线性代数复习.doc

线性代数总复习第一章 行列式一、概念1、n级排列：由自然数1、2、3、4、n组成的一个有序数组称为一个n级排列，简称为排列.2、逆序：对n级排列,若,则称与构成一个逆序，记为。3、逆序数: 一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数。 4、奇排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列5、对换：在一个级排列中，若仅将其中两个数对调,其余不动，可得一个新的排列,对排列所施行的这样一次对调称为一个对换。记为：6、n阶行列式：7、余子式和代数余子式：对阶行列式，元素的余子式：。元素的代数余子式：.二、性质1、级排列的总数为个2、一次对换改变排列的奇偶性。3、在所有的级排列中,奇排列与偶排列的个数相等，各为个. 4、阶行列式的展开项中的一般项也可写为：5、阶行列式的展开式又可表示为:6、上三角、下三角行列式的值为对角元积： 7、行列式与其转置相等。8、行列式的性质 (1)、互换行列式的某两行（列），行列式的值变号。 (2)、若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式值为零。 (3)、行列式中某一行（列）的公因子可提到行列式符号的前面。 (4)、若行列式的某一行（列）中所有元素全为零，则此行列式的值为零。 (5)、若行列式的某两行（列）的对应元素成比例，此行列式的值为零。 (6)、 (7)、把行列式的某一行（列）所有元素乘以k加 到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变。9、对n阶行列式，可以按行(列)展开为： 10、Cramer法则: 对元线性方程组，若系数行列式，则该方程组有唯一解，且解为：11、对元齐次线性方程组,(1) 一定有解。(2) 当时，仅有零解。(3) 有非零解的充要条件是:。三、计算 (参考作业)1、求逆序数2、计算行列式(2阶、3阶、高阶)3、求解代数余子式4、行列式按行(列)展开5、利用行列式求解线性方程组的解。第二章 矩 阵一、概念1、矩阵：由mn个数，排成的一个m行n列的数表：称为一个行列矩阵，简记为矩阵2、矩阵的迹：任意n阶方阵A的对角元的和，记为：3、几种特殊的矩阵：对角矩阵、数量矩阵、(上、下)三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。4、分块矩阵：在矩阵A的行和列之间加进一些虚线，把A分成几个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。5、逆矩阵：对于阶方阵，若存在矩阵,使得，则称 为可逆矩阵，简称可逆。并称与互为逆矩阵。6、伴随矩阵：对阶方阵，有伴随矩阵，其中 是A的行列式中元素的代数余子式。7、矩阵的最简形：。8、三种初等变换：(1) 互换矩阵的某两行（列）:(2) 用非0数乘以矩阵的某一行（列）:(3) 用非0数乘以矩阵的某一行（列）再加到另一行（列）:二、性质1、矩阵的加（减）法 2、矩阵的数乘(注意与行列式数乘的不同) 3、两矩阵的乘积，(1) 矩阵乘法不满足交换率,即一般ABBA(2) 矩阵乘法不满足消去率,即由AB=AC,A0,不能得出B=C(3) 在矩阵乘法中，由AB=0不能推出A=0或B=0。4、方阵的幂：设A为n阶方阵，k为正整数，(1) 只有当为阶方阵时，才有方幂的概念.(2) (什么时候成立？) (3) 一般来说： (什么时候成立？)5、矩阵的转置，转置操作的一些性质：6、方阵的行列式(1) 当是同阶方阵时,。(2) 若为实数，则对于阶方阵，。(3) 为阶方阵，则。7、对角矩阵的性质：(1)、同阶对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵。(2)、对角矩阵的转置仍为对角矩阵且与原矩阵相同8、三角矩阵的性质：(1) 同阶上（下）三角矩阵的和、差、积仍为上（下）三角矩阵。(2) 上(下)三角矩阵的转置为下(上)三角矩阵9、对称矩阵与反对称矩阵的性质： (1) 同阶对称矩阵（反对称矩阵）的和、差仍为对称矩阵(反对称矩阵).(2) 阶方阵为对称矩阵的充要条件是(3) 阶方阵为反对称矩阵的充要条件是(4) 两个对称(反对称)矩阵乘积不一定是对称(反对称)矩阵。10、分块矩阵的性质。(1)、两同阶矩阵相加，要求的两个矩阵采用相同的分块方法。(2)、两矩阵相乘，要求的列的分法与的行的分法相同.(3)、分块矩阵的转置 ，则(4)、对于分块矩阵，则11、若可逆，则： 12、若可逆，则：13、n阶方阵A与其伴随矩阵满足： 若A可逆。则：14、n阶方阵A可逆的充要条件是。15、若为同阶方阵，且，则均可逆，且16、初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆仍为初等矩阵。 17、对矩阵施行一次初等行变换相当于在的左边乘以相应的 初等矩阵; 施行一次初等列变换相当于在的右边乘以相应的初等矩阵。18、任意一个矩阵，总可以经过有限次初等变换，化为最简形。 推论(1): n阶方阵A可逆的充要条件是A的最简形为单位阵E.19、阶方阵可逆的充要条件是能表示成一系列初等矩阵的乘积。即 推论(2)：若阶方阵可逆，则可以经过一系列初等行变换将化为单位矩阵E.三、计算 (参考作业)1、求解伴随矩阵2、利用矩阵的性质，证明矩阵关系。3、可对易矩阵的二项式展开。4、求解逆矩阵 (1) 采用伴随矩阵方法 (2) 构造分块矩阵，并利用初等变换5、利用初等变换求解线性方程组的解。第三章 向 量一、概念1、向量：由n个实数组成的有序数组或，称为n维向量，其中ai 称为该向量的第i个分量。2、向量的运算 加减： 数乘：3、向量间的线性关系 (1)、线性方程组的向量表达式： (2)、向量可由向量组线性表示，则存在一组数，使得，或者说向量方程组有解。 (3)、零向量是任意向量组的线性组合. (4)、向量组中的任意一个向量都可以由这个向量组线性表示。4、线性相关：对于向量组，作向量方程，若存在一组不全为零的数，使得方程组成立，则称向量组线性相关。若只存在，使得方程组成立则称向量组线性无关。5、极大无关组：若是向量组的一个极大线性无关组，则：(1)是的部分组；(2)线性无关；(3)线性无关；(4)任意r+1个向量构成的部分组线性相关。6、向量组的线性表示：设有两个向量组和，若向量组A中的每一个向量都可以由向量组B线性表示,则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。线性表示具有传递性。7、等价：若向量组和向量组可以互相线性表示，则称两向量组等价。记为：。等价具有传递性，即若,，则8、向量组的秩：一个向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩。9、矩阵的秩：矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为A的列秩，矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩。10、矩阵的子式：在矩阵中，任取k行、k列，位于这些行和列交叉点处的个元素按原顺序所构成的k阶行列式 称为矩阵A的一个k 阶子式。11、基础解系：齐次线性方程组的解向量组的极大无关组二、性质1、向量组和它的极大无关组等价。 推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。2、若向量组可由向量组线性表示，且，则向量组线性相关。 推论1：若向量组可由向量组，且向量组线性无关，则：ms. 推论2：两个等价的线性无关的向量组 所含向量个数相同。 推论3：任意n+1个（或更多）n维向量构成的向量组线性相关 推论4：向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同。3、等价向量组有相同的秩。4、线性无关的向量组的极大无关组为该向量组本身。5、向量组线性无关的充要条件是：6、若向量组可由向量组线性表示，则： 7、初等变换不改变矩阵的秩。8、设A是mn矩阵，则A的秩等于r的充要条件是：矩阵A中至少有一个r阶子式不为零，且所有的r+1阶子式都为零。9、线性方程组有解的充要条件是。无解的充要条件是：。若方程组有解，当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解。 推论1：齐次线性方程组AX=O有非零解的充要条件是；推论2：齐次线性方程组AX=O，若，则齐次线性方程 组仅有零解。10、若齐次线性方程组AX=O的系数矩阵的秩，则该方程组存在基础解系，且每个基础解系由n-r个解向量构成。三、计算1、证明向量组的相关性。2、求齐次线性方程组AX=O的基础解系。3、求解非齐次线性方程组AX=B的通解。第四章 向量空间、特征值与特征向量一、概念1、向量空间：所有分量为实数的n维向量构成的集合 2、基与坐标： 基：在向量空间中，n个线性无关的向量称为的一组。 坐标：设是的一组基，则中的任一向量a 都可唯一表示为：，称系数为向量a在基下的坐标，记作。3、过渡矩阵：设向量组与为的两组基，则向量可由线性表示，令：，则： 则称矩阵为由基转变为基的过渡矩阵。4、向量的内积：对向量，内积定义为： 5、向量的长度：对于任意向量，向量长度定义为：6、单位向量：向量的长度为1的向量称为单位向量4、向量正交：如果任意两向量与满足，则称向量与正交。5、正交向量组：两两正交的非零向量组。6、正交基：若是的正交向量组，则就是的正交基。7、标准正交基：若是的正交向量组，且为单位向量，则就是的标准正交基。8、正交矩阵：如果阶方阵A满足，则称A为正交矩阵。9、特征值与特征向量：对于方阵，若存在实数和维非0向量使得，则称为的特征值，则称为的特征向量，称为的本征方程。10、特征多项式：。11、特征方程：12、代数重数和几何重数：设为阶方阵，其特征值，某一特征值的重根数就称为代数重数，而的特征向量子空间的维数称为几何重数。 二、性质1、过渡矩阵可逆。2、设与为的两组基，由到过度矩阵为，对于向量，在基和基下的坐标分别为和，则： 或 1、设是一组正交向量组，则线性无关2、n阶方阵A为正交矩阵，则：3、 如果n阶方阵A满足, 则A为正交阵4、若A为正交矩阵，则。5、若A是正交阵，则及均为正交阵6、若A、B是n阶正交阵，则AB 为正交阵。7、 n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是A的n个列(行)向量构成的一组标准正交基8、n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。9、设是A的特征值，是A的属于的特征向量，则 （1） 是 的特征值（为任意常数） （2） 是的特征值(为正整数) （3）当可逆时，则是的特征值10、设是的个特征值，则 （1） （2） 三、计算 (参考作业)1、判断是否为的一组基。2、求向量a在任意基下的坐标。3、求空间中基到基的过渡矩阵。4、已知向量在基下的坐标为，求在另一基下的坐标为。5、把非零向量单位化。6、利用施密特（Schmidt）正交化法交任意一组基转变为一组标准正交基。7、求的特征值8、求的属于特征值的特征向量。第五章 二次型一、概念1、二次型的定义，二次型矩阵的定义2、非退化线性替换：对于n元变量和，做替换，若，则称与之间为非退化替换。3、矩阵的合同：设，若存在可逆矩阵，使得，则称A与B合同。 合同的性质：反身性，对称性、传递性、同秩性。4、标准型：只有平方项的n元二次型称为标准型，其二次型矩阵为对角阵。5、规范型：任意n元二次型都可以经过非退化替换表示为 这种特殊的标准型称为规范型，且表示唯一。这里称为正惯性指数，称为负惯性指数。6. 合同变换：合同变换是指下列三种变换， (1) 互换矩阵的i,j两行，再互换矩阵的i,j两列；(2) 以数 k(k0)乘矩阵的第 i 行，再以数 k 乘矩阵的第 i 列；(3) 将矩阵的第i行的k倍加到第j行，再将第i列的k倍加到。7、正定二次型：，其二次型矩阵称为正定矩阵； 负定二次型：，其二次型矩阵称为负定矩阵； 半正定二次型：，其二次型矩阵称为半正定矩阵； 半负定二次型：，其二次型矩阵称为半负定矩阵；不定二次型：，其二次