江苏省南京市玄武区高三数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2012-2013学年江苏省南京市玄武区高三（上）期中数学试卷一、填空题：145分=70分1（4分）设集合 m=x|x2+x60，n=x|1x3，则mn=1，2）考点：交集及其运算专题：计算题分析：求出集合m中不等式的解集，确定出集合m，找出m与n解集的公共部分，即可求出两集合的交集解答：解：由集合m中不等式x2+x60，分解因式得：（x2）（x+3）0，解得：3x2，m=（3，2），又n=x|1x3=1，3，则mn=1，2）故答案为：1，2）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（4分）i是虚数单位，复数=2i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把给出的复数分子分母同时乘以1+i，展开后整理即可解答：解：故答案为2i点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题3（4分）连续两次抛掷一枚骰子落在水平面上，则两次向上的点数和等于6的概率是考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有66=36种结果，满足条件的事件是1，5；2，4；3，3；4，2；5，1五种结果，得到概率解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有66=36种结果，满足条件的事件是1，5；2，4；3，3；4，2；5，1五种结果，所求的概率是p=故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出所有符合条件的事件，两次向上的点数和等于6的数值个数，注意列举时做到不重不漏4（4分）如图伪代码的输出结果为31考点：伪代码专题：阅读型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出s=1+21+22+23+24的值解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出s=1+21+22+23+24的值并输出s=1+21+22+23+24=31故答案为：31点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5（4分）（2012临沂二模）为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48考点：频率分布直方图专题：常规题型分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题6（4分）如果实数x、y满足不等式组，则z=x+2y最小值为5考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足不等式组的可行域，并求出可行域各角点的坐标，代入目标函数中，求出对应的目标函数值，比较后可得答案解答：解：满足不等式组的可行域如图中阴影所示：z=x+2yza=1+22=5zb=3+24=11故z=x+2y最小值为5故答案为：5点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定7（4分）（2010怀柔区模拟）若x1，则x+的最小值为5考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：计算题分析：根据x1推断出x10，然后把x+整理成x1+1，进而利用基本不等式求得其最小值解答：解：x1x10x+=x1+12+1=5（当x=3时等号成立）故答案为：5点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则8（4分）（2005金山区一模）abc中，若b=30，ab=2，ac=，则bc=3考点：解三角形专题：综合题分析：由余弦定理知ac2=bc2+ab22bcabcosb，即3=bc2+126bc，由此能求出bc解答：解：abc中，b=30，ab=2，ac=，ac2=bc2+ab22bcabcosb，即3=bc2+126bc，解得bc=3故答案为：3点评：本题考查三角形的解法，解题时要认真审题，注意余弦定理的灵活运用9（4分）函数f（x）=ax2+lnx+1在e，+）上是减函数，则实数a的取值范围是考点：函数的单调性与导数的关系专题：导数的概念及应用分析：求出原函数的导函数，使导函数在e，+）上恒小于等于0，列式求解a的范围解答：解：由f（x）=ax2+lnx+1，则，令g（x）=2ax2+1，因为f（x）在e，+）上是减函数，所以，f（x）在e，+）上小于等于0恒成立，则g（x）=2ax2+1在e，+）上小于等于0恒成立，即，所以故答案为点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系考查了在某一区间内不等式恒成立的问题，此题属中档题10（4分）数列an满足an+1+man=0（m为常数，nn*）若a10，且4a1、2a2、a3成等差数列，则m=2考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式专题：计算题；等差数列与等比数列分析：确定数列an是公比为m的等比数列，根据4a1、2a2、a3成等差数列，利用等差数列的性质，建立等式，即可求m的值解答：解：由题意，数列an是公比为m的等比数列4a1、2a2、a3成等差数列，4a2=4a1+a3，4a1m=4a1+a1m2，a10，m2+4m+4=0m=2故答案为：2点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于基础题11（4分）设函数f（x）=（x0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x）=，f3（x）=f（f2（x）=，根据以上事实，由归纳推理可得：当nn*且n2时，fn（x）=考点：归纳推理专题：归纳法分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x）=，f3（x）=f（f2（x）=，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故fn（x）=故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键12（4分）已知abc是边长为2的等边三角形，d是bc边上的一点，且，则=考点：向量在几何中的应用专题：计算题；平面向量及应用分析：建立坐标系，用坐标表示出向量，即可求得模长解答：解：建立如图所示的坐标系，则b（1，0），c（1，0），a（0，），d（，0）=（，），=（2，0）=（，）=故答案为：点评：本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题13（4分）函数是偶函数，若h（2x1）h（b），则x的取值范围是考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：由h（x）为偶函数求出b值，由偶函数性质得h（|2x1|）h（|b|），再利用h（x）在（0，+）上的单调性可得|2x1|与|b|的大小关系，从而可解x的范围解答：解：当x0时，x0，因为h（x）是偶函数，所以h（x）=h（x），即（x）2b（x）=x2+x，得b=1h（2x1）h（b），即h（2x1）h（1），又h（x）为偶函数，所以h（|2x1|）h（1），当x0时，h（x）=x2+x=（，在（0，+）上单调递增，所以0|2x1|1，解得0x或x1，故答案为：0，）（，1点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，定义是解决相关问题的基本方法14（4分）已知函数f（x）=|x|2，若关于x的方程f2（x）|f（x）|+k=0恰有8个不同的实数根，则实数k的取值范围是考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：关于x的方程f2（x）|f（x）|+k=0恰有8个不同的实根，即函数g（x）=f2（x）+|f（x）|图象与直线y=k有8个交点，画出图象可得解答：解：f（x）=|x|2方程f2（x）|f（x）|+k=0，即（|x|2）2|x|2|+k=0可化为（x2）2（x2）+k=0（x2）或（x2）2（2x）+k=0（0x2）或（x+1）2+（x+1）+k=0（2x0）或（x+1）2（x+1）+k=0（x2）函数g（x）=f2（x）+|f（x）|图象，如图所示，由图象知实数k的取值范围为（0，），故答案为（0，）点评：此题是个中档题本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想二、解答题：共6大题，共90分15（14分）已知，且（1）求的大小； （2）若，求cosx的值考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）利用向量垂直的坐标间的关系式即可求得的大小；（2）结合（1），利用两角差的余弦公式即可求得cosx的值解答：解：（1）=（cos，sin），=（cos，sin）且=，cos2sin2=，cos2=，又（0，），2=，=；（2）=，sin（x+）=，sin（x+）=sin（x+）=，x（，），x+（，），cos（x+）=，cosx=cos（x+）=cos（x+）cos+sin（x+）sin=+=点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查两角差的余弦，属于中档题16（16分）已知等差数列an的公差大于1，sn是该数列的前n项和若（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列的前n项和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由已知可得，解方程可求a1，d，进而可求an； （2）由=，利用裂项求和即可求解解答：解：（1）d1解方程可得，a1=1，d=2an=2n1； （2）=点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列的项及和，及裂项在数列的求和中的应用17（16分）如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽ab=7m，a到边线的距离ac=30m现距离边线5m处的一名运动员p沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角apb称为视角设p到底线的距离为pd=xm，tanapb记为y（1）试将y表示成x的函数；（2）求当p离底线多少m时，该球员观察球门的视角最大？（结果保留根式）考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）利用差角的正切公式，结合正切函数，即可求得函数解析式；（2）利用基本不等式，再结合正切函数的单调性，即可得到结论解答：解：（1）由题意，ad=25m，bd=32m，apb=dpbdpay=tanapb=tan（dpbdpa）=；（2），当且仅当m时，取等号m时，y=tanapb取得最大值apbm时，apb取得最大值点评：本题考查函数模型的确立，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题18（16分）函数f（x）=asin（x+）（a、是常数，a0，0，是锐角）的部分图象如图所示，其中（1）求f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象先向右平移个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）的图象，试写出函数g（x）的解析式；（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=asin（x+）的图象变换专题：综合题；三角函数的图像与性质分析：（1）依题意可求得a，；（2）由（1）得=，利用函数y=asin（x+）的图象变换即可求得g（x）的解析式；（3）若存在x0（0，），使得sinx0+acosx0=2成立，可求得a=h（x0），可以求导h（x0）求得a的最大值与最小值，从而得到答案解答：解：（1）由图可知，a=，=，t=，故=2；又f（）=0，由图可知，2+=，=，f（x）=sin（2x+）；（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位，得到函数y=sin2（x+）=sin2x；再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）=sinx；（3）若存在x0（0，），使得sinx0+acosx0=2成立a=h（x0），x0（0，），可以求导h（x0）=，得：h（x0）在（0，）递减，）递增；h（）=，h（0）=2，h（）=4所求实数a的取值范围是6，2点评：本题考查由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，考查y=asin（x+）的图象变换，属于难题19（16分）定义一种运算*，满足n*k=nk1（n、kn+，是非零实常数）（1）对任意给定的k，设，求证：数列an是等差数列，并求k=2时，该数列的前10项和；（2）对任意给定的n，设，求证：数列bk是等比数列，并求出此时该数列的前10项和；（3）设，试求数列cn的前n项和考点：等差数列与等比数列的综合专题：新定义；等差数列与等比数列分析：（1）利用新定义，结合等差数列的定义可知结论成立，利用等差数列的求和公式，可求数列的前10项和；（2）利用新定义，结合等比数列的定义可知结论成立，利用等比数列的求和公式，可求数列的前10项和；（3）确定数列的通项，再利用错位相减法可求得结论解答：（1）证明：，（k为任意给定的），所以数列an是等差数列k=2时，公差为an+1an=，首项为，前10项和（2）证明：，所以数列bn是等比数列当=1时，s10=10n；当1时，首项为n，（3）解：，当=1时，cn=n，；当1时，sn=0+2+nn1sn=+22+（n1）n1+nn两式相减可得（1）sn=1+2+n1nn=nn，sn=点评：