江苏省南通市高级中学高三数学模一试题.doc

南通市高级中学2014-2015年高三数学一模试卷试题注 意 事 项 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合，则 2 若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为 3 已知函数在处的导数为，则实数的值是 4 根据国家质量监督检验检疫局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验(gb195222004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据： 根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 5 要得到函数的函数图象，可将函数的图象向右至少平移 个单位6在平面直角坐标系xoy中，“直线，与曲线相切”的充要条件是“ ”7 如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，已知学号在110的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 8 在abc中，若，则 9 已知是上的奇函数，且时，则不等 式的解集为 10设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 11已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是 12在平面直角坐标系xoy中，过点、分别作x轴的垂线与抛物线分别交于点，直线与 x轴交于点，这样就称确定了同样，可由确定，若，则 13定义：x，y为实数x，y中较小的数已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 14在平面直角坐标系xoy中，直角三角形abc的三个顶点都在椭圆上，其中为直角顶点若该三角形的面积的最大值为，则实数的值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知函数 （1）求的最小正周期和值域；（2）若为的一个零点，求的值 16（本题满分14分） 如图，在边长为1的菱形abcd中，将正三角形bcd沿bd向上折起，折起后的点c记为，且（）（1）若，求二面角cbd的大小；（2）当变化时，线段上是否总存在一点e，使得a/平面bed？请说明理由 17（本题满分15分） 在平面直角坐标系中，设a、b是双曲线上的两点，是线段ab的中点，线段ab的垂直平分线与双曲线相交于c、d两点（1）求直线ab与cd的方程；（2）判断a、b、c、d四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由 18（本题满分15分） 某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位） （参考数据：，） 19（本题满分16分） 已知函数的导函数是二次函数，且的两根为若的极大值与极小值 之和为0， （1）求函数的解析式； （2）若函数在开区间上存在最大值与最小值，求实数的取值范围（3）设函数，正实数a，b，c满足，证明： 20（本题满分16分） 设首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，其中为常数. （1）求的值；（2）求证：数列为等比数列；（3）证明：“数列，成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“， 且” 试题（附加题）21【选做题】本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a（几何证明选讲）如图，ab是半圆的直径，c是ab延长线上一点，cd切半圆于点d，cd=2，deab，垂足为e，且e是ob的中点，求bc的长 b（矩阵与变换）已知矩阵的属于特征值的一个特征向量为，求实数、的值 c（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xoy中，已知点在曲线（为参数，为正常数），求的值 d（不等式选讲） 设均为正数，且，求证： 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤22已知函数，求的最大值. 23（1）已知，且，求证：；（2）设数列，满足，（i1，2，3，）证明：对任意的正整数n，是关于的一次式 南通市数学一模试卷参考答案1. ； 2. 3； 3. 2； 4. 0.09； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ；9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 3答案解析1易得，则；2. ；3. 易得，则，即；4. “饮酒驾车” 发生的频率等于；5. 将向右至少平移个单位得；6. 易得，且，即；7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是；8. 设，则，且，利用可 求得，所以；9. 易得，故所求解集为；10. 法1 设正四棱锥的底面边长为，则体积，记， ，利用导数可求得当时，此时；法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则， ，记，利用导数可求得当时，此时；15命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力（1）易得 ，（5分） 所以周期，值域为；（7分）（2）由得，（9分） 又由得 所以故，（11分） 此时， （14分） 16命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力解：（1）连结，交于点，连结， 菱形abcd中， 因三角形bcd沿bd折起，所以， 故为二面角cbd的平面角，（5分） 易得，而， 所以，二面角cbd的大小为；（7分） （2）当变化时，线段的中点e总满足a/平面bed，下证之：（9分） 因为e，o分别为线段，ac的中点， 所以，（11分） 又平面bed，平面bed， 所以a/平面bed. （14分）17命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力解：（1）设a，则， 代入双曲线得 解得或 即的坐标为、， 所以：，：；（7分） （2）a、b、c、d四点共圆，下证之：（9分） 证明：由与联立方程组可得 的坐标为、，（11分） 由三点a、b、c可先确定一个圆，（13分） 经检验适合式，所以a、b、c、d四点共圆（15分） （注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力 解：（1）设文科阅卷人数为，且， 则阅卷时间为（5分） 而故， 答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分） （2）文科阅卷时间为：，（11分） 理科阅卷时间为：，（14分） 答：全省阅卷时间最短为天（15分） 19命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力 解：（1）设， 则可设，其中为常数. 因为的极大值与极小值之和为0， 所以，即， 由得， 所以；（5分） （2）由（1）得，且0+0极小值极大值 列表： 由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分） 又，故， 所以，且， 解得；（10分） （3）题设等价与，且a，b，c0， 所以a，b，c均小于 假设在a，b，c中有两个不等，不妨设ab，则ab或ab 若ab，则由得即， 又由得ca 于是abca，出现矛盾 同理，若ab，也必出现出矛盾 故假设不成立，所以（16分）20命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力解：（1）n = 1时，由得p = 0或2，（2分） 若p = 0时， 当时，解得或， 而，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分） （2）当p = 2时， ，则， 并化简得 ，则 ， 得（），又易得， 所以数列an是等比数列，且；（10分） （3）充分性：若x = 1，y = 2，由知，依次为， 满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；（12分） 必要性：假设，成等差数列，其中x、y均为整数，又， 所以， 化简得 显然，设， 因为x、y均为整数，所以当时，或，故当，且当，且时上式成立，即证 （16分） 21a命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力解：连接od，则oddc，在rtoed中，obod，所以ode30，（5分）在rtodc中，dco30，由dc2得oddctan30，所以bc（10分） b命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=，（5分） 所以解得.（10分）c命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力解：由（为参数，为正常数），消去参数得，（8分） 将点代入得.（10分） d命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力证明：因为a1，a2，a3均为正数，且，所以，（8分） 当且仅当时等号成立， 所以.（10分）22命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力证明：