高考专题复习：空间向量与立体几何(王业康)2011.4.doc

高考复习专题 向量与立体几何 2011.4专题要点1利用向量证明平行问题（1）直线与直线的平行：设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，那么。根据实数与向量积的定义：。（2）平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面的法向量分别为，那么。（3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直线在平面外，是的一个方向向量，是平面的一个法向量，那么。另外，平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。2利用向量证明垂直问题（1）线线垂直：设分别为直线的一个方向向量，那么；（2）线面垂直：设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么。3利用向量求解角度问题（1）异面直线所成的角：利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分。（2）直线与平面的夹角：利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求直线与平面的夹角。有：，。（3）二面角：设分别是二面角的面的法向量， 则 就是所求二面角的平面角或其补角的大小（利用具体图形判断）。4利用向量求解距离问题立体几何中涉及到距离的问题比较多，如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理，则思路较为简单。点到平面的距离：设平面的一个法向量为，点P是平面外一点，且Po，则点P到平面的距离是d.例题选讲例1：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（1）证明：直线；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小； （3）求点B到平面OCD的距离。方法一（综合法）略方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得，(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点. （1）证明：AEPD; （2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.（1）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形.因为 E为BC的中点，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以AE平面PAD，又PD平面PAD. 所以 AEPD.（2）（理）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（1）知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大， 即当AHPD时，EHA最大.此时tanEHA= AH=.又AD=2，所以ADH=45，PA=2.由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以设平面AEF的一法向量为则因此 因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为例3：正四棱锥SABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB1，直线AD到平面SBC的距离等于SABCDOEMxyz（1）求斜高SM的长；（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；解法一：（略）（1）解法二：（1）建立空间坐标系（如图）底面边长为1， 设，平面SBC的一个法向，则，y2h，n（0，2h，1）而（0，1，0），由题意，得 解得斜高（2）n（0，2h，1），由对称性，面SAD的一个法向量为n1 设平面EBC的一个法向量n2=（x，y，1），由，得 解得 设所求的锐二面角为，则， 例4：已知平面，平面，为等边三角形，为的中点. (1) 求证：平面；(2) 求和平面所成角的正弦值.设，建立如图所示的坐标系，则.为的中点，. (1) 证明 ， ，平面，平面. (2) 设平面的法向量为，由可得： ，取. 又，设和平面所成的角为，则 .直线和平面所成角的正弦值为. 巩固练习：1.正方体的棱上到异面直线AB，的距离相等的点的个数为 4 2. a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）.其中正确的命题是 （1）；（5）3.在北纬45线上，有甲、乙两地，它们分别在东经50和140线上，设地球的半径为R，则甲、乙两地的球面距离为 （将地球视为圆球体）2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 4.如图在直三棱柱中，E、F分别为的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 5. （文）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 606. （文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.（理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 7.四面体的一条棱长为x，其他各棱长为1，则四面体体积的最大值为 8.关于棱锥有下列命题：（1）底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；（2）所有侧棱都相等的棱锥一定是正棱锥；（3）一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；（4）一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的命题个数为（ B ） A.0 B.1 C.2 D.39.等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们表面积的大小关系是（ A ）A. B. C. D. 10.连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M 弦AB、CD可能相交于点NMN的最大值为5 MN的最小值为l，其中真命题的个数为( ) C A1个 B2个 C3个 D4个11.下列三个命题中错误的个数是 （ ）C经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆；球的面积是它的大圆面积的四倍；球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.A.0 B. 1 C. 2 D.312.O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是 13.SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆的圆心，底面圆的半径为10，C是SB的中点，AOB=60，AC与底面所成角为45，求此圆锥的侧面积和体积.解：取OB的中点D，连接CD、AD，则AD=，CD=，SO=，SA=20 ABCDEFxyzP圆锥的侧面积为， 体积为14.四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点。（1）求证：EF平面PAB；（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。 （）证明：建立空间直角坐标系，设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), . 得，。由，得，即， 同理，又， 所以，EF平面PAB。（）解：由，得，即。得，。 有，。 设平面AEF的法向量为，由，解得。于是。 设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为。 则。得。所以，AC与平面AEF所成角的大小为。15.如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD， AF=AB=BC=FE=AD=a=（1）求该五面体的体积；（2）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（理）（3）求二面角A-CD-E的余弦值.解：（1）方法一：（2）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD。设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 理（3）由（2）可得，方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （2） 所以异面直线与所成的角的大小为.理（3） 又由题设，平面的一个法向量为 高考复习专题 向量与立体几何 2011.4专题要点1利用向量证明平行问题（1）直线与直线的平行：设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，那么。根据实数与向量积的定义：。（2）平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面的法向量分别为，那么。（3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直线在平面外，是的一个方向向量，是平面的一个法向量，那么。另外，平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。2利用向量证明垂直问题（1）线线垂直：设分别为直线的一个方向向量，那么；（2）线面垂直：设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么。3利用向量求解角度问题（1）异面直线所成的角：利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分。（2）直线与平面的夹角：利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求直线与平面的夹角。有：，。（3）二面角：设分别是二面角的面的法向量， 则 就是所求二面角的平面角或其补角的大小（利用具体图形判断）。4利用向量求解距离问题立体几何中涉及到距离的问题比较多，如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理，则思路较为简单。点到平面的距离：设平面的一个法向量为，点P是平面外一点，且Po，则点P到平面的距离是d.例题选讲例1：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（1）证明：直线；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小； （3）求点B到平面OCD的距离。例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点. （1）证明：AEPD; （2）（理）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.SABCDOEMxyz例3：正四棱锥SABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB1，直线AD到平面SBC的距离等于（1）求斜高SM的长；（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；例4：已知平面，平面，为等边三角形，为的中点. (1) 求证：平面；(2) 求和平面所成角的正弦值.巩固练习：1.正方体的棱上到异面直线AB，的距离相等的点的个数为 2. a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）.其中正确的命题是 3.在北纬45线上，有甲、乙两地，它们分别在东经50和140线上，设地球的半径为R，则甲、乙两地的球面距离为 （将地球视为圆球体）2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 4.如图在直三棱柱中，E、F分别为的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 5. （文）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 6. （文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.（理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 7.四面体的一条棱长为x，其他各棱长为1，则四面体体积的最大值为 8.关于棱锥有下列命题：（1）底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；（2）所有侧棱都相等的棱锥一定是正棱锥；（3）一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；（4）一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的命题个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.39.等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们表面积的大小关系是（ ）A. B. C. D. 10.连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M 弦AB、CD可能相交于点NMN的最大值为5 MN的最小值为l，其中真命题的个数为( ) A1个 B2个 C3个 D4个11.下列三个命题中错误的个数是 （ ）经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆；球的面积是它的大圆面积的四倍；球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.A.0 B. 1 C. 2 D.312.O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球