江苏省南通市高三数学第一次调研考试试题（含解析）苏教版.docVIP

2013年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1（5分）已知全集u=r，集合a=x|x+10，则ua=x|x1考点：补集及其运算专题：计算题分析：求解一元一次不等式化简集合a，然后直接利用补集运算求解解答：解：由集合a=x|x+10=x|x1，又u=r，所以ua=x|x1故答案为x|x1点评：本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型2（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z所对应的点位于复平面的第三象限考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用复数的除法运算把复数z化简为a+bi（a，br）的形式，则复数z所对应的点位于复平面的象限可求解答：解：由z=所以复数z所对应的点z（2，3）则复数z所对应的点位于复平面的第三象限故答案为三点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题3（5分）已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是48考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：由已知正四棱锥的底面边长是6，高为，可以求出棱锥的侧高，代入棱锥侧面积公式，可得答案解答：解：正四棱锥的底面边长是6，高为，正四棱锥的侧高为=4正四棱锥的侧面积是464=48故答案为：48点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，其中根据已知结合勾股定理求出棱锥的侧高是解答的关键4（5分）定义在r上的函数f（x），对任意xr都有f（x+2）=f（x），当x（2，0）时，f（x）=4x，则f（2013）=考点：函数的周期性；函数的值专题：压轴题；函数的性质及应用分析：利用函数的周期性把要求的式子化为f（1），再利用x（2，0）时，f（x）=4x，求得 f（1）的值解答：解：定义在r上的函数f（x），对任意xr都有f（x+2）=f（x），则f（2013）=f（21006+1）=f（1）=f（1）当x（2，0）时，f（x）=4x，f（1）=41=，故答案为 点评：本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，属于基础题5（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的否命题（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）考点：四种命题的真假关系专题：规律型分析：写出命题p与命题q的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可解答：解：命题p的条件是：a0，结论是：a20；命题q的条件是：a0，结论是：a2=0；故命题p是命题q的否命题故答案是否命题点评：本题考查四种命题的定义6（5分）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y210x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：将圆化成标准方程得圆x2+y210x=0的圆心为f（5，0），可得c=5，结合双曲线的离心率e=算出a=，由平方关系得到b2=20，由此即可得出该双曲线的标准方程解答：解：圆x2+y210x=0化成标准方程，得（x5）2+y2=25圆x2+y210x=0的圆心为f（5，0）双曲线的一个焦点为f（5，0），且的离心率等于，c=5，且=因此，a=，b2=c2a2=20，可得该双曲线的标准方程为故答案为：点评：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题7（5分）若sn为等差数列an的前n项和，s9=36，s13=104，则a5与a7的等比中项为考点：等比数列的性质；等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由条件利用等比数列的性质可得 9a5=36，13a7=104，解得 a5=4，a7=8，从而求得a5与a7的等比中项 的值解答：解：sn为等差数列an的前n项和，s9=36，s13=104，则由等比数列的性质可得 9a5=36，13a7=104解得 a5=4，a7=8，则a5与a7的等比中项=，故答案为 点评：本题主要考查等比数列的性质，等比数列求和公式的应用，属于中档题8（5分）已知实数x1，9，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为考点：循环结构专题：图表型分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率解答：解：设实数x1，9，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=22（2x+1）+1+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+755，得x6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=故答案为：点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律9（5分）（2012上饶一模）abc中，则=考点：平面向量数量积的性质及其运算律专题：计算题；平面向量及应用分析：根据题意，以ab、ac为邻边的平行四边形abdc是矩形，由勾股定理求出bc=2过a作aebc于e，算出be=，最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义，即可算出的值解答：解：以ab、ac为邻边作平行四边形abdc，则=+=四边形abdc是矩形过a作aebc于ertabc中，bc=2，可得斜边上的高ae=因此，be=，cosabc=1，可得=故答案为：点评：本题在直角三角形中，求一个向量在另一个向量上投影的值着重考查了向量加法的几何定义和向量数量积的定义等知识，属于基础题10（5分）已知0a1，若loga（2xy+1）loga（3yx+2），且x+y，则的最大值为2考点：简单线性规划；对数函数的单调性与特殊点专题：不等式的解法及应用分析：根据题意得出约束条件，再作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过a时，z最小，从而得出目标函数z=x+y的取值范围，最后根据x+y，得出的最大值解答：解：根据题意得：即画出不等式表示的平面区域设目标函数z=x+y，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大作出目标函数对应的直线l：y=x由得a（1，1）直线过a（1，1）时，直线的纵截距最小，z最小，最小值为z=2则目标函数z=x+y的取值范围是（2，+）又x+y，则的最大值为2故答案为：2点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点、画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值11（5分）曲线在点（1，f（1）处的切线方程为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用分析：求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程解答：解：由题意，=e所求切线方程为ye+=e（x1），即故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线的斜率是关键12（5分）如图，点o为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时则该物体5s时刻的位移为1.5cm考点：向量在物理中的应用专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：设该物体在ts时刻的位移为ycm，根据当t=0时y达到最大值3，可设y=3cost，由三角函数的周期公式算出=，得函数解析式为y=3cost，再将t=5s代入即可得到该物体5s时刻的位移值解答：解：根据题意，设该物体在ts时刻的位移为ycm，则物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时，振幅为3cm，当t=0时，y达到最大值3因此，设y=3cost，函数的周期为3s，=3，解之得=，得函数解析式为y=3cost，由此可得，该物体5s时刻的位移为3cos（5）=3=1.5cm故答案为：1.5点评：本题给出简谐振动模型，求质点的位移函数关系式并求物体5s时刻的位移值，着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数在物理方面的应用等知识，属于中档题13（5分）已知直线y=ax+3与圆x2+y2+2x8=0相交于a，b两点，点p（x0，y0）在直线y=2x上，且pa=pb，则x0的取值范围为（1，0）（0，2）考点：直线与圆相交的性质专题：直线与圆分析：由题意可得cp垂直平分ab，且 y0=2x0由=1，解得 x0=把直线y=ax+3代入圆x2+y2+2x8=0化为关于x的一元二次方程，由0，求得a的范围，从而可得x0的取值范围解答：解：圆x2+y2+2x8=0 即 （x+1）2+y2=9，表示以c（1，0）为圆心，半径等于3的圆pa=pb，cp垂直平分ab，p（x0，y0）在直线y=2x上，y0=2x0 又cp的斜率等于 ，=1，解得 x0=把直线y=ax+3代入圆x2+y2+2x8=0可得，（a2+1）x2+（6a+2）x+1=0由=（6a+2）24（a2+1）0，求得 a0，或a10，或 02故x0的取值范围为 （1，0）（0，2），故答案为 （1，0）（0，2）点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题14（5分）设p（x，y）为函数y=x21图象上一动点，记，则当m最小时，点 p的坐标为（2，3）考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：不等式的解法及应用分析：将等式化简，再利用基本不等式求最值，即可得到p的坐标解答：解：由题意，=，y2=8当且仅当，即y=x+1时，m取得最小值为8y=x21x=3，y=3p（2，3）故答案为：（2，3）点评：本题考查基本不等式求最值，考查学生的计算能力，正确化简是关键二、解答题：本大题共12小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（14分）如图，在正三棱柱abca1b1c1中，e是侧面aa1b1b对角线的交点，f是侧面aa1c1c对角线的交点，d是棱bc的中点求证：（1）ef平面abc；（2）平面aef平面a1ad考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）连接a1b和a1c，易证efbc，利用线面平行的判断定理即可证得ef平面abc；（2）依题意，可证efaa1，efad，而aa1ad=a，从而可证得ef平面a1ad，利用面面垂直的判定定理即可证得平面aef平面a1ad解答：解：（1）连接a1b和a1c，因为e、f分别是侧面aa1b1b和侧面aa1c1c对角线的交点，所以e、f分别是a1b1b和a1c的中点所以efbc3分又bc平面abc，ef平面abc，故ef平面abc；6分（2）三棱柱abca1b1c1为正三棱柱，aa1平面abc，bcaa1，又efbc，efaa18分又d是棱bc的中点，且abc为正三角形，所以bcad由efbc得efad10分而aa1ad=a，aa1，ad平面a1ad，所以ef平面a1ad，12分又ef平面aef，故平面aef平面a1ad14分点评：本题考查平面与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，掌握直线与平面平行的判定定理与平面与平面垂直的判定定理是关键，考查分析与推理证明的能力，属于中档题16（14分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，（1）求角c的大小；（2）若abc的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用专题：解三角形分析：（1）在abc中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（ca）=sin（bc）故有 ca=bc，或者ca=（bc） （不成立，舍去），即 2c=a+b，由此求得c的值（2）由于c=，设a=+，b=，由正弦定理可得 a2+b2=sin2a+sin2b=1+cos2由2，根据余弦函数的定义域和值域求得 a2+b2的取值范围解答：解：（1）在abc中，=，化简可得 sinccosacoscsina=sinbcosccosbsinc，即 sin（ca）=sin（bc）ca=bc，或者ca=（bc） （不成立，舍去），即 2c=a+b，c=（2）由于c=，设a=+，b=，由正弦定理可得 a=2rsina=sina，b=2rsinb=sinb，a2+b2=sin2a+sin2b=+=1cos（+2）+cos（2）=1+cos2由2，可得cos21，1+cos2，即a2+b2的取值范围为 （，点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题17（14分）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示，abcd（abad）为长方形薄板，沿ac折叠后，ab交dc于点p当adp的面积最大时最节能，凹多边形acbpd的面积最大时制冷效果最好（1）设ab=x米，用x表示图中dp的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？考点：函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用分析：（1）利用pa2=ad2+dp2，构建函数，可得dp的长度；（2）表示出adp的面积，利用基本不等式，可求最值；（3）表示出adp的面积，利用导数知识，可求最值解答：解：（1）由题意，ab=x，bc=2x因x2x，故1x2 设dp=y，则pc=xy因adpcbp，故pa=pc=xy由pa2=ad2+dp2，得（xy）2=（2x）2+y2，即（2）记adp的面积为s1，则s1=，当且仅当x=（1，2）时，s1取得最大值 故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好 （3）记adp的面积为s2，则s2s2s2=，于是s2=，关于x的函数s2在（1，）上递增，在（，2）上递减所以当时，s2取得最大值 故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好点评：本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查18（16分）（2013奉贤区二模）已知数列an中，a2=1，前n项和为sn，且（1）求a1，a3；（2）求证：数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1pq），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即，得，两式作差得（n1）an+1=nan ，从而有nan+2=（n+1）an+1 ，+，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件解答：（1）解：令n=1，则a1=s1=0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2； （2）证明：由，即，得，得（n1）an+1=nan ，于是，nan+2=（n+1）an+1 ，+，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1，又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以an=n1 （3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 所以，（）易知（p，q）=（2，3）为方程（）的一组解 当p3，且pn*时，0，故数列（p3）为递减数列 于是0，所以此时方程（）无正整数解 综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，bp，bq成等比数列点评：本题考查等差、等比数列的综合问题，考查等差数列的通项公式，考查递推公式求数列通项，存在性问题往往先假设存在，然后以此出发进行推理论证得到结论19（16分）已知左焦点为f（1，0）的椭圆过点e（1，）过点p（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦ab，cd，设m，n分别为线段ab，cd的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若p为线段ab的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线mn恒过定点，并求出定点坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设a，b的坐标，利用点差法确定k1的值；（3）求出直线mn的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点解答：（1）解：由题意c=1，且右焦点f（1，0）2a=ef+ef=，b2=a2c2=2所求椭圆方程为；（2）解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则，可得k1=；（3）证明：由题意，k1k2，设m（xm，ym），直线ab的方程为y1=k1（x1），即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得（）x2+6k1k2x+=0，同理，当k1k20时，直线mn的斜率k=直线mn的方程为y=（x）即此时直线过定点（0，）当k1k2=0时，直线mn即为y轴，此时亦过点（0，）综上，直线mn恒过定点，且坐标为（0，）点评：本题考查椭圆方程，考查点差法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（16分）已知函数f（x）=ax（x0且x1）（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系专题：分类讨论；导数的综合应用分析：（1）f（x）在（1，+）上为减函数，等价于f（x）0在（1，+）上恒成立，进而转化为f（x）max0，根据二次函数的性质可得f（x）max；（2）命题“若x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（1）易求f（x）max+a，从而问题等价于“当xe，e2时，有f（x）min”，分a，a两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a时可求得f（x）的值域为a，再按（i）a0，（ii）a0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+）上为减函数，故f（x）=a0在（1，+）上恒成立，又f（x）=a=+a=，故当，即x=e2时，所以0，于是a，故a的最小值为（2）命题“若x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（1），当xe，e2时，f（x）max=，所以f（x）max+a=，问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）min”，当a时，由（1），f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；当a时，由于在e，e2上为增函数，故f（x）的值域为f（e），f（e2），即a，（i）若a0，即a0，f（x）0在e，e2上恒成立，故f（x）在e，e2上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=eaee，不合题意；（ii）若a0，即0a，由f（x）的单调性和值域知，唯一，使f（x0）=0，且满足：当x（e，x0）时，f（x）0，f（x）为减函数；当x时，f（x）0，f（x）为增函数；所以，所以a，与0a矛盾，不合题意；综上，得a点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力21（10分）选修41：几何证明选讲如图，abc是o的内接三角形，若ad是abc的高，ae是o的直径，f是的中点求证：（1）abac=aead；（2）fae=fad考点：与圆有关的比例线段专题：直线与圆分析：（1）连接be，利用同圆弧所对的圆周角相等，可得e=c又abe=adc=rt，即可得到abeadc，利用相似三角形的性质即可得出（2）连接of，由f是的中点，可得baf=caf再由（1）相似三角形的可得bae=cad，即可得出结论解答：证明：（1）连接be，则e=c又abe=adc=rt，abeadc，abac=aead（2）连接of，f是的中点，baf=caf由（1）得bae=cad，fae=fad点评：熟练掌握同圆弧所对的圆周角相等，、相似三角形的判定与性质是解题的关键22（10分）选修42：矩阵与变换已知曲线c：y2=2x，在矩阵m=对应的变换作用下得到曲线c1，c1在矩阵n=对应的变换作用下得到曲线c2，求曲线c2的方程考点：旋转变换专题：计算题分析：设p（x，y）为曲线c2上任意一点，p（x，y）为曲线y2=2x上与p对应的点，根据矩阵变换得出 结合p是曲线c1上的点，求得c2的方程即可解答：解：nm=设p（x，y）为曲线c2上任意一点，p（x，y）为曲线y2=2x上与p对应的点，=，得 （5分）p是曲线c1上的点，c2的方程（x）2=2y即y=（10分）点评：本题考查几种特殊的矩阵变换，体现了方程的数学思想属于基础题23（2009江苏模拟）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线c的极坐标方程为2cos2+32sin2=2，直线l的参数方程为试在曲线c上求一点m，使它到直线l的距离最大考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程专题：计算题分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，将极坐标方程2cos2+32sin2=2化成直角坐标方程，再消去参数t将直线l的参数方程化成普通方程，最后利用设点m的坐标的参数形式，结合点到直线的距离公式求解即得解答：解：曲线c的普通方程是（2分）直线l的普通方程是（4分）设点m的坐标是的距离是（6分），d取得最大值（8分）点评：本题考查点的极坐标、参数方程和直角坐标的互化、点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，属于中档题24选修45：不等式选讲已知a0，b0，且2a+b=1，求的最大值考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：要求最大值，即是求同时使取得最大值和4a2+b2（即是14