2014-2015年选修2-1-3课时提升作业(二十一) 3.1.2.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十一)空间向量的数乘运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量D1A,D1C,A1C1是()A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量【解析】选C.由题意知,A1C1=AC=D1C-D1A,所以向量D1A,D1C,A1C1是共面向量.2.(2014沈阳高二检测)下列命题中正确的是()A.若ab,bc,则a与c所在直线平行B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面C.空间任意两个向量共面D.若ab,则存在惟一的实数,使a=b【解析】选C.对A.若ab,bc,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若ab,则存在惟一的实数,使a=b,错误,当b=0时不成立.【变式训练】AB与CD共线是直线ABCD的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若AB与CD共线,则ABCD,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若ABCD,则必有AB与CD共线.3.(2014西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是()A.OP=OA+OB+OCB.OP=13OA+13OB+13OCC.OP=-OA+12OB+12OCD.以上都不对【解析】选B.因为OP=13OA+13OB+13OC,所以3OP=OA+OB+OC,所以OP-OA=(OB-OP)+(OC-OP),所以AP=PB+PC,所以PA=-PB-PC,所以P,A,B,C共面.【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6OP=OA+2OB+3OC,则()A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【解析】选B.由6OP=OA+2OB+3OC,得(OA-OP)=2(OP-OB)+3(OP-OC),即PA=2BP+3CP.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=e1+e2(,R且,0),则()A.ae1B.ae2C.a与e1,e2共面D.以上三种情况均有可能【解析】选C.若ae1,则存在实数t使得a=te1,所以te1=e1+e2,所以(t-)e1=e2,则e1与e2共线,不符合题意.同理,a与e2也不平行.由向量共面的充要条件知C正确.5.(2014南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2AC+CB=0,则OC等于()A.2OA-OBB.-OA+2OBC.23OA-13OBD.-13OA+23OB【解析】选A.由已知得2(OC-OA)+(OB-OC)=0,所以OC=2OA-OB.6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则下列向量中与B1M相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.12a-12b+cD.-12a-12b+c【解析】选A.B1M=B1B+BM=B1B+12(AD-AB)=B1B+12AD-12AB=-12a+12b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线(填是或否).【解析】设a=b, X| k |B| 1 . c| O |m即3e1+4e2=(-3e1+8e2)=-3e1+8e2,所以-3=3,8=4=-1,=12,所以不存在,使a=b,即a与b不共线.答案:否8.(2014福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用AB,AD,AA1表示向量MN,则MN=.【解析】MN=MB+BC+CN=12AB+AD+12(CB+BB1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1.答案:12AB+12AD+12AA19.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,OA=a,OB=b,OC=c,若OD=xa+yb+zc,则x+y+z=.【解析】在OBD中,OD=OB+BD=OB+AD-AB=OB+BC-AB=OB+OC-OB-(OB-OA)=OC+OA-OB=a-b+c,故x+y+z=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AM=12MC,A1N=2ND.设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将MN表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示MN.【解析】如图所示,连接AN,x k b 1则MN=AN-AM=AA1+A1N-13AC=AA1+23A1D-13(AB+BC)w w w .x k b 1.c o m=AA1+23(AD-AA1)-13(AB+AD)=c+23(b-c)-13(a+b)=-13a+13b+13c.【拓展延伸】数形结合法表示向量用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将MN表示为MN=MA+AA1+A1N.11.(2014武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足OM=13OA+13OB+13OC.(1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面.(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1)由已知,得OA+OB+OC=3OM,所以OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC),所以MA=BM+CM=-MB-MC.所以向量MA,MB,MC共面.(2)由(1)知向量MA,MB,MC共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面,所以点M在平面ABC内.【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量AB,CD,MN共面.【证明】如图,在封闭图形ABNM中,MN=MA+AB+BN,在封闭图形CDNM中,MN=MC+CD+DN,又因为M,N分别为线段AC,BD的中点,所以MA+MC=0,BN+DN=0,+得2MN=AB+CD,即MN=12AB+12CD,所以向量AB,CD,MN共面.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量OP的为()A.OA+2AB+2ACB.OA-3AB-2ACC.OA+3AB-2ACD.OA+2AB-3AC【解析】选C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知AP=xAB+yAC.由图知x=3,y=-2,所以OP=OA+3AB-2AC.2.(2014济南高二检测)下列命题:若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0;|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;若a,b共线,则a与b所在直线平行;对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(x,y,zR),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0正确;|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误; 若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(x,y,zR)且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面.【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.OM=3OA-2OB-OCB.OM+OA+OB+OC=0C.MA+MB+MC=0D.OM=14OB-OA+12OC【解析】选C.因为MA+MB+MC=0,所以MA=-MB-MC,所以M与A,B,C必共面.3.(2013温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则MG-AB+AD等于()A.32DBB.3C.3GMD.2MG【解析】选B.MG-AB+AD=MG-(AB-AD)=MG-DB=MG+BD=MG+2MG=3MG.4.(2014石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+13OB+13OC,则x的值为()A.1B.0C.3D.13【解析】选D.因为OM=xOA+13OB+13OC,且M,A,B,C四点共面,所以x+13+13=1,x=13.新- 课-标 -第-一-网二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=mi+nj是i,j,k共面的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面存在惟一的一对实数x,y使k=xi+yj.答案:充要6.有下列命题:若ABCD,则A,B,C,D四点共线;若ABAC,则A,B,C三点共线;若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-25e2,b=-e1+110e2,则ab;若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).【解析】根据共线向量的定义,若ABCD,则ABCD或A,B,C,D四点共线,故错;ABAC且AB,AC有公共点A,所以正确;由于a=4e1-25e2=-4b,所以ab,故正确;易知也正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.【证明】如图,过B1作l3l1取点C2l3且BC=B1C2.因为NM=12BA,NP=12A1B1,x k b 1 . c o m所以BA=2NM,A1B1=2NP.因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,所以BC=BA=2NM,B1C1=A1B1=2NP.x k b 1于是PQ=PP1+P1Q=B1C2+12C2C1=BC+12(BC1-BC2)=12(BC+B1C1)=12(2NM+2NP)=NM+NP.因此PQ,NM,NP共面.故M,N,P,Q四点共面.8.已知斜三棱柱ABC-ABC,设AB=a,AC=b,AA=c.在面对角线AC上和棱BC上分别取点M和N,使AM=kAC,BN=kBC(0k1).x