全局k 次T o b i s k a 插值7 r 叫 并在整个 区域连续 当尼 1 T o b i s k a 插值 即为L a g r n g e 线 性插值 引理3 2 见 1 3 T o b i s k a 插值有以下的插值误差估计 f 一z c u t K C h 一 lu lk 1 K l 0 1 k 1 V u H I I 一丌 l lL o c 1u I 1 K V u W o 其 中 为剖 分 中的任意单元 为单元 的长度 引理3 3 见 1 3 设Ju 为问题 1 的精确解 并且可以分解为光滑部分s 和边界层部分E 即 S E 令7 r S 和7 r E分别为S 和E在S 网格上的T o b i s l 插值 则u 的T o b i s k a 插值7 r 7 r S 2 3 8 高 校 应 用 数 学 学 报 第2 9 卷第2 期 T r E有如 F的误差估计 l 一丌 乱 l JL o o C N一 1 1 a l l s一丌 s l L 力 C N 一 南 1 0 k 1 1 b N 一 1 T r E l lL Jt E I IL C 2 N 一 N 一 1 1 c l I El l L W E CN一 1 l d I I 一 7 r lIL C N一 in N 1 1 e l l L 2 Ce 一 N一 l 1 2 1 1 f 下面证明在单元边界处 的插值误差估计 为此 需要介绍 下面 的乘性迹不等式 引理3 4 见 1 4 令W H f 则 1w x s 2 II ll ll叫 IlL II llL s 歹 一 l J 引理3 5 若引理3 3 的条件成立 令 一7 r 乱 则平均 叩 在结点 处有如下的估计 c 2N 2k 1nI 七 当 0 2j N 2 11 证根据 引N3 4 和平均的定义 印 十77 专 叩 丐 4 叩 lJ叩 I J j lJ7 7 l lL l l叩 I lL 1 lI叩 I l I J叩 llL I l叼 l lL 1 2 下面分别估计l f叩 I IL 和 7 7 由引N3 3 1 l b 式 可得对任意的 J 1 有 l I s一7 r s l lL C N一 1 3 l I s一7 r s I l L CN一 1 4 下面分两种情况分别估计I E一7 r E J l L 和l l E一7 r E l l L 情形l 当 c 1 时 由引N3 3 1 1 c 式 11 1 1 f 式可得 I I E一7 r E lL I IE I lL I I 7 r E I lL C e 一 N一 C N f e l 2 N一 k q 1 N一 k 3 2 1 C e 一 N一 因为 N一 1 5 类似可得 l I E一7 r E l l L I I E I I L I 丌 E l I L I IE l IL c I IQ r E I lL 逆估计 C e 一 N一 C N 2 f 1 2 N 一 1 N一 k 3 2 1 C e 一 N一 因为 N一 1 6 祝 鹏等 奇异摄动问 题s I P G 方法的壹 二塾些竺 坌堑 2 3 9 t N N2 当 c 时 由引理3 1 和 引N 3 2 对f 1 2 有 I I E一7 r E 一 l l L 2 U J k 2 k 1 ex p 蚪 1 e x p 一 一 c 一 C E 1 2 一 一 ln E 3 1 一z 由三角不等 式丰 u 1 2 1 7 口 J 得 f c 一 1 N 一 N 一 当 c 1 ll L 1 E 一 1 一 ln 1 2 当 c f C z 一 3 N 一 E N 一 当 C 1 I1 11 L 2 1 C e 3一 t2 N 一 1 in N 2 当 l j c 1 当 j 联立f 1 2 和 1 9 a 以及 1 9 b 即可得引理结论 由引理3 3 可推 出下面的插值 误差卵 u一7 r u 的估计结果 定理3 1 假设引理3 3 的条件成立 则插值误差叩 一7 r 有如下估计 7 7 C 一 l n N 证因为 一7 r u 在 上连续 所以 j 0 J 0 N 从而 N 叩 I j l 由引N 3 3 的 1 l a 式和 1 1 e 式 易得 j 1 乱一7 r 札 1 I L 力 I 1 l I l 一7 r l l L 力 I 1 l 1 一丌 l 1 L 力 Il 一7 r I lL o 力 2 l I 一7 r u l lL o C N 一 1 c 1 n 一 1n CN 一 这里用到了两个 不等式 E f l n C 和 El n N C 1 9 a 2 2 1 2 4 0 高 校 应 用 数 学 学 报 第2 9 卷第2 期 I E 7 r EIl n 一 1 2 1 2 c C 2 k 1 exp 一 d 1 2 c e N 1 In N ex p 一 d z C E 1 f 一 l n N 由 1 1 c 和 1 1 f 可得 lE一丌 EI1 o I lE l lL 2 12 l l 7 r E l lL 2 12 C f 1 t 8 1 N N 2 1 N 一 1 1 联 1 1 b U 2 3 以及 2 4 可得 C 1 2 I 札一7 r U l l 1 2 C 1 I S一丌S l 1 力 l E一丌El 1 仃 l I E一7 r I 1 力 C e N 一 C 1 e N E l N 一 1 C 一 I n C f 一 l n N 联立 2 1 和 2 5 立即可得 2 0 下面估计误差 U N一7 r u 定理3 2 假设引理2 2 和引理3 3 的条件成立 的取值为 N J 0 1 则误差 U N一7 r u 有如下估计 I I 1 1 1 1 C f 一 l n N 证 由引理2 1 tl 引理2 2 知 存在与 和 无关的常数 使得 0 a n a l r l a 2 n 由丌 的定义可知 n x j 0 J 0 1 从而 N N n 叩 叩 d x E j l j o I a 2 叩 N 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 祝鹏等 奇异摄动 问题S I P G方法的高阶一致收敛性分析 2 4 1 C a u c h y S c h wa r z 不等式和 2 5 式 有 1 l 由引理3 5 和 5 式可得 取 l 薹 粪 c叩 d 薹 e l 1 1 7 I l 钏 C f 一 l n N Il l J i ll 叩 z J J 1 2 d 1 j I j j 薹 叼 c N a c 叩 N ln N 1 1 2 II1 111 I 叮 驰 l j o j N 2 显然满足 5 式的条件 从而 可得 联立 1 和 的估计 可得 下面估计双线性型a 2 v 0 2 叼 N J 0 1 I C 一 l n N 钏 la l 叩 I C 一 l n N i ll I ll 由分部积分 0 2 叩 可改写为 一 N b 一 6 一 2 咖 N N 这里用到了叼 的连续性和 2 式 厶 枇 在 上由逆估计可得 n C NI I I IL n C Nl ll ll l 在 上用Ca u c h y S c h w a r z 不等式估 计 I j I I II j J C 1 n J 3 0 2 4 2 高 校 应 用 数 学 学 报 第2 9 卷第2 期 这两个估计与引理3 3 的 1 1 a 1 l e 两式联立可得 r d J 1 C I f I lL l I I lL II I IL I l lL 仃 C N一 Nl rl f l l I n N I I 1 1 N一 i n C N i n l I1 1 11 3 2 这 里用 到了不等式 1 n CN C a u c h y S c h w a r z 不等式估计和 2 1 式可得 I l l 2 7 一 c r d l C Il IIL 2 仃 IL 2 仃 II1 111 I J 1 I 上式与 3 1 H 3 2 联立可得 10 2 叩 l C N ln N lI lC J II 3 3 联立 2 8 和 3 0 以及 3 3 立即可得 2 7 由三角不等 式 u U N l l lI 一 J l l J l llU I U N 和定理3 1 和 定理3 2 的结论可得误差u一 t t N的如下估计 定理3 3 设u 和 分别是原问题 1 和离散问题 3 的解 3 式中 按 2 6 式取值 则 一U N C N 1 I n 4 数值算例 本节用一个数值例 子来验证上面证 明的理论结果 的取值如 2 6 所示 例考虑模 型 问题 1 其 中b c 1 取 f x c o s z 1 4 e x 1 1 s i n 1 一e X 1 其精确解为札 z s i n 1 e 1 它在流出边界 1 附近有一个宽度为 i n 的边界 层 表1 列出了S I PG 方法在S 一 网格上求解模型问题 1 的误差 表格中 I n o r d 表示误差估计 为p v i n 形式的收敛阶 图1 和表1 显示数值结果与定N3 3 的理论结果恰好吻合 祝鹏等 奇异摄动 问题S I P G方法的高阶一致收敛性分析 2 4 3 表1 内罚间断有限元 方法在s 网格上的误差 参考文献 Zh a ng Zh i mi n Fi ni t e e l e me n t s u pe r c o n v e r g e nc e o n S hi s hk i n me s h f o r 2 一 D c o nv e c t i o n d i ff u s i o n p r o b le m s J Ma t h e m a t i c s o f C o m p u t a t io n 2 0 0 3 2 4 5 1 1 4 7 1 1 7 7 Ro o s H G S t y ne s M To bi s k n L Ro bu s t n ume r i c a l me t ho d s f o r s i n g ul a r l y pe r t u r be d di ff e r e n t i a l e q u a t i o n s M S p r i n g e r S e r i e s i n C o m p u t a t i o n a l Ma t h e ma t i c s V o l u me 2 4 S p r Jn g e r Ve r l a g Be r l i n He i de l be r g 2 0 08 3 S h i s h k i n G I G r i d a p p r o x i m a t i o n o f s i n g u l a r ly p e r t u r b e d e l li p t i c a n d p a r a b o l i c e q u a t i o n s D Mo s c o w K e l d y s h I n s t i t u e 1 9 9 0 4 A r n o l d D N B r e z z i F C o c k b u r n B Ma r in i L D U n i fi e d a n a ly s is o f d is c o n t i n u o u s G a l e r k in m e t h o d s f o r e l li p t ic p r o b l e m s J S I A M J o u r n a l o n N u m e r ic a l A n a ly s is 2 0 0 2 3 9 1 7 4 9 1 7 7 9 Za r i n H Ro OS H G I n t e r i o r p e n a l t y d i s c o n t i n uo us a pp r o x i ma t i o n s o f c o nv e c t i o n di ffus i o n p r o b l e m s w it h p a r a b o l ic la y e r s J 1 N u m e r is c h e Ma t h e m a t ik 2 0 0 5 1 0 0 7 3 5 7 5 9 Ro o s H G Z a r i n H A s u p e r c l o s e n e s s r e s u l t for t h e d i s c o n t i n u o u s Ga l e r k i n s t a b i l i z a t i o n o f c o n v e c t i o n d i fl u s i o n p r o b l e ms o n S h i s h k i n me s h e s J 1 Nu me r i c a l Me t h o d s for P a r t i a 1 D i 髓r e n t i a 1 E q u a t i o n s 2 0 0 7 2 3 6 1 1 5 6 0 1 5 7 6 Xi e Zi q i n g Zh a ng Zh i mi n Su pe r c o n v e r g e n c e o f DG m e t h od for o n e di m e ns i o na l s i n gu l a r l y p e r t u r b e d p r o b l e ms J J o u r n a l o f C o m p u t a t io n a l Ma t h e m a t i c s 2 0 0 7 2 5 1 8 5 2 0 0 高 校 应 用 数 学 学 报 第2 9 卷第2 期 Zh a ng Zu o z h e n g Xi e Zi qi n g Zh a ng Zh i mi n S upe r c o n v e r g e n c e o f d i s c on t i nu o us Ga l e r k i n m e t h o d s f o r c o n v e c t io n d iff u s io n p r o b l e ms J J o u r n a l o f S c i e n t i fi c C o mp u t in g 2 0 0 9 41 7 0 9 3 Xi e Zi q i n g Zha n g Zu o z h e n g Zh a n g Zhi m i n A n ume r i c a l s t u d y o f u ni f o r m s up e r c on v e r g e n c e fo r s o lv in g s i n g u l a r l y p e r t u r b e d p r o b le m s J J o u r n a l o f C o mp u t a t io n a l Ma t h e m a t i c s 2 0 0 9 2 7 2 8 0 2 98 1 0 X i e Z i q i n g Z h a n g Z h i m i n U n i fo r m s u p e r c o n v e r g e n c e a n a ly s is o f t h e d i s c o n t in u o u s G a l e r k i n m e t h o d fo r a s in g u la r ly p e r t u r b e d p r o b l e m in 1 d J Ma t h e ma t ic s o f C o rn pu t a t i o n 2 01 0 7 9 3 5 45 Z h u Hu i q i n g Ti a n Ha i y a n Z h a n g Z h i mi n Co n v e r e g e n c e a n a l y s i s o f t h e L DG me t h o d f o r s i n g u l a r ly p e r t u r b e d t w o p o i n t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s J C o m m u n i c a t i o n s i n Ma t h e ma t i c a l S c i e n c e s 2 01 1 9 1 0 1 3 1 0 32 Zhu Hu i q i n g Zh a ng Zhi m i n Co nv e r g e nc e a n al y s i s o f t he LDG m e t h od a p pl i e d t o s i ng u l a r l y p e r t u r b e d p r o b l e m s J N u me r i c a l Me t h o d s f o r P a r t ia l D iff e r e n t i a l E q u a t io n s 2 0 1 3 2 9 2 3 9 6 4 2 1 To b i s k a L Ana l ys i s o f a n e w s t a bi l i z e d h i g h e r o r d e r fini t e e l e m e n t me t ho d for a d ve c t i o n d i ff u s i o n e q u a t i o n s J C o m p u t e r Me t h o d s i n A p p l i e d Me c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g 2 0 0 6 1 96 5 3 8 5 5 0 Z hu Pe ng Xi e Zi q i n g Zh ou S h uz i A c o u pl e d c o n t i n u o us di s c o n t i n uo u s FEM a pp r o a c h for c o n v e c t i o n d