2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.3幂函数讲义新人教A版.docx

33幂函数最新课程标准：通过具体实例，结合yx，y，yx2，y，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.知识点一幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量知识点二幂函数的图象与性质函数yxyx2yx3yxy定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(，0)上递减，在(0，)上递增在R上递增在(0，)上递增在(，0)和(0，)上递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)幂函数在区间(0，)上，当0时，yx是增函数；当0时，yx是减函数教材解难教材P90思考通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题基础自测1在函数y，y3x2，yx22x，y1中，幂函数的个数为()A0B1C2 D3解析：函数yx4为幂函数；函数y3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数yx22x不是yx(是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y1与yx01(x0)不相等，所以y1不是幂函数答案：B2幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)()A8 B6C4 D2解析：设幂函数f(x)x(为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得3，则幂函数f(x)x，f(8)84.答案：C3已知幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，则m()A1 B2C1或2 D3解析：幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，m23m31，即m23m20，解得m1或m2.当m1时，幂函数f(x)x2为偶函数，满足条件当m2时，幂函数f(x)x3为奇函数，不满足条件故选A.答案：A4判断大小：0.20.2_0.30.2.解析：因为函数yx0.2是增函数，又0.20.3，0.20.20.30.2.答案：1)其中幂函数的个数为()A1B2C3 D4(2)若函数y(m22m2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为()A.1 B3C1 D3(3)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)_.【解析】(1)为指数函数，中系数不是1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数(2)因为函数y(m22m2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以所以m1.(3)设f(x)x，所以3，2，所以f(4)42.【答案】(1)B(2)A(3)(1)依据幂函数的定义逐个判断(2)依据幂函数的定义列方程求m.(3)先设f(x)x，再将点(3，)代入求.方法归纳(1)幂函数的判断方法幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如yx(R)的函数才是幂函数如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断(2)求幂函数解析式的依据及常用方法依据若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件常用方法设幂函数解析式为f(x)x，根据条件求出.跟踪训练1(1)给出下列函数：y；y3x2；yx4x2；y；y(x1)2；y0.3x.其中是幂函数的有()A.1个 B2个C3个 D4个(2)函数f(x)(m2m1)x是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断在所给出的六个函数中，只有yx3和yx符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数(2)根据幂函数定义得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数，当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合要求故f(x)x3.答案：(1)B(2)f(x)x3(1)利用幂函数定义判断(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证题型二幂函数的图象及应用经典例题例2幂函数yxm，yxn，yxp，yxq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“0，不过原点的0，所以n1时，在直线yx上方的1，下方的1，0m1，0q1时，指数越大，图象越高，所以mq，综上所述nqmp.【答案】nqmp依据0,01的幂函数图象的特征判断方法归纳解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或yx或yx3)来判断 跟踪训练2当时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限解析：幂函数yx1，yx，yx3的图象经过第一、三象限；yx的图象经过第一象限；yx2的图象经过第一、二象限所以幂函数yx的图象不可能经过第四象限答案：四要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点题型三幂函数的单调性质及应用教材P91例1例3证明幂函数f(x)是增函数【证明】函数的定义域是0，)x1，x20，)，且x1x2，有f(x1)f(x2) .因为x1x20，所以f(x1)0时在第一象限单调递增，当2.9，所以3.11.32.91.3.(2)方法一函数yx在(0，)上为减函数，又因为.方法二4，3.而函数yx在(0，)上单调递增，且43，所以43，即.(3)因为01；所以.(1)利用函数yx1.3的单调性来判断(2)利用函数yx的单调性来判断(3)找中间量判断一、选择题1下列结论正确的是()A幂函数图象一定过原点B当1时，幂函数yx是增函数D函数yx2既是二次函数，也是幂函数解析：函数yx1的图象不过原点，故A不正确；yx1在(，0)及(0，)上是减函数，故B不正确；函数yx2在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数，故C不正确答案：D2设，则使函数yx的定义域为R且函数yx为奇函数的所有的值为()A1,3B1,1C1,3 D1,1,3解析：yx，yx2，yx3，yx，yx1是常见的五个幂函数，显然yx为奇函数时，1,1,3，又函数的定义域为R，所以1，故1,3.答案：C3在下列四个图形中，yx的图象大致是()解析：函数yx的定义域为(0，)，是减函数故选D.答案：D4函数yx在1,1上是()A增函数且是奇函数 B增函数且是偶函数C减函数且是奇函数 D减函数且是偶函数解析：由幂函数的性质知，当0时，yx在第一象限内是增函数，所以yx在(0,1上是增函数设f(x)x，x1,1，则f(x)(x) xf(x)，所以f(x)x是奇函数因为奇函数的图象关于原点对称，所以x1,0)时，yx也是增函数当x0时，y0，故yx在1,1上是增函数且是奇函数答案：A二、填空题5已知幂函数f(x)x (mZ)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是_解析：函数的图象与x轴，y轴都无交点，m210，解得1m2.5，则的取值范围是_解析：02.42.5，yx在(0，)上为减函数，故0.答案：07已知幂函数f(x)x的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)2的解集是_解析：由表中数据知，f(x)x，|x|2，即|x|4，故4x4.答案：x|4x4三、解答题8已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数解析：(1)f(x)是幂函数，故m2m11，即m2m20，解得m2或m1.(2)若f(x)是正比例函数，则5m31，解得m.此时m2m10，故m.(3)若f(x)是反比例函数，则5m31，则m，此时m2m10， 故m.(4)若f(x)是二次函数，则5m32，即m1，此时m2m10，故m1.9比较下列各题中两个值的大小；(1)2.3，2.4；(2)() ，()；(3)(0.31)，0.35.解析：(1)yx为0，)上的增函数，且2.32.4，2.32.4.(2)yx为(0，)上的减函数，且().(3)yx为R