江苏省南通市高三数学最后一卷（临门一脚）试题苏教版(1).doc

南通市2014届高三数学临门一脚数学i参考公式：棱锥的体积公式：，其中s为锥体的底面积，h为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知集合a=1，k-1，b=2，3，且ab=2，则实数k的值为 2若复数z满足iz=2(i为虚数单位)，则z= 3不等式组所表示的平面区域的面积为 4函数y=sin2x的最小正周期为 5若正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，则三棱锥a-bda1的体积为 6已知函数若f(x)=5，则x= 7设函数f(x)=log2x(0x5)，则f(x)2y0，则的最小值为 12设tr，t表示不超过t的最大整数则在平面直角坐标系xoy中，满足x2+y2=13的点p(x，y)所围成的图形的面积为 13设函数f(x)满足f(x)=f(3x)，且当x时，f(x)=lnx若在区间内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得=t，则实数t的取值范围为 14设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在abc中，|=3，|=5，|=7(第15题图)bacd(1)求c的大小；(2)设d为ab的中点，求cd的长16（本小题满分14分）如图，ab为圆o的直径，点e，f在圆上，四边形abcd为矩形，abef，baf=，m为bd的中点，平面abcd平面abef求证：(第16题图)acdfemob(1)bf平面daf；(2)me平面daf17（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形abcd是矩形，弧cmd是半圆，凹槽的横截面的周长为4若凹槽的强度t等于横截面的面积与边的乘积，设ab=2x，bc=y(1)写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；(第17题图)图1图2abcdm(2)求当x取何值时，凹槽的强度t最大18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆(ab0)过点(1，1)(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点p，q，满足opoq 已知命题：“直线pq恒与定圆c相切”是真命题，试直接写出圆c的方程；(不需要解答过程) 设中的圆c交y轴的负半轴于m点，二次函数y=x2-m的图象过点m点a，b在该图象上，当a，o，b三点共线时，求mab的面积s的最小值19（本小题满分16分）设数列an，a1=1，数列bn，正数数列dn，(1)求证：数列bn为等差数列；(2)设数列bn，dn的前n项和分别为bn，dn，求数列bndn+dnbn-bndn的前n项和sn20（本小题满分16分）设函数f(x)=ax2+ex(ar)有且仅有两个极值点x1，x2(x1x2)(1)求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a满足f(x1)=?如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由数学（附加题）21【选做题】本题包括a、b、c、d共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）oaecdbf(第21a图)如图，o是等腰三角形abc的外接圆，ab=ac，延长bc到点d，使得cd=ac，连结ad交o于点e，连结be与ac交于点f，求证be平分abcb选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，a的两个特征值为，=3(1)求a，b的值；(2)求属于的一个特征向量c选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）圆c的参数方程为(q为参数)，设p是圆c与x轴正半轴的交点以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系设过点p的圆c的切线为l，求直线l的极坐标方程d选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求的最大值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）(1)计算：；(2)观察下面一组组合数等式：； 由以上规律，请写出第k(kn*)个等式并证明23（本小题满分10分）设数列an，bn满足a1=b1，且对任意正整数n，an中小于等于n的项数恰为bn；bn中小于等于n的项数恰为an(1)求a1；(2)求数列an的通项公式南通市2014届高三数学临门一脚参考答案与评分建议数学i参考公式：棱锥的体积公式：，其中s为锥体的底面积，h为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知集合a=1，k-1，b=2，3，且ab=2，则实数k的值为 答案：32若复数z满足iz=2(i为虚数单位)，则z= 答案：-2i3不等式组所表示的平面区域的面积为 答案：24函数y=sin2x的最小正周期为 答案：5若正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，则三棱锥a-bda1的体积为 答案：6已知函数若f(x)=5，则x= 答案：8或-27设函数f(x)=log2x(0x5)，则f(x)2y0，则的最小值为 答案：412设tr，t表示不超过t的最大整数则在平面直角坐标系xoy中，满足x2+y2=13的点p(x，y)所围成的图形的面积为 答案：813设函数f(x)满足f(x)=f(3x)，且当x时，f(x)=lnx若在区间内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得=t，则实数t的取值范围为 答案：14设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 答案：92二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在abc中，|=3，|=5，|=7(第15题图)bacd(1)求c的大小；(2)设d为ab的中点，求cd的长解：(1)依题意bc=3，ca=5，ab=71分由余弦定理，得= 4分因0c，6分故c=8分(2)由余弦定理，得11分在adc中，ad=，cd2=ac2+ad2-2acadcosa=，于是cd=14分16（本小题满分14分）(第16题图)acdfemob如图，ab为圆o的直径，点e，f在圆上，四边形abcd为矩形，abef，baf=，m为bd的中点，平面abcd平面abef求证：(1)bf平面daf；(2)me平面daf解：(1)因四边形abcd为矩形，故daab因平面abcd平面abef，且da平面abcd，平面abcd平面abef=ab，故da平面abef 3分因bf平面abef，故dabf 4分因ab为直径，故bfaf因da，af为平面daf内的两条相交直线，故bf平面daf7分(2)因baf=，abef，故ef=8分取da中点n，连nf，mn，因m为bd的中点，故mnab，且mn=，于是四边形mnfe为平行四边形，所以menf11分因nf平面daf，me平面daf，故me平面daf14分注：第(2)问，亦可先证明me平面moe17（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形abcd是矩形，弧cmd是半圆，凹槽的横截面的周长为4若凹槽的强度t等于横截面的面积与边的乘积，设ab=2x，bc=y(1)写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；(第17题图)图1图2abcdm(2)求当x取何值时，凹槽的强度t最大解：(1)易知半圆cmd的半径为x，故半圆cmd的弧长为x所以，4=2x+2y+x，得4分依题意，知：0xb0)过点(1，1)(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点p，q，满足opoq(2)若椭圆上两动点p，q，满足opoq 已知命题：“直线pq恒与定圆c相切”是真命题，试直接写出圆c的方程；(不需要解答过程) 设中的圆c交y轴的负半轴于m点，二次函数y=x2-m的图象过点m点a，b在该图象上，当a，o，b三点共线时，求mab的面积s的最小值解：(1)由，所以2分设椭圆方程为，将(1，1)代入得，所以，椭圆方程为5分(2)9分由题意，二次函数为y=x2-110分设直线ab的方程为y=kx由，消去得，设，则，12分所以 14分当时，mab的面积s的最小值为1 16分19（本小题满分16分）设数列an，a1=1，数列bn，正数数列dn，(1)求证：数列bn为等差数列；(2)设数列bn，dn的前n项和分别为bn，dn，求数列bndn+dnbn-bndn的前n项和sn解：(1)由，得又，所以3分又b1=a1=1，所以数列bn是以1为首项，1为公差的等差数列4分(2)由(1)得，bn=6分因，故由dn0，得于是， 10分又当n2时，bndn+dnbn-bndn=(bn-bn-1)dn+(dn-dn-1)bn-(bn-bn-1)(dn-dn-1)=bndn-bn-1dn-1，所以sn=(bndn-bn-1dn-1)+(bn-1dn-1-bn-2dn-2)+(b2d2-b1d1)+b1d1=bndn14分因s1=b1d1+d1b1-b1d1=b1d1也适合上式，故对于任意的nn*，都有sn=bndn所以sn=bndn= 16分20（本小题满分16分）设函数f(x)=ax2+ex(ar)有且仅有两个极值点x1，x2(x1x2)(1)求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a满足f(x1)=?如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由解：(1)=2ax+ex显然a0，x1，x2是直线y=与曲线y=g(x)=两交点的横坐标2分由=0，得x=1列表：x(-，1)1(1，+)+0-g(x)g(x)max= 4分此外注意到：当x0时，g(x)0；当x0，1及x(1，+)时，g(x)的取值范围分别为0，和(0，)于是题设等价于0a，故实数a的取值范围为(-，)6分(2)存在实数a满足题设证明如下：由(1)知，0 x11x2，=2ax1+=0，故f(x1)=，故8分记r(x)=(0x0，0，而x1=(0，1)，故当a=时，f(x)极大=f(x1)=16分南通市2014届高三数学临门一脚数学（附加题）21【选做题】本题包括a、b、c、d共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，o是三角形abc的外接圆，ab=ac，延长bc到点d，使得cd=ac，连结ad交o于点e，连结be与ac交于点f，求证be平分abcoaecdbf(第21a题图)解：因cd=ac，故d=cad因ab=ac，故abc=acb因ebc=cad，故ebc=d因abc=abe+ebc，acb=d+cad故abe=ebc，即be平分abc 10分b选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，a的两个特征值为，=3(1)求a，b的值；(2)求属于的一个特征向量解：(1)令，于是+=a+4，=4a+b解得a=1，b=2 5分(2)设=，则=3=，故解得x=y于是，=10分c选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）圆c的参数方程为(q为参数)，设p是圆c与x轴正半轴的交点以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系设过点p的圆c的切线为l，求直线l的极坐标方程解：由题设知，圆心，cpo=60，故过p点的切线的倾斜角为30 3分设是过p点的圆c的切线上的任一点，则在pmo中，mop=，由正弦定理得，于是，即（或）即为所求切线的极坐标方程10分d选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求的最大值解：因 a、b、c0，故()2 = ()2(a+1)+(b+1)+(c+1)(1+1+1)=12，3分于是，当且仅当，即a=b=c=时，取“=”所以，的最大值为10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）(1)计算：；(2)观察下面一组组合数等式：； 由以上规律，请写出第k(kn*)个等式并证明解：(1)原式=20745分(2)等式为：，kn* 7分证明：=10分23（本小题满分10分）数列an，bn满足a1=b1，且对任意正整数n，an中小于等于n的项数恰为bn；bn中小于等于n的项数恰为an(1)求a1；(2)求数列an的通项公式解：(1)首先，容易得到一个简单事实：an与bn均为不减数列且ann，bnn若a1=b1=0，故an中小于等于1的项至少有一项，从而b11，这与b1=0矛盾若a1=b12，则an中没有小于或等于1的项，从