江苏省南京市高三数学上学期9月调考试卷（含解析）.doc

江苏省南京市2015届高三上学期9月调考 数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）函数y=cos2xsin2x的最小正周期为2（5分）已知复数z=，其中i是虚数单位，则|z|=3（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从2014-2015学年高一抽取的学生人数为名4（5分）从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是5（5分）已知向量=（2，1），=（0，1）若（+），则实数=6（5分）如图是一个算法的流程图，则最后输出w的值为7（5分）若双曲线的渐近线为，则双曲线c的离心率为8（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是9（5分）设f（x）=x23x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为10（5分）在abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c已知a+c=2b，sinb=sinc，则cosa=11（5分）若f（x）=是r上的单调函数，则实数a的取值范围为12（5分）记数列an的前n项和为sn若a1=1，sn=2（a1+an）（n2，nn*），则sn=13（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：x2+y26x+5=0，点a，b在圆c上，且ab=2，则|+|的最大值是14（5分）已知函数f（x）=x1（e1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（ex）0的x的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知函数f（x）=2sin（2x+）（02）的图象过点（，2）（1）求的值；（2）若f（）=，0，求sin（2）的值16（14分）如图，三棱柱abca1b1c1中，m，n分别为ab，b1c1的中点（1）求证：mn平面aa1c1c；（2）若cc1=cb1，ca=cb，平面cc1b1b平面abc，求证：ab平面cmn17（14分）已知an是等差数列，其前n项的和为sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，s4+b4=30（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cn=anbn，nn*，求数列cn的前n项和18（16分）给定椭圆c：+=1（ab0），称圆c1：x2+y2=a2+b2为椭圆c的“伴随圆”已知椭圆c的离心率为，且经过点（0，1）（1）求实数a，b的值；（2）若过点p（0，m）（m0）的直线l与椭圆c有且只有一个公共点，且l被椭圆c的伴随圆c1所截得的弦长为2，求实数m的值19（16分）如图（示意），公路am、an围成的是一块顶角为的角形耕地，其中tan=2在该块土地中p处有一小型建筑，经测量，它到公路am，an的距离分别为3km，km现要过点p修建一条直线公路bc，将三条公路围成的区域abc建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定b点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积20（16分）已知函数f（x）=ax3+|xa|，ar（1）若a=1，求函数y=f（x）（x，都存在x224已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）xy必做题，第25题、第26题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤25（10分）如图，已知长方体abcda1b1c1d1中，ab=3，bc=2，cc1=5，e是棱cc1上不同于端点的点，且=（1）当bea1为钝角时，求实数的取值范围；（2）若=，记二面角b1a1be的大小为，求|cos|26（10分）某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励x元，求x的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）函数y=cos2xsin2x的最小正周期为考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：利用倍角公式和两角和的余弦公式化y=，其中=arctan2再利用周期性公式即可得出解答：解：y=，其中=arctan2最小正周期为故答案为点评：熟练掌握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出2（5分）已知复数z=，其中i是虚数单位，则|z|=考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模解答：解：z=|z|=故答案为：点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题3（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从2014-2015学年高一抽取的学生人数为32名考点：分层抽样方法 专题：计算题分析：先求出2014-2015学年高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从2014-2015学年高一年级抽取的学生人数解答：解：2014-2015学年高一学生在总体中所占的比例为 =，故应从2014-2015学年高一年级抽取的学生人数为80=32，故答案为：32点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题4（5分）从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是考点：计数原理的应用 专题：计算题；概率与统计；排列组合分析：求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率解答：解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有=6种方法，甲被选中，共有3种方法，甲被选中的概率是=故答案为：点评：本题考查甲被选中的概率，考查学生的计算能力，比较基础5（5分）已知向量=（2，1），=（0，1）若（+），则实数=5考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：本题先将向量坐标化，利用两向量垂直得到它们的数量积为零，求出的值，得到本题答案解答：解：向量=（2，1），=（0，1），（+），22+1（1）=0，=5故答案为：5点评：本题重点考查的是平面向量的数量积，根据两向量垂直得到相关方程，从而求出本题的解本题难度不大，属于基础题6（5分）如图是一个算法的流程图，则最后输出w的值为14考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量w的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答：解：第一次执行循环体后，s=1，不满足退出循环的条件，故t=2，s=3；当s=3，不满足退出循环的条件，故t=3，s=6；s=6，不满足退出循环的条件，故t=4，s=10；s=10，满足退出循环的条件，故t=4+10=14，故答案为：14点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7（5分）若双曲线的渐近线为，则双曲线c的离心率为2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：先利用双曲线的几何性质，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，得=，在两边平方，利用双曲线离心率的定义求其离心率即可解答：解：双曲线的渐近线为，=3即e21=3e=2故答案为2点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，双曲线的渐近线定义及其应用，双曲线的离心率定义及求法，属基础题8（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形解答：解：圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高h=2sin60=点评：考查了学生的空间想象力9（5分）设f（x）=x23x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，考点：函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=x2+3x在x（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答解答：解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=x2+3x在x（1，3）上成立，a=x2+3x=（x）2+，x（1，3）a（0，故答案为：（0，点评：本题考查二次函数的性质、函数的零点存在的条件，考查转化思想10（5分）在abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c已知a+c=2b，sinb=sinc，则cosa=考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：利用正弦定理化简已知第二个等式得到b=c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosa，将表示出的b与a代入计算即可求出值解答：解：将sinb=sinc利用正弦定理化简得：b=c，代入a+c=2b中得a+c=2c，即a=c，cosa=故答案为：点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键11（5分）若f（x）=是r上的单调函数，则实数a的取值范围为考点：函数y=asin（x+）的图象变换；二倍角的正弦 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）直接由函数f（x）=2sin（2x+）的图象过点（，2）列式求得sin=1，然后根据02得答案；（2）由f（）=求得cos=，进一步求得sin2，展开两角差的正弦得答案解答：解：（1）函数f（x）=2sin（2x+）（02）的图象过点（，2），f（）=2sin（+）=2，即sin=1 02，=；（2）由（1）得，f（x）=2cos2xf（）=，cos=又0，sin=sin2=2sincos=，cos2=2cos21=从而sin（2）=sin2coscos2sin=点评：本题考查了y=asin（x+）型函数的图象和性质，训练了由已知三角函数的值求三角函数的值，是中档题16（14分）如图，三棱柱abca1b1c1中，m，n分别为ab，b1c1的中点（1）求证：mn平面aa1c1c；（2）若cc1=cb1，ca=cb，平面cc1b1b平面abc，求证：ab平面cmn考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）取a1c1的中点p，连接ap，np证得四边形amnp为平行四边形再由线面平行的判定定理即可得到；（2）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证解答：证明：（1）取a1c1的中点p，连接ap，np因为c1n=nb1，c1p=pa1，所以npa1b1，np=a1b1 在三棱柱abca1b1c1中，a1b1ab，a1b1=ab故npab，且np=ab因为m为ab的中点，所以am=ab所以np=am，且npam所以四边形amnp为平行四边形所以mnap 因为ap平面aa1c1c，mn平面aa1c1c，所以mn平面aa1c1c （2）因为ca=cb，m为ab的中点，所以cmab 因为cc1=cb1，n为b1c1的中点，所以cnb1c1在三棱柱abca1b1c1中，bcb1c1，所以cnbc因为平面cc1b1b平面abc，平面cc1b1b平面abc=bccn平面cc1b1b，所以cn平面abc 因为ab平面abc，所以cnab 因为cm平面cmn，cn平面cmn，cmcn=c，所以ab平面cmn点评：本题考查线面平行的判定定理和线面、面面垂直的判定和性质定理，考查逻辑推理能力，注意定理的条件的全面性，属于基础题17（14分）已知an是等差数列，其前n项的和为sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，s4+b4=30（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cn=anbn，nn*，求数列cn的前n项和考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：本题（1）利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d（3分）由条件a4+b4=21，s4+b4=30，得方程组解得所以an=n+1，bn=2n，nn*（2）由题意知，cn=（n+1）2n记tn=c1+c2+c3+cn则tn=c1+c2+c3+cn=22+322+423+n2n1+（n+1）2n，2 tn=222+323+（n1）2n1+n2n+（n+1）2n+1，所以tn=22+（22+23+2n）（n+1）2n+1，即tn=n2n+1，nn*点评：本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题18（16分）给定椭圆c：+=1（ab0），称圆c1：x2+y2=a2+b2为椭圆c的“伴随圆”已知椭圆c的离心率为，且经过点（0，1）（1）求实数a，b的值；（2）若过点p（0，m）（m0）的直线l与椭圆c有且只有一个公共点，且l被椭圆c的伴随圆c1所截得的弦长为2，求实数m的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）记椭圆c的半焦距为c由题意，得b=1，=，由此能求出a，b（2）由（1）知，椭圆c的方程为+y2=1，圆c1的方程为x2+y2=5设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m解答：（本小题满分16分）解：（1）记椭圆c的半焦距为c由题意，得b=1，=，c2=a2+b2，解得a=2，b=1（4分）（2）由（1）知，椭圆c的方程为+y2=1，圆c1的方程为x2+y2=5显然直线l的斜率存在设直线l的方程为y=kx+m，即kxy+m=0 （6分）因为直线l与椭圆c有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0从而=（8km）24（1+4k2）（ 4m24）=0化简，得m2=1+4k2（10分）因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d=即= （14分）由，解得k2=2，m2=9因为m0，所以m=3 （16分）点评：本题主要考查实数值的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力19（16分）如图（示意），公路am、an围成的是一块顶角为的角形耕地，其中tan=2在该块土地中p处有一小型建筑，经测量，它到公路am，an的距离分别为3km，km现要过点p修建一条直线公路bc，将三条公路围成的区域abc建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定b点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：过点p作peam，pfan，垂足为e、f，连接pasabc=sabp+sapc=x3+y=（3x+y），sabc=xy，可得3x+5y=2xy，利用基本不等式，即可得出结论解答：解：过点p作peam，pfan，垂足为e、f，连接pa设ab=x，ac=y因为p到am，an的距离分别为3，即pe=3，pf=由sabc=sabp+sapc=x3+y=（3x+y） （4分）因为tan=2，所以sin=所以sabc=xy （8分）由可得xy=（3x+y）即3x+5y=2xy （10分）因为3x+5y2，所以 2xy2解得xy15 （13分）当且仅当3x=5y取“=”，结合解得x=5，y=3所以sabc=xy有最小值15答：当ab=5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2（16分）点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（16分）已知函数f（x）=ax3+|xa|，ar（1）若a=1，求函数y=f（x）（x，都存在x2，都存在x2时，f（x），当x，都存在x2分析：法一、化直线的参数方程为普通方程，设出圆上点的坐标，由点到直线的距离公式到关于三角函数式，则点p到直线l的距离的最小值可求；法二、化化直线的参数方程为普通方程，化圆的参数方程为普通方程，求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，则点p到直线l的距离的最小值可求解答：解：（方法一）由消掉参数t得直线l的普通方程为xy+=0点p在圆c上，故设p（+cos，sin），从而点p到直线l的距离d=dmin=1即点p到直线l的距离的最小值为1（方法二）直线l的普通方程为xy+=0由，得圆c的圆心坐标为（，0），半径为1从而圆心c到直线l的距离为d=点p到直线l的距离的最小值为1点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式，是中档题【选修4-5：不等式选讲】24已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）xy考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：展开（ax+by）（bx+ay）利用基本不等式的性质即可得出解答：证明：a，b是正数，且a+b=1，（ax+by）（bx+ay）=abx2+（a2+b2）xy+aby2=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy ab2xy+（a2+b2）xy =（a+b）2xy=xy即（ax+by）（bx+ay）xy成立点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题必做题，第25题、第26题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤25（10分）如图，已知长方体abcda1b1c1d1中，ab=3，bc=2，cc1=5，e是棱cc1上不同于端点的点，且=（1）当bea1为钝角时，求实数的取值范围；（2）若=，记二面角b1a1be的大小为，求|cos|考点：二面角的平面角及求法；向量数乘的运算及其几何意义 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系根据bea1为钝角时，cosbea10，即0，进而求出实数的取值范围；（2）求出平面bea1的一个法向量为，平面ba1b1的一个法向量为，代入向量夹角公式，可得|cos|的值解答：解：（1）以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立如图所示的空间直