江苏省南通一中高三数学上学期段考试卷（含解析）.doc

2014-2015学年江苏省南通一中 高三（上）段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1设集合，b=a，若ba，则实数a的值为2设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为3由命题“存在xr，使x2+2x+m0”是假命题，则实数m的取值范围为4设向量=（1，x1），=（x+1，3），则“x=2”是“”的5函数f（x）=xlnx的单调减区间为6已知函数f（x）=acos（x+） （a0，0，|）的部分图象如右图所示，则f（x）的函数解析式为7已知函数f（x）的导数f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是8已知实数x，y满足则x2+y22x的最小值是9设等比数列an的前n项和为sn（nn*）若s3，s9，s6成等差数列，则 的值是10设p为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点p处的切线的倾斜角为，则的取值范围是11在直角三角形abc中，acb=90，ac=bc=2，点p是斜边ab上的一个三等分点，则=12已知函数当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是13已知直线y=ax+2与圆x2+y2+2x3=0相交于a、b两点，点p（x0，y0）在直线y=2x上，且pa=pb，则x0的取值范围为14给出定义：若xm，m+，（mz），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作x=m，在此基础上给出下列 函数f（x）=|xx|的四个命题：函数y=f（x）在x（0，1）上是增函数；函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；函数y=f（x）的图象关于直线x=（kz）对称；当x（0，2时，函数g（x）=f（x）ln x有两个零点其中正确命题的序号是二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15设命题p：关于x的不等式1a2x0在x（，0上恒成立；命题q：函数y=lg（ax2x+a）的定义域是实数集r如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围16已知abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，sin（2c）=，且a2+b2c2（1）求角c的大小；（2）求17如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域abcd，在点a处有一个可转动的探照灯，其照射角paq始终为45（其中点p，q分别在边bc，cd上），设pab=，tan=t（1）用t表示出pq的长度，并探求cpq的周长l是否为定值（2）问探照灯照射在正方形abcd内部区域的面积s至多为多少（平方百米）？18若半径为r的圆c：x2+y2+dx+ey+f=0的圆心c到直线l：dx+ey+f=0的距离为d，其中d2+e2=f2，且f0（1）求f的范围；（2）求证：d2r2为定值；（3）是否存在定圆m，使得圆m既与直线l相切又与圆c相离？若存在，请求出定圆m的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由19已知函数f（x）=mx2x+lnx（1）当m=1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间d，使得该函数在区间d上为减函数，求m的取值范围；（3）当m0时，若曲线c：y=f（x）在点x=1处的切线l与c有且只有一个公共点，求m的值20在数列an中，a1=1，且对任意的kn*，a2k1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为qk（1）若qk=2（kn*），求a1+a3+a5+a2k1；（2）若对任意的kn*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为dk，设bk=求证：bk成等差数列，并指出其公差；若d1=2，试求数列dk的前k项的和dk2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1设集合，b=a，若ba，则实数a的值为0考点：集合的包含关系判断及应用专题：阅读型分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解解答：解：ba，a=1a=0故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定要注意验证集合中元素的互异性2设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为考点：复数求模专题：计算题分析：根据所给的关于复数的等式，写出复数z的表达式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果，然后求出复数的模即可得到答案解答：解：复数z满足zi=1+2i，z=，所以z的模为故答案为点评：本题考查复数的代数形式的除法运算，以及复数的求模运算，是一个基础题，这种题目一般出现在高考卷的前几个题目中，是一个必得分题目3由命题“存在xr，使x2+2x+m0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+）考点：特称命题专题：计算题分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出xr，都有x2+2x+m0，再由0，求得m解答：解：“存在xr，使x2+2x+m0”，其否命题为真命题，即是说“xr，都有x2+2x+m0”，=44m0，解得m1m的取值范围为（1，+）故答案为：（1，+）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题考查转化、计算能力4设向量=（1，x1），=（x+1，3），则“x=2”是“”的充分不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示分析：x=2，=（1，1），=（3，3），显然“”，但是x=2时“”也成立解答：解：x=2，=（1，1），=（3，3），显然“”，但是x=2时“”也成立“x=2”“”；充分不必要条件故答案为充分不必要条件点评：理解向量平行的坐标运算以及会充分必要条件的判断5函数f（x）=xlnx的单调减区间为x|0x1考点：利用导数研究函数的单调性分析：先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可解答：解：f（x）=xlnxf（x）=1=令0，则0x1故答案为：x|0x1点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系属基础题6已知函数f（x）=acos（x+） （a0，0，|）的部分图象如右图所示，则f（x）的函数解析式为f（x）=3cos（x+）考点：正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的图象的顶点坐标求出a，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式解答：解：由函数的顶点（，3）、（，3）可得a=3，t=，求得=再根据五点法作图可得 （）+=0，求得=，故有函数f（x）=3cos（x+），故答案为：f（x）=3cos（x+）点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出a，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题7已知函数f（x）的导数f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（1，0）考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的综合应用分析：讨论a的正负，以及a与1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求解答：解：（1）当a0时，当1xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；（3）当1a0时，当1xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；（4）当a=1时，f（x）0，函数f（x）无极值，不符合题意；（5）当a1时，当xa时，f（x）0，当ax1时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述1a0，故答案为 （1，0）点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题8已知实数x，y满足则x2+y22x的最小值是1考点：简单线性规划专题：计算题分析：作出不等式组表示的平面区域；通过x2+y22x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；结合图象求出（1，0）到直线的距离即可解答：解：变量x，y满足约束条件，目标函数为：x2+y22x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；点到直线的距离公式可得：，x2+y22x的最小值为：（）21=1故答案为：1点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；9设等比数列an的前n项和为sn（nn*）若s3，s9，s6成等差数列，则 的值是考点：等差数列与等比数列的综合专题：等差数列与等比数列分析：设等比数列an的公比为q、首项是a1，根据公比q与1的关系进行分类，由等比数列的前n项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简所求的式子即可解答：解：设等比数列an的公比为q、首项是a1，当q=1时，有s3=3a1、s9=9a1、s6=a1，不满足s3，s9，s6成等差数列；当q1时，因为s3，s9，s6成等差数列，所以2=+，化简得2q6q31=0，解得q3=或q3=1（舍去），则=，故答案为：点评：本题考查等比数列的前n项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论10设p为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点p处的切线的倾斜角为，则的取值范围是，）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义专题：计算题分析：由f（x）=+，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为的正切值的取值范围，而0，从而可求的取值范围解答：解：函数，y=+2=（当且仅当=取等号），y，+），tan，又0，故答案为：，）点评：本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题11在直角三角形abc中，acb=90，ac=bc=2，点p是斜边ab上的一个三等分点，则=4考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为，代入化简可得答案解答：解：由题意可建立如图所示的坐标系可得a（2，0）b（0，2），p（，）或p（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故=（，）（2，2）=4或=（，）（2，2）=4，故答案为：4点评：本题考查平面向量的数量积的运算，建立坐标系是解决问题的关键，属基础题12已知函数当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是考点：函数与方程的综合运用专题：计算题；不等式的解法及应用分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可解答：解：因为t0，1，所以f（t）=3t1，3，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t）0，1，所以解得：，又t0，1，所以实数t的取值范围故答案为：点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力13已知直线y=ax+2与圆x2+y2+2x3=0相交于a、b两点，点p（x0，y0）在直线y=2x上，且pa=pb，则x0的取值范围为（1，0）（0，）考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：由题意可得cp垂直平分ab，且 y0=2x0直线垂直的关系，解得x0与a的关系，把直线y=ax+2代入圆x2+y2+2x3=0化为关于x的一元二次方程，由0，求得a的范围，从而可得x0的取值范围解答：解：圆x2+y2+2x3=0 即 （x+1）2+y2=4，表示以c（1，0）为圆心，半径等于2的圆pa=pb，cp垂直平分ab，p（x0，y0）在直线y=2x上，y0=2x0 又cp的斜率等于 ，a=1，解得 x0=把直线y=ax+2代入圆x2+y2+2x3=0可得，（a2+1）x2+（4a+2）x+1=0由=（4a+2）24（a2+1）0，即12a2+16a0，得a0或a10，或 0故x0的取值范围为 （1，0）（0，），故答案为：（1，0）（0，）点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题利用直线和圆的位置关系结合判别式是解决本题的关键14给出定义：若xm，m+，（mz），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作x=m，在此基础上给出下列 函数f（x）=|xx|的四个命题：函数y=f（x）在x（0，1）上是增函数；函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；函数y=f（x）的图象关于直线x=（kz）对称；当x（0，2时，函数g（x）=f（x）ln x有两个零点其中正确命题的序号是考点：命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：根据题意先对函数化简，然后作出函数的图象，根据函数的图象可判断各个选项是否正确解答：解：当x（，时，f（x）=|xx|=|x0|，当时，f（x）=|xx|=|x1|，当时，f（x）=|xx|=|x2|，作出函数的图象如右图：由图可知：错，对，再作出y=ln x的图象可判断x（0，2时有两个交点，对故答案为：点评：本题为新定义题目，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究解决，属难题，考查由函数图象研究函数的性质，作图及识图能力、数形结合思想二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15设命题p：关于x的不等式1a2x0在x（，0上恒成立；命题q：函数y=lg（ax2x+a）的定义域是实数集r如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：根据条件求出命题p，q成立的等价条件，而p和q有且仅有一个正确即是p正确而q不正确，q正确而p不正确，两种情况可求a的范围解答：解：x（，0时，2x（0，1，1a2x0在x（，0上恒成立，1a2x，a，当x0时，1，a1，即使p正确的a的取值范围是：a1由函数y=lg（ax2x+a）的定义域为r可得ax2x+a0恒成立（1）当a=0时，ax2x+a=x不能对一切实数恒大于0（2）当a0时，由题意可得，=14a20，且a0a故q正确：a命题p和q有且仅有一个正确，若p正确而q不正确，则，即a，若q正确而p不正确，则，即a1，故所求的a的取值范围是：（，（1，+）点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题求出命题的等价条件是解决本题的关键注意函数的定义域的合理运用16已知abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，sin（2c）=，且a2+b2c2（1）求角c的大小；（2）求考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形分析：（1）由余弦定理表示出cosc，根据已知不等式得到cosc的值小于0，c为钝角，求出2c的范围，再由sin（2c）的值，利用特殊角的三角函数值很即可求出c的度数；（2）由cosc的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，求出的范围，再根据三边之和大于第三边，即可求出的具体范围解答：解：（1）a2+b2c2，由余弦定理得：cosc=0，c为钝角，2c，sin（2c）=，2c=，则c=；（2）由（1）得c=，根据余弦定理得：c2=a2+b22abcos=a2+b2+ab=（a+b）2ab（a+b）2（）2=（a+b）2，即（）2，又a+bc，即1，则的范围为（1，点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域abcd，在点a处有一个可转动的探照灯，其照射角paq始终为45（其中点p，q分别在边bc，cd上），设pab=，tan=t（1）用t表示出pq的长度，并探求cpq的周长l是否为定值（2）问探照灯照射在正方形abcd内部区域的面积s至多为多少（平方百米）？考点：解三角形的实际应用专题：计算题；转化思想分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出pq的长度，然后推出cpq的周长l为定值（2）利用s=s正方形abcdsabpsadq，推出探照灯照射在正方形abcd内部区域的面积s，利用基本不等式求出面积的最小值（平方百米）解答：解：（1）bp=t，0t1，daq=45，dq=tan（45）=，cq=1=，pq=l=cp+cq+pq=1t+=1t+1+t=2（2）s=s正方形abcdsabpsadq=1=22当t=时取等号探照灯照射在正方形abcd内部区域的面积s至多为2（平方百米）点评：本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力18若半径为r的圆c：x2+y2+dx+ey+f=0的圆心c到直线l：dx+ey+f=0的距离为d，其中d2+e2=f2，且f0（1）求f的范围；（2）求证：d2r2为定值；（3）是否存在定圆m，使得圆m既与直线l相切又与圆c相离？若存在，请求出定圆m的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据圆的标准方程求出即可；（2）先求出圆心和半径以及圆心c到直线l的距离d，从而得到答案；（3）分别证明圆m与直线l相切，圆m与圆c相离，从而证出结论解答：解：（1）d2+e24f，又d2+e2=f2，且f0，f24f，解得：f4；（2）易得圆c的圆心c（，），半径r=，圆心c到直线l的距离d=，d2r2=1；（3）存在定圆m：x2+y2=1满足题意，证明如下：1：m（0，0）到直线l的距离为：=1=r，圆m与直线l相切；2：cm=，且r+1=+1，+140，cmr+1，圆m与圆c相离，综上，存在定圆m：x2+y2=1满足题意点评：本题考察了直线和圆的位置关系，考察圆的标准方程，是一道中档题19已知函数f（x）=mx2x+lnx（1）当m=1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间d，使得该函数在区间d上为减函数，求m的取值范围；（3）当m0时，若曲线c：y=f（x）在点x=1处的切线l与c有且只有一个公共点，求m的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最大值；（2）在函数f（x）的定义域内存在区间d，使得该函数在区间d上为减函数，等价于2mx2x+10在（0，+）上有解，分类讨论，可求m的取值范围；（3）求出切线方程为ym+1=2m（x1），即y=2mxm1，从而方程mx2x+lnx=2mxm1在（0，+）上只有一解，分类讨论，可求m的值解答：解：（1）当m=1时，f（x）=x2x+lnx，所以f（x）=2x1+=，所以当0x，f（x）0，当x，f（x）0，因此当x=时，f（x）max=f（）=ln分）（2）f（x）=2mx1+=，即2mx2x+10在（0，+）上有解m0显然成立；m0时，由于对称轴x=0，故=18m0，所以m，综上，m（8分）（3）因为f（1）=m1，f（1）=2m，所以切线方程为ym+1=2m（x1），即y=2mxm1，从而方程mx2x+lnx=2mxm1在（0，+）上只有一解令g（x）=mx2x+lnx2mx+m+1，则g（x）=2mx12m+=（10分）所以1m=，g（x）0，所以y=g（x）在x（0，+）单调递增，且g（1）=0，所以mx2x+lnx=2mxm1只有一解（12分）20m，x（0，1），g（x）0；x（1，），g（x）0；x（，+），g（x）0，由g（1）=0及函数单调性可知g（）0，因为g（x）=mxx（2+）+m+lnx+1，取x=2+，则g（2+）0因此在（，+），方程mx2x+lnx=2mxm1必有一解，从而不符题意