江苏省南京市宁海中学高三数学上学期开学试题（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省南京市宁海中学高三（上）开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1若a=a， b=0，a2，ab，则a=_2命题：“xr，|x|0”的否定是_3实数a，br，i是虚数单位，若a+2i与2bi互为共轭复数，则a+b=_4双曲线x2y2=2的右准线方程为_5某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间4，5）上的数据的频数为_6图是一个算法的流程图，则输出的n=_7现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为_8求y=（x1）的最小值为_9已知m，n是不重合的两条直线，是不重合的两个平面下列命题：若，m，则m； 若m，m，则；若m，mn，则n； 若m，m，则其中所有真命题的序号是_10将函数f（x）=sin（2x+）（0）的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则等于_11设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为sn若s2=3a2+2，s4=3a4+2，则q=_12已知正abc的边长为1，则=_13在平面直角坐标系xoy中，已知点a（0，2），b（0，1），d（t，0）（t0），m为线段ad上的动点若am2bm恒成立，则正实数t的最小值为_14在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a0时，实数b的最小值是_二、解答题：本大题共6小题，共90分15（14分）已知，（）求cos的值；（）求sin的值16（14分）如图，在三棱锥pabc中，平面pac平面abc，bac=60，e，f分别是ap，ac的中点，点d在棱ab上，且ad=ac求证：（1）ef平面pbc；（2）平面def平面pac17（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）（1）若椭圆c的离心率为，右准线l的方程为x=4，求椭圆方程；（2）若椭圆c的下顶点为b，p为椭圆c上任意一点，当p是椭圆c的上顶点时，pb最长，求椭圆c的离心率的范围18（16分）如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中ab长为2km，c、d两点在半圆弧上，满足bc=cd，设cob=（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段ab、bc、cd和da组成，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值；（2）若要在景区内种植鲜花，其中在aod和boc内种满鲜花，在扇形cod内种一半面积的鲜花，则当为何值时，鲜花种植面积s最大19（16分）设t0，已知函数f （x）=x2（xt）的图象与x轴交于a、b两点（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数y=f（x）在点p（x0，y0）处的切线的斜率为k，当x0（0，1时，k恒成立，求t的最大值；（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点c，d，若四边形abcd为菱形，求t的值20（16分）（文科）已知数列an的前n项的和为sn，点p（n，sn）（nn*）在函数f（x）=x2+7x的图象上（）求数列an的通项公式及sn的最大值；（）令bn=（nn*），求数列nbn的前n项的和tn；（）设cn=，数列cn的前n项的和为rn，求使不等式rn对一切nn*都成立的最大正整数k的值2015-2016学年江苏省南京市宁海中学高三（上）开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1若a=a，b=0，a2，ab，则a=1【考点】集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题；集合【分析】由a=a，b=0，a2，ab，可得a=0或1a=0，不满足集合中元素的互异性，即可得出结论【解答】解：a=a，b=0，a2，ab，a=0或a=a2a=0或1a=0，不满足集合中元素的互异性a=1故答案为：1【点评】本题考查了集合之间的关系，属于基础题2命题：“xr，|x|0”的否定是xr，|x|0【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“xr，|x|0”的否定是：x0，exx+1故答案为：xr，|x|0【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3实数a，br，i是虚数单位，若a+2i与2bi互为共轭复数，则a+b=4【考点】复数的基本概念 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用共轭复数的概念结合已知求得a，b的值，则答案可求【解答】解：a+2i与2bi互为共轭复数，则a+b=4故答案为：4【点评】本题考查复数相等的条件，考查了共轭复数的概念，是基础题4双曲线x2y2=2的右准线方程为x=1【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的简单性质直接求解【解答】解：把x2y2=2化为标准形式，得：a=b=，c=2，其右准线方程为： x=1故答案为：x=1【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题5某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间4，5）上的数据的频数为30【考点】频率分布直方图 【专题】概率与统计【分析】根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间4，5）上的频率，再由频率=，计算其频数【解答】解：根据题意，在区间4，5的频率为：1（0.05+0.1+0.15+0.4）1=0.3，而总数为100，因此频数为30故答案为30【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题6图是一个算法的流程图，则输出的n=9【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】模拟执行算法框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当s=170时，不满足条件s100，退出循环，输出n的值为9【解答】解：模拟执行算法框图，可得n=1，s=0满足条件s100，s=2，n=3满足条件s100，s=2+23=10，n=5满足条件s100，s=10+25=42，n=7满足条件s100，s=42+27=170，n=9不满足条件s100，退出循环，输出n的值为9故答案为：9【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题7现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计【分析】先计算从五张牌中随机取2张牌的基本事件总数，再计算所取2张牌均为红心的基本事件个数，代入古典概型公式，可得答案【解答】解：这五张牌中随机取2张牌，共有=10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中所取2张牌均为红心，共有=3种不同情况，故所取2张牌均为红心的概率p=，故答案为：【点评】此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键8求y=（x1）的最小值为9【考点】基本不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x1，x+10y=（x+1）+5+5=9，当且仅当x=1时取等号y=的最小值为9故答案为：9【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题9已知m，n是不重合的两条直线，是不重合的两个平面下列命题：若，m，则m； 若m，m，则；若m，mn，则n； 若m，m，则其中所有真命题的序号是【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】空间位置关系与距离【分析】由面面垂直和线面垂直的性质即可判断；由垂直于同一直线的两平面平行，可判断；由线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断【解答】解：若，m，则m或m，故错；若m，m，由面面平行的判定定理得，故正确；若m，mn，则n或n或n，故错；若m，m，则或，相交，故错故答案为：【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，平面与平面平行、垂直的判定和性质的运用，熟记这些知识是解题的关键10将函数f（x）=sin（2x+）（0）的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则等于【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）（0）的图象上所有点向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin2（x）+=sin（2x+）；再根据所得图象关于原点对称，可得函数y=sin（2x+）为奇函数，故有=k，kz再根据0，可得=，故答案为：【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题11设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为sn若s2=3a2+2，s4=3a4+2，则q=【考点】等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】经观察，s4s2=a3+a4=3（a4a2），从而得到q+q2=3（q21），而q0，从而可得答案【解答】解：等比数列an中，s2=3a2+2，s4=3a4+2，s4s2=a3+a4=3（a4a2），a2（q+q2）=3a2（q21），又a20，2q2q3=0，又q0，q=故答案为：【点评】本题考查等比数列的性质，观察得到s4s2=a3+a4=3（a4a2）是关键，考查观察、分析及运算能力，属于中档题12已知正abc的边长为1，则=2【考点】平面向量数量积的性质及其运算律；向量加减混合运算及其几何意义 【专题】计算题【分析】由题意可得 =（）=7+3，再利用两个向量的数量积的定义求出结果【解答】解：由题意可得 =（）=7+3=711cos120+311cos60=+=2，故答案为2【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两个向量的夹角的值，属于基础题13在平面直角坐标系xoy中，已知点a（0，2），b（0，1），d（t，0）（t0），m为线段ad上的动点若am2bm恒成立，则正实数t的最小值为4【考点】两点间距离公式的应用 【专题】综合题；直线与圆【分析】设m（x，y），由点m在线段ad上，得，即2x+ty2t=0，由am2bm，得（x）2+（y+）2，依题意，线段ad与圆（x）2+（y+）2至多有一个公共点，故，由此入手即可求出正实数t的最小值【解答】解：设m（x，y），由点m在线段ad上，得，即2x+ty2t=0，由am2bm，得（x）2+（y+）2，依题意，线段ad与圆（x）2+（y+）2至多有一个公共点，故，解得t或t，t是使am2bm恒成立的最小正整数，t=4，故答案为：4【点评】本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a0时，实数b的最小值是1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alnaa，再求导，求最值即可【解答】解：设出曲线上的一个切点为（x，y），由y=alnx，得y=，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，y=1，x=a，切点为（a，alna），代入y=x+b，可得b=alnaa，b=lna+11=0，可得a=1，函数b=alnaa在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，a=1时，b取得最小值1故答案为：1【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力二、解答题：本大题共6小题，共90分15（14分）已知，（）求cos的值；（）求sin的值【考点】两角和与差的正弦函数；角的变换、收缩变换 【专题】计算题【分析】（）根据的范围，确定cos0，直接利用二倍角的余弦，求cos的值；（）根据（），求出sin，再求出，通过sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin求sin的值【解答】解：（）因为，cos0又，所以（）根据（），得而，且，所以故sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=（14分）【点评】本题是基础题，考查二倍角的余弦，平方关系的应用，角的变换技巧，注意角的范围与三角函数值的符号，是解题中需要注意的16（14分）如图，在三棱锥pabc中，平面pac平面abc，bac=60，e，f分别是ap，ac的中点，点d在棱ab上，且ad=ac求证：（1）ef平面pbc；（2）平面def平面pac【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）利用三角形中位线定理推导出efpc，由此能证明ef平面pbc（2）由已知条件推导出acd为正三角形，dfac，从而得到df平面pac，由此能证明平面def平面pac【解答】证明：（1）在pac中，因为e，f分别是ap，ac的中点，所以efpc又因为ef平面pbc，pc平面pbc，所以ef平面pbc（2）连结cd因为bac=60，ad=ac，所以acd为正三角形因为f是ac的中点，所以dfac因为平面pac平面abc，df平面abc，平面pac平面abc=ac，所以df平面pac 因为df平面def，所以平面def平面pac（14分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养17（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）（1）若椭圆c的离心率为，右准线l的方程为x=4，求椭圆方程；（2）若椭圆c的下顶点为b，p为椭圆c上任意一点，当p是椭圆c的上顶点时，pb最长，求椭圆c的离心率的范围【考点】椭圆的简单性质 【专题】综合题；方程思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由离心率公式和准线方程，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得b（0，b），设p（acos，bsin），由两点的距离公式和同角的平方关系，化为正弦的式子，再设sin=t（1t1），由二次函数的最值求法，即可得到所求范围【解答】解：（1）由题意可得e=，=4，解得a=2，c=1，b=，即有椭圆方程为+=1；（2）由题意可得b（0，b），设p（acos，bsin），则|pb|=，令sin=t（1t1），由函数y=（b2a2）t2+2b2t+a2+b2，对称轴为t=，由题意可得1时，区间1，1为增区间，t=1，即p为上顶点时，取得最大值，则a22b2=2a22c2，即有a22c2，e=，则有离心率的范围是（0，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和准线方程，考查离心率的范围，注意运用椭圆的参数方程和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题18（16分）如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中ab长为2km，c、d两点在半圆弧上，满足bc=cd，设cob=（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段ab、bc、cd和da组成，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值；（2）若要在景区内种植鲜花，其中在aod和boc内种满鲜花，在扇形cod内种一半面积的鲜花，则当为何值时，鲜花种植面积s最大【考点】解三角形的实际应用 【专题】综合题；解三角形【分析】（1）利用余弦定理求出bc，cd，da，可得l，利用换元、配方法，即可得出结论；（2）利用三角形的面积公式、扇形的面积公式，再利用导数，可得当为何值时，鲜花种植面积s最大【解答】解：（1）由题意，bc=cd=2sin，da=2cos，l=2+4sin+2cos（0），令t=sin，则（0t），l=4（t）2+5，t=时，即=，l的最大值为5；（2）s=sin+sin（2）+=sin+sin2+，s=+cos2+=0，8cos2+2cos3=0，cos=，=，且0时，函数单调递增，时，函数单调递减，=时，鲜花种植面积s最大【点评】本题考查余弦定理，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键19（16分）设t0，已知函数f （x）=x2（xt）的图象与x轴交于a、b两点（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数y=f（x）在点p（x0，y0）处的切线的斜率为k，当x0（0，1时，k恒成立，求t的最大值；（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点c，d，若四边形abcd为菱形，求t的值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象；函数恒成立问题 【专题】导数的综合应用【分析】（1）由导数大于0可求单调递增区间，导数小于0可求单调递减区间；（2）当x0（0，1时，k恒成立，转化为即t，x0（0，1只需求其最小值；（3）由题意画出图象，用距离相等可求t的值【解答】解：（1）函数f （x）=x2（xt）=x3tx2，f（x）=3x22tx=x（3x2t）令x（3x2t）0，解得0x，（t0）；令x（3x2t）0，解得x0，或x，故函数f （x）的单调递减区间为（0，）；单调递增区间为（，0）和（，+）（2）由题意及（1）知，k=f（x0）=3x022tx0，x0（0，1，k恒成立即当x0（0，1时，3x0