高职高等数学 第三章 导数与微分的应用第一节 罗彼塔法则.pdf

沈阳工程学院 第三章 导数的应用 第三章 导数的应用 Application of Derivative 第一节 罗彼塔法则 Rule of L hospital 教学目的 掌握用罗彼塔法则求未定式极限的方法 内容 1 0 0 型未定式 2 型未定式 3 其他类型未定式 教学重点 利用洛必达法则求未定式的极限 洛必达法则的适用条件 教学难点 洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限 教具 多媒体课件 教学方法 启发式教学 教学过程 1 引入新课 我们已经掌握了求极限的几种方法 但对 0 0 型极限的计算还是比较困难 本节我们利用罗彼塔法则来解决这类极限的计算 2 教学内容 0 0 lim 型未定式或称为那末极限零或都趋于无穷大 都趋于与两个函数时或定义 如果当 xF xf xFxfxax x ax 例如 tan lim 0 x x x 0 0 sinln sinln lim 0 bx ax x 一 0 0 型未定式 定理定理 1 沈阳工程学院 lim lim lim 3 0 2 0limlim 1 00 0 00 0 xg xf xg xf xg xf xgxg xfax xgxf xxxx xx xxxx 那末 或为无穷大存在 都存在且及 本身可以除外点点的某领域内在 设 该定理仍然成立时当 x 例 1例 1 求 3 1 1 lim 1 x x x 解解 32 11 13 limlim3 11 xx xx x 例 2例 2 2 0 1 cos lim x x x 解解 2 00 1 cossin1 limlim 22 xx xx xx 若 lim 0 xg xf xx 仍是 0 0 型未定式 且 fxgx 仍满足定理条件 则可继续使 用罗彼塔法则 即 lim lim lim 000 xg xf xg xf xg xf xxxxxx 依此类推 直到求出所要 求的极限 例 3例 3 求 3 0 sin lim tan x xx x 解解 方法一 2 3232 000 0 sin1 cos1 cos limlimlim 3tansec3 sin1 lim 66 xxx x xxxx xxxx x x 方法二0 x 时 3 tan x 3 x 1 cosx 2 1 2 x 沈阳工程学院 32 3 000 2 1 2 2 0 sinsin1 cos limlimlim 3tan 1 lim 36 xxx x xxxxx xxx x x 二 型未定式 定理定理 2 lim lim lim 3 0 2 limlim 1 00 0 00 0 xg xf xg xf xg xf xgxg xfax xgxf xxxx xx xxxx 那末 或为无穷大存在 都存在且及 本身可以除外点点的某领域内在 设 该定理仍然成立时当 x 例 4例 4 求 2 lim x x x e 解解 2 21 limlim2 lim0 xxx xxx xx eee 同理可求lim0 n x x x e 若 lim 0 xg xf xx 仍是 型未定式 且 fxgx 仍满足定理条件 则可继续使 用罗彼塔法则 即 lim lim lim 000 xg xf xg xf xg xf xxxxxx 依此类推 直到求出所要 求的极限 例 5例 5 求 2 ln lim x x x 解解 2 2ln1 ln2ln limlimlim2 lim0 11 xxxx x xx xx xx 三 其他类型未定式 型未定式解法 00 1 0 0 沈阳工程学院 关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 0 0 型 1 步骤步骤 0 1 0 1 00 00 例 6例 6 1 sin 1 lim 0 xx x 求 解 解 xx xx x sin sin lim 0 原式 xxx x x cossin cos1 lim 0 0 型 02 步骤 步骤 1 0 0 1 00 或 例 7例 7 求 2 0 limln x xx 解解 12 2 23 0000 ln limlnlimlimlim0 22 xxxx xxx xx xx 型 00 1 0 3 步骤步骤 ln0 1ln 0ln0 1 0 0 0 取对数 0 例例 8 lim 0 x x x 求 0 0 解 解 xx x e ln 0 lim 原式 xx x e lnlim 0 x x x e 1 ln lim 0 2 0 1 1 lim x x x e 0 e 1 例例 9 lim 1 1 1 x x x 求 1 解 解 x x x e ln 1 1 1 lim 原式 x x x e 1 ln lim 11 1 lim 1 x x e 1 e 例例 10 求 sin 0 1 lim x x x 解解 1sin 1 0 sin lim sin ln ln 00 1 limlim x x x x x x xx ee x 沈阳工程学院 21 1 0000 sin 22 0 1 1 ln1 lim sin lnlimlimlim coscos sinsin sinsin lim0 cos x xxxx x x x x x x xx x xx xx xx sin 0 0 1 lim1 x x e x 注意 洛必达法则的使用条件 例 12 注意 洛必达法则的使用条件 例 12 cos lim x xx x 求 解 解 1 sin1 lim x x 原式 sin1 limx x 极限不存在 洛必达法则失效 极限不存在 洛必达法则失效 cos 1 1 limx x x 原式 1 课堂练习 求下列极限 sin3 1 l