江苏省南京市建邺区高三数学模拟考试试题（含解析）苏教版.doc

江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1（5分）（2013 建邺区模拟）已知映射f：ab，其中a=b=r，对应法则：f：xy=x22x+2若对实数kb，在集合a中不存在原象，则k的取值范围是（）ak1bk1ck1dk1考点：映射专题：计算题分析：设x22x+2=k，据题意知此方程应无实根，用判别式表示方程无实根，即判别式小于0，解出k的值解答：解：设x22x+2=k，据题意知此方程应无实根=（2）24（2k）0，12+k0k1，故选b点评：本题考查映射的意义，本题解题的关键是利用一元二次方程的解的判别式表示出符合题意的不等式2（5分）（2013 建邺区模拟）（1x）5（1+x）3的展开式中x3的系数为（）a6b6c9d9考点：二项式系数的性质.专题：计算题分析：先把（1x）5（1+x）3等价转化为（1x）2（1x）（1+x）3，进一步等价转化为（x22x+1）（13x2+3x4x6），由此可求出展开式中x3的系数解答：解：（1x）5（1+x）3=（1x）2（1x）（1+x）3=（x22x+1）（13x2+3x4x6）展开式中x3的系数为（2）（3）=6故选b点评：本题考查二项式系数的性质，解题时要认真审题，根据多项式的运算法则合理地进行等价转化3（5分）（2013 建邺区模拟）等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9的值是（）a14b15c16d17考点：等差数列的性质.分析：先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解解答：解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a9=（3a9a11）=（a9+a7+a11a11）=（a9+a7）=16故选c点评：本题主要考查等差数列的性质4（5分）（2013 建邺区模拟）已知，则sin2x的值为（）abcd考点：二倍角的正弦.专题：计算题分析：解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sin的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sin的值代入即可求出值解答：解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以故选d点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键5（5分）（2013 建邺区模拟）设地球半径为r，若甲地位于北纬45东经120，乙地位于南纬度75东经120，则甲、乙两地球面距离为（）arbrcrdr考点：球面距离及相关计算.专题：计算题分析：甲、乙两地都在东经120，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离解答：解：由于甲、乙两地都在东经120，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：故选d点评：本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题6（5分）（2013 建邺区模拟）若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对任意xr，有ax2+bx+c0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法.专题：压轴题分析：要判断“a0且b24ac0”是“对任意xr，有ax2+bx+c0”什么条件，我们要先假设“a0且b24ac0”成立，然后判断“对任意xr，有ax2+bx+c0”是否成立，然后再假设“对任意xr，有ax2+bx+c0”成立，再判断“a0且b24ac0”是否成立，然后根据结论，结合充要充要条件的定义，即可得到结论解答：解：若a0且b24ac0，则对任意xr，有ax2+bx+c0，反之，则不一定成立如a=0，b=0且c0时，也有对任意xr，有ax2+bx+c0故“a0且b24ac0”是“对任意xr，有ax2+bx+c0”的充分不必要条件故选a点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系7（5分）（2013 建邺区模拟）双曲线x2y2=2012的左、右顶点分别为a1、a2，p为其右支上一点，且a1pa2=4pa1a2，则pa1a2等于（）a无法确定bcd考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设p（x，y），y0，过点p作x轴的垂线ph，垂足为h，则可得，利用a1pa2=4pa1a2，即可求pa1a2的值解答：解：设p（x，y），y0，过点p作x轴的垂线ph，垂足为h，则，（ 其中a2=2012），设pa1a2=，则pa2h=5，即，故选d点评：本题考查双曲线的标准方程，考查正切函数的定义，属于基础题8（5分）（2013 建邺区模拟）已知直线ax+by1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）a66条b72条c74条d78条考点：直线与圆的位置关系；计数原理的应用.专题：数形结合分析：先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有3个，依圆的对称性知，圆上共有34=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有12个点任取2点确定一条直线，利用计数原理求出直线的总数，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax+by1=0不经过原点，如图所示上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线利用总数减去12，再减去6即可得到满足题意直线的条数解答：解：当x0，y0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有（1，7）、（5，5）、（7，1），根据题意画出图形，如图所示：根据圆的对称性得到圆上共有34=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有c122=66条，过每一点的切线共有12条，上述直线中经过原点的有6条，如图所示，则满足题意的直线共有66+126=72条故选b点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及计数原理的运用根据对称性找出满足题意的圆上的整数点的个数是解本题的关键9（5分）（2013 建邺区模拟）从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数（）abcd考点：排列、组合及简单计数问题；分层抽样方法.专题：计算题；概率与统计分析：根据题意，由分层抽样方法确定需要抽出的男、女学生的人数，再由组合数公式计算可得男、女学生的抽取方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，从8名女生，4名男生中按性别比例分层抽样选出6名学生，需要抽出男生6=2人，有c42种抽取方法，需要抽出女生6=4人，有c84种抽取方法，则共有c84c42种抽取方法，故选a点评：本题考查排列、组合的运用，涉及分层抽样方法；关键是由分层抽样方法确定抽取的男、女学生人数10（2013 建邺区模拟）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）a0.27，78b0.27，83c2.7，78d2.7，83考点：频率分布直方图.专题：计算题；压轴题；图表型分析：先根据直方图求出前2组的频数，根据前4组成等比数列求出第3和第4组的人数，从而求出后6组的人数，根据直方图可知4.64.7间的频数最大，即可求出频率a，根据等差数列的性质可求出公差d，从而求出在4.6到5.0之间的学生数为b解答：解：由频率分布直方图知组矩为0.1，4.34.4间的频数为1000.10.1=14.44.5间的频数为1000.10.3=3又前4组的频数成等比数列，公比为3根据后6组频数成等差数列，且共有10013=87人从而4.64.7间的频数最大，且为133=27，a=0.27，设公差为d，则627+d=87d=5，从而b=427+（5）=78故选：a点评：本题考查频率分布直方图的相关知识，以及等差数列和等比数列的应用等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时考查分析问题的能力，属于基础题11（2013 建邺区模拟）+=（）aibic1d1考点：复数代数形式的混合运算.分析：先化简复数的分母，然后再整理即可解答：解：+=故选d点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题12（5分）（2013 建邺区模拟）如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）f（x）+x的解集为（）ax|x0或x2bx|2x或x2cx|2x或x2dx|x，且x0考点：椭圆的简单性质.专题：计算题；数形结合；转化思想分析：由图象知f（x）为奇函数，原不等式可化为f（x），把包含这两段弧的椭圆方程和直线y= 联立，解得x的值，结合图象得到不等式的解集解答：解：由图象知f（x）为奇函数，f（x）=f（x）原不等式可化为f（x）由图象易知，包含这两段弧的椭圆方程为+y2=1，与直线y=联立得+=1，x2=2，x=观察图象知：x0，或x2，故选a点评：本题考查椭圆的标准方程，奇函数的性质，体现了数形结合及转化的数学思想13（5分（2013 建邺区模拟）用正偶数按下表排列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826则2006在第几行第几列（）a第 251 行第 3 列b第 250 行第 4 列c第 250 行第 3 列d第 251 行第 4 列考点：数列的函数特性；等差数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列分析：观察数表，可以发现数的排列规律：每行有4个偶数，并且奇数行前空一格，偶数行后空一格；所有偶数按从小到大的顺序，依“之”字形排列；故知2006是第20062=1003个偶数，从而得出2006应排在哪行哪列解答：解：每行用去4个偶数，而2006是第20062=1003个偶数又10034=250余3，前250行共用去2504=1000个偶数，剩下的3个偶数放入251行，考虑到奇数行所排数从左到右由小到大，且前空一格，2006在251行，第4列故选d点评：本题考查了由数表表示的数列的应用，解题时应细心观察，找出数的排列规律，应用所学知识，解答出结果来14（5分（2013 建邺区模拟）半径为4的球面上有a、b、c、d四点，ab，ac，ad两两互相垂直，则abc、acd、adb面积之和sabc+sacd+sadb的最大值为（）a8b16c32d64考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球内接多面体.专题：综合题；压轴题分析：ab，ac，ad为球的内接长方体的一个角，故a2+b2+c2=64，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值解答：解析：c根据题意可知，设ab=a，ac=b，ad=c，则可知ab，ac，ad为球的内接长方体的一个角故a2+b2+c2=64，而故选 c点评：本题考查了利用构造法求球的直径、利用基本不等式求最值问题，考查了同学们综合解决交汇性问题的能力二、填空题：本大题共5小题，每小题0分，共16分把答案填在答题卡相应位置15（2013 建邺区模拟）=考点：极限及其运算.专题：计算题分析：因为，所以=，由此能够求出的值解答：解：=点评：本题考查组合数的计算公式和数列的极限，解题时要注意计算能力的培养16（4分）（2013 建邺区模拟）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数考点：四种命题.专题：阅读型分析：欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可解答：解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数点评：命题的否定就是对这个命题的结论进行否认（命题的否定与原命题真假性相反）；命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认（否命题与原命题的真假性没有必然联系）17（4分）（2013 建邺区模拟）函数y=lg的定义域是 （lg2，+）考点：对数函数的定义域.专题：计算题分析：由对数函数的性质知10x20，由此能求出函数y=lg的定义域解答：解：由题设知10x20，解得xlg2函数y=lg的定义域是（lg2，+）故答案为：（lg2，+）点评：本题考查对数函数的定义域，解题时要注意指数函数的性质和应用18（4分）（2013 建邺区模拟）定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：（1）2*2006=1；（2）（2n+2）*2006=3（2n）*2006，则2008*2006的值是31003考点：数列递推式.专题：计算题；新定义分析：设（2n）*2006=an，则（2n+2）*2006=an+1，且a1=1，由此知an+1=3an，即（2n）*2006=3n1，由此能求出2008*2006的值解答：解：设（2n）*2006=an，则（2n+2）*2006=an+1，且a1=1，an+1=3an，an=3n1，即（2n）*2006=3n1，2008*2006=31003故答案为：31003点评：本题考查运算“*”对于正整数满足的运算性质，解题时要正确理解新定义，合理地运用新定义的性质求解19（4分）（2013 建邺区模拟）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my4=0相交于m、n两点，且点m、n关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为考点：二元一次不等式（组）与平面区域.专题：压轴题；数形结合分析：由m与n关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为1，得到k的值；设出m与n的坐标，然后联立y=x+1与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据mn的中点在x+y=0上得到两横坐标之和等于1，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可解答：解：m、n两点，关于直线x+y=0对称，k=1，又圆心在直线x+y=0上m=1原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域，aob为不等式所表示的平面区域，联立 解得b（，），a（1，0），所以saob=|1|=故答案为：点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系、二元一次不等式（组）与平面区域等基本知识，考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题三、解答题：本大题共7小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.20（12分）（2013 建邺区模拟）已知函数（1）求f（x）的定义域；（2）求该函数的反函数f1（x）；（3）判断f1（x）的奇偶性考点：函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断；反函数.专题：函数的性质及应用分析：（1）由 0 解得1x1，即得函数的定义域（2）由函数的解析式求出自变量，再把自变量和函数交换位置，即得反函数的解析式，注明反函数的定义域（3）由f1（x）=f1（x），可得 f1（x）是奇函数解答：解：（1）故函数的定义域是（1，1）（2）由，得（yr），所以，所求反函数为f1（x）=（xr）（3）f1（x）=f1（x），所以f1（x）是奇函数点评：本题主要考查求函数定义域、反函数，及利用f（x）=f（x）或f（x）=f（x）证明函数奇偶性21（12分）（2013 建邺区模拟）某港口水的深度 y（米）是时间t（0t24，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：t（时）03691215182124y（米）10.013.010.017.010.013.010.017.010.0经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=asint+b的图象（）试根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；（）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式.专题：应用题；三角函数的图像与性质分析：（）通过读取图表，可以看出函数y=f（t）的周期，根据水的最大深度和最小深度联立方程组求出a和b，则函数y=f（t）的近似表达式可求；（）由题意得到该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米），由y11.5解出一天内水深大于等于11.5的时间段，则船从最早满足水深到达11.5的时刻入港，从最晚满足水深是11.5的时刻出港是安全的解答：解：（）由已知数据，易知函数y=f（t）的周期t=12，则=再由，得振幅a=3，b=10，（0t24）；（）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米），解得，所以12k+1t12k+5（kz），在同一天内，取k=0或1，1t5或13t17，该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时点评：本题考查了由部分图象确定函数y=asin（x+）的解析式，对于平衡位置不是坐标轴的，给出的最大值不是振幅a，对于（）的求解，应明确题目的问法，属中档题22（12分）（2013 建邺区模拟）已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的（1）第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；（2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.专题：计算题；概率与统计分析：（1）第一小组做了三次实验，直接利用独立重复试验求至少两次实验成功的概率；（2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，在第四次成功之前共有三次失败，说明共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，求出恰有两次连续失败的次数，求出概率即可解答：解：（1）第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率是（2）第二小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，就是3次成功试验的间隔4空中选2个空，一个空位放置2次连续失败，一个放置一次失败，其各种可能的情况种数为每一种情况的概率为：因此所求的概率为点评：本题考查独立重复试验的概率的求法，以及互斥事件的概率的和的求法，考查分析问题解决问题的能力23（2013 建邺区模拟）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（）求的分布及数学期望；（）记“函数f（x）=x23x+1在区间2，+）上单调递增”为事件a，求事件a的概率考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.专题：概率与统计分析：（i）表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，根据客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3和客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，写出变量的可能取值，根据相互独立事件同时发生的概率写出分布列和期望（ii）由题意知本题是一个等可能事件的概率，函数f（x）=x23x+1在区间2，+）上单调递增，根据二次函数的性质，写出函数递增的变量的值，知道只有当变量对应1是成立，得到结果解答：解：（i）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件a1，a2，a3由已知a1，a2，a3相互独立，p（a1）=0.4，p（a2）=0.5，p（a3）=0.6客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3p（=3）=p（a1a2a3）+p（）=p（a1）p（a2）p（a3）+p（）=20.40.50.6=0.24，p（=1）=10.24=0.76所以的分布列为e=10.76+30.24=1.48（）因为，所以函数上单调递增，要使f（x）在2，+）上单调递增，当且仅当从而点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查二次函数的性质，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题目出现在高考试卷中24（12分）（2013 建邺区模拟）如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1b1b底面abc，侧棱aa1与底面abc成600的角，aa1=2底面abc是边长为2的正三角形，其重心为g点e是线段bc1上一点，且be=bc1（1）求证：ge侧面aa1b1b；（2）求平面b1ge与底面abc所成锐二面角的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定.专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）要证明ge侧面aa1b1b，可在平面aa1b1b内找到一条与eg平行的直线，根据g为底面三角形的重心，而e点满足be=，延长b1e交bc于一点f，利用三角形相似得到f为bc的中点，说明a、g、f三点共线，连结ge，根据平行线截线段成比例定理得到geab1，从而得到要证的结论；（2）根据侧面aa1b1b底面abc，直接过b1作b1hab的延长线于h，垂足为h，然后过h作htaf的延长线于t，垂足为t，连b1t，由此得到b1th为所求二面角的平面角，然后通过解直角三角形求二面角的大小解答：（1）证明：如图，连结b1e并延长延长b1e交bc于f，b1ec1feb，be=ec1bf=b1c1=bc，从而f为bc的中点g为abc的重心，a、g、f三点共线，且=，geab1，又ge侧面aa1b1b，ge侧面aa1b1b（2）解：如图，在侧面aa1b1b内，过b1作b1hab的延长线于h，垂足为h，侧面aa1b1b底面abc，b1h底面abc又侧棱aa1与底面abc成600的角，aa1=2，b1bh=60，bh=1，b1h=在底面abc内，过h作htaf的延长线于t，垂足为t，连b1t由三垂线定理有b1taf，又平面b1ge与底面abc的交线为af，b1th为所求二面角的平面角ah=ab+bh=3，hat=30，ht=ahsin30=，在rtb1ht中，tanb1th=，从而平面b1ge与底面abc所成锐二面角的大小为arctan点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，利用三角形的中位线平行于底边及利用平行线截线段成比例定理是证明线面平行常用的方法，此题是中档题25（14分）（2013 建邺区模拟）设函数f（x）=ax32bx2+cx+4d（a、b、c、dr）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值（1）求a、b、c、d的值；（2）当x1，1时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若x1，x21，1时，求证：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明.专题：导数的综合应用分析：（1）因为函数f（x）图象关于原点对称，所以对任意实数x有f（x）=f（x），即可得出b，d；由x=1时，f（x）