统计信号处理习题解答.pdf

2 3 积分器是一个线性系统 其冲激响应为 0 t t T h tu dutT 功率密度 函数为 x Sf的随机信号 x t通过该系统后的输出为 t t T y tx u du 求 y t 的功率谱密度函数 y Sf以及 x t与 y t的互功率谱密度函数 yx Sf 解 2 tt T t Tt T T h tu dudU uU tU tTgt 2 T Tw gtTSa 2 22 jwT T TTw h tgtTSaeH jw 2 2 2 2 jfT H jfTSa Tfe 222 yxx SfH jfSfT SaTf Sf jfT yxxx SfH jf SfTSaTf Sf e 2 5 设 x t与 y t都为平稳随机过程 通过图 2 9 的调制系统后 输出为 z t 1 求 z t的自相关函数 2 当 xy RR 0 xy R 时 证明 cos zx RR x t cos t y t sint z t 图 2 9 解 1 cos sinz tx tty tt 1212 11112222 12121212 12121221 cos sin cos sin coscos sinsin cossin cossin z xy xyyx R t tE z t z t Ex tty ttx tty tt R t tttR t ttt Rt tttRt ttt 因为 x ty t为平稳随机过程 12121221 coscos sinsin cossin cossin xyxyyx RttRttRttRtt 上式 2 0 0 xyxyyx RRRR 则 可得 1212 coscossinsin cos zxx RRttttR 2 7 假设线性系统如图 2 11 所示 输入端 1 x t与 2 xt为联合广义平稳随机 过程 输出分别为 1 y t和 2 yt 1 求输出端互相关函数 1 2 y y R 与输入端互相关函数 1 2 x x R 的关系式 2 若 12 x tx txt 作用到冲激响应为 h t的线性时不变系统 输 出为 y t 求 y t的均值 自相关函数以及功率谱密度 1 x t 2 xt 1 y t 2 yt d dt 解 1 输出端自相关函数 1 2 1 21 2 1 2 11221122 2222 11 0 11221122 0 0 lim lim lim y y t t x xx x t x x d RE y t y tE x tx t dt x ttx t E x t t E x t x ttx t x t t RtR t d R dt 2 输出 12 y tx th tx th tx th t 均值 12 12 12 y xx xx m tE y tEhx tdEhx td hmtdhmtd hmtmt 因为 12 x t x t为联合广义平稳随机过程 则 1212 0 yxxxx m tmmhdmmH 自相关函数 122 11 2 1212 121212 121212121212 y x xxx xx x R t tE y t y t hhRd d hhRRRRd d 功率谱密度函数 2 yx SH jS 又 11 22 12 j xxxx xx xx SRedSSSS 则 11 22 12 22 yxxx xx xx SH jSH jSSSS 2 12 均值为零 方差为 2 x 的白噪声序列 x n先通过一个平均器 其输出 y n与 x n的关系为 1 1 2 y nx nx n y n再通过一个差分器 其输出 z n与 y n的关系为 1z ny ny n 求 z n的均值 z m 方 差 2 z 自相关函数 z Rk以及其功率谱密度 z S 解 由题目中条件可知 两个系统的单位冲激响应分别为 平均器 1 11 1 22 h nnn 差分器 2 1 h nnn 故而 整个系统的冲激响应为 12 h nh nh n 1 1 1 2 1 2 2 nnnn nn 输出序列的均值为 0 zX kk mE z nEh k x nkmh k 222 0 zzz E z nmE z nR 2 1 1 2 jw H jwe 2 22 111 1 1 1 2cos21 1 cos2 442 jwjw H jweeww 输出的功率谱密度函数为 2 2 1 1 cos2 2 zXX S wH jwSww 自相关函数为 12 1122 2 11 2 2 22 1 2 2 2 4 z X R kE z n z n Ex nx nx nx n kkk 22 1 0 2 zzX R 2 16线 性 时 不 变 系 统 输 入 x n与 输 出 y n的 关 系 为 12 12y nx nb y nb y n 这是一个二阶 AR 模型 x n是零均值 方差为 2 x 的白噪声序列 1 求使 y n平稳的条件 2 证明 y n的功率谱密度为 1 222 12122 121cos2cos2 yx Sbbbbb 3 求 y n的自相关函数 解 1 y n平稳 则需系统为因果稳定的 系统的传输函数 1211 1212 11 1 1 1 H z b zb zzz 极点为 2 112 1 2 4 2 bbb 为使系统平稳 则需 1 2 1 2 输出的功率谱密度函数 2 xx S 系统传输函数 2 12 1 1 jj H j beb z 2 22 12121 2 1 12cos2cos22cos H j bbbbbb 输出的功率谱密度函数 2 2 22 12121 2 12cos2cos22cos x yx SH jS bbbbbb 3 冲激函数 12 1 2 0 0 0 bh nb h nn n h n n 则输出的自相关函数 2 12 1 2 yxyy R nhnbR nb R n 3 1 二元假设如下 0 1 Hxn Hxsn 其中s与n是统计独立的随机变量 它们的概率密度函数分别是 2 2 1 2 1 2 s s n n f se fne 1 求似然比统计量 2 若采用最小平均错误概率准则 求检测器的门限与假设先验概率之间的关 系 3 若采用纽曼 皮尔逊准则 求检测门限与虚警概率的函数关系 解 1 最大似然函数为 2 2 00 11 1 2 x sn Hf x He Hf x Hfxfx 2 22 11 2 2 2 11 22 11 22 11 2 22 2 11 1 1 1 22 sn sn x nn x x n nn x n x xx Hf x Hfxfx fxn fn dn eedn ednedn exex 22 11 1 2222 0 22 1 1 1 22 xx xx f x H xexex f x H 2 假设先验概率分别为 01 P HP H 则检测门限为 0 1 P H th P H 3 设虚警概率为 则 2 2 100 1 1 2 x thth P DHf x H dxedxth 其中 th为检测门限 3 4 观测样本x在两种假设下分别服从均值不同的高斯分布 2 0 2 1 0 1 HxN HxN 已知 1 2 i P H 0 1i 将样本x通过一个平方器 它的输出与输入之间满 足 2 yax 采用最小错误概率判决对y进行判决 求判决规则 解 由 2 yax 可以求得y的概率密度函数表达式为 1 2 xx yy f yff aay a a 可得 2 2 0 1 2 y a f y He ay 2 2 1 22 2 1 2 1 1 22 y a y a f y Hee ay 判决准则为 1 0 10 10 1 H H fy HP H P Hfy H 化简得到判决规则为 1 0 22 2 1 ln ln2 2 yy aa H H ee 3 8 在实际情况中 我们得到的两种假设下观测值的概率密度函数是离散的 如 果在概率密度函数中使用冲激函数 同样可以推导似然比检验 假定在二元假设 下得到的观测值服从泊松分布 0 00 1 11 exp 0 1 2 exp x x m P xn Hm x n m P xn Hm x 若 1001 mm P HP H 试证明 1 似然判决规则是 1 0 10 10 lnln H H mm x mm 2 虚警概率为 0 1 0 0 0 1exp nn n m m n 漏警概率 0 1 1 1 0 exp nn n m m n 其中 10 0 10 lnln mm n mm 表示对 10 10 lnln mm mm 向上取整数 证明 1 1 0 1 1 01 001 0 exp 1 exp x H x H m m P HP xn H x x mP xn HP H m x 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1010 10 10 exp 1 exp lnln exp lnln H x H H H H H m mm m xmmmm mm x mm 2 0 1 00000 0 1 1 1 n n P DHP xnnHP xn H 00 0 00 11 00 00 00 1 01011 0 11 11 11 00 10 0 10 1exp 1exp exp exp lnln nnnn nn n n nnnn nn mm mm nn P DHP xnnHP xn H mm mm nn mm n mm 其中 3 12 观测值为 1 n i i yx 其中 1 2 i x iN 是独立同分布的高斯随机变量 它们 的概率密度函数为 2 2 1 exp 22 i i x f x 样本数N服从 Poisson 分布的随机变量 0 1 2 k P Nkek k 二元假设如下 0 1 3 2 HN HN 求似然比检验统计量 解 由题意知 2 0 N fyNN 11 1 2 11 2 N i n N i ni F h HP yy HPxy N Pxy Nn P Nn 2 22 1 2 11 1 exp 2 2 nn n nn eye fy Hfy nnn 2 0 2 3 1 exp 2 2 n n ye fy H nnn 22 2 1 1 2 0 2 3 1 exp 2 1 exp 2 n n n n y fy Hnn n x fy Hy nnn 3 13 二元假设如下 2 00 2 11 1 exp 22 1 1 exp 82 2 i i i i x Hf x H x Hf x H 1 2 i 已知0 1 1 2 i P H 0 1i 1 求序贯检测的判决规则 2 求序贯检测所需的平均样本数 3 若采用固定样本数的检测器 求满足性能要求所需的样本数 解 1 观测样本为 i 时的似然比函数为 2 1 1 2 11 0 1 1 exp 2 exp 2 exp 2 i j ii i j ij i jj j i j x f xHi xx x f xH 取对数 1 ln 2 i ij j i xx 1 1 9th 0 11 9 th 0 ln2 197th 1 ln2 197th 对数似然比判决规则为 1 0 ln2 197 ln2 197 2 197ln2 197 i i i H H x x x 判为 判为 接收下一个数据 2 1 ln 2 xx 00 1 ln ln 2 ExHx f x H dx 11 1 ln ln 2 ExHx f x H dx 10 1 1 1lnln 3 515 ln thth E N H Ex H 10 0 0 ln1ln 3 515 ln thth E N H Ex H 10 0 0 10 1 1 ln1ln ln 1lnln 3 515 ln thth E NP H Ex H thth P H Ex H 所以 N 4 3 假设固定样本数为 N 似然比判决准则为 1 0 1121 0 1 1120 0 N ji N j ij H H f x Hf x xx H p H p Hf x xx Hf x H x 1 ln 2 N Nj j N xx 判决规则为 1 0 1 ln 0 2 N Nj j H H N Gxx 化简后有 1 0 1 1 2 N j j H H x x N 新变量x的分布为 1 1 1 f x HN N 0 1 0 f x HN N 由虚警和漏警条件 1 100 2 0 1p DHf x H dx 1 2 011 0 1p DHf x H dx 经查表得6 656N 故 N 7 3 14 在二元参量的统计检测中 两个假设下的信号分别为 2 0 2 1 0 n n HxN HxN m 其中m是信号的参量 1 试给出m为确定量时的似然比判决 00mm 和时的判决规则不同 2 m为随机参量 其概率密度函数为 2 2 2 1 exp 2 2m m m f m 求此时的似然比判决规则 3 m为 01 m m上的均匀分布的随机参量 求此时的似然比判决规则 解 1 m为确定参量时 1 0 2 0 2 2 0 2 2 2 2 1 0 2 2 01 2 1 exp 22 1 exp 22 exp 2 2 exp 2 exp 2 n n n n n n H H x f x H xm f x H xm f x HP Hmmx x f x HP H x 当0m 时 1 0 2 2 n H H thm x m 当0m 时 0 1 2 2 n H H thm x m 2 m为随机参量时 2 0 2 11 2 2 22 2 22 22 1 exp 22 11 expexp 2222 11 exp 22 n n nm nm mn mn x f x H f x Hf x m Hf m dm xmx dm x 22 1 222 22 0 exp 2 nm nmn mn xf x H x f x H 由 1 0 0 1 H H P H xth P H 得 1 0 222 22 2 2 2 lnln nmn mn mn H H xth 3 m为 01 m m上的均匀分布的随机参量时 1 0 1 0 1 0 2 2 2 0 2 11 2 2 10 2 2 10 01 10 2 1 010 1 exp 22 11 exp 22 11 exp 22 1 2 n n n m m m m n n m m n n nn x n x f x H f x Hf x m Hf m dm xm dm mm xm dm mm xmxm mm ef x H xx f x Hmm 1 0 01nn H H mxmth 3 18 二元通信系统如下 00 11 Hx tstn t Hx ts tn t 03tT 其中信号 0 st和 1 s t如图 3 34 所示 n t是功率为 0 2 N 的加性高斯白噪声 假设两种假设的先验概率相等 求最小错误概率准则下的判决规则 若 0 4E N 求错误判决概率 T2T03T 1 1 1 1 0 0 0 st 1 st 信号波形 解 3 2 00 0 0 1 exp T f x tHFx ts tdt N 3 2 11 0 0 1 exp T f x tHFx ts tdt N 判决准则为 1 0 0 1 01 ln lnln H H P Hf x tH x tth f x tHP H 因为 01 s ts t 可得判决规则为 1 0 3 1 0 0 H T H x t s t dt 或 0 1 3 0 0 0 H T H x t s t dt 2 因为 01 s ts t 所以1 0 1 1 1 8 0 0023 e E p N 3 19 在3 18题中 每个信号是一个 字 每个字包含3个比特 假设我们每次 检测一个比特 若检测时最多只有一个比特出错 该字仍能被正确检测 那么 1 每比特的错误概率是多少 2 若我们能纠正一个字中单个比特的错误 那么解码后字的错误检测概率是 多少 3 将上面的结果与3 15中的结果进行比较 解 1 分析第一个比特 假设是位于 0 T 时间内接收到的信号 则 1 10 1 1 3 8 1 1 10 0516 3 e EE PE N 2 223 3 1 0 0077 eee PC PPP 3 与 3 18 题相比 错误概率变大 3 20 二元假设如下 0 1 Hx tn t Hx ts tn t Tt 0 式中 n t是均值为 0 均方差为 2 n 的窄带高斯噪声 s t是均值为 0 均 方差为 2 s 的窄带高斯过程 将 x t通过一包络检波 对包络检波输出作出判决 1 采用包络检波输出的单样本时 若采用纽曼 皮尔逊准则 求判决规则 2 若采用包络检波输出的 N 个统计独立样本 求纽曼 皮尔逊准则下的判决规 则 解 1 0 H时 包络分布为瑞利分布 2 0 22 exp 2 nn yy f y H 1 H时 包络分布为瑞利分布 2 1 2222 exp 2 nsns yy f y H 似然函数 1 0 222 22222 exp 2 H ns H nsnns y yth 虚警概率 0 th f y Hdy 求出 th 而 22 2 22222 exp 2 ns nsnns th th 2 2 11 100 22 1 exp 2 i NN i N ii N N i nn yy f yyHfH 2 11 111 2222 1 exp 2 i NN i N ii N NN i nsns yy f yyHfH 似然函数 1 0 22 2 111 22222 10 exp 2 i N N s H Nni H Nnsnns y f yyH yth f yyH 虚警概率 10 N th f yyH dy 求出 th 3 23 设线性调频矩形脉冲信号为 2 0 rectcos 2 tt s tA 其中 rect 为矩形函数 rect1 1 2xx 为调频系数 线性调频信号的 包络是宽度为 的矩形脉冲 信号的瞬时频率是随时间线性变化的 线性调频信 号的瞬时频率为 0 d t dt 在脉冲宽度 内 信号的角频率由 0 2t 变化到 0 2t 调频带宽 2B 线 性 调 频 信 号 的 重 要 参 数 是 时 宽 带 宽 积D 表 示 为 2 2DB 1 求线性调频信号的频谱函数 S 2 求匹配滤波器的系统函数 Hj 3 求匹配滤波器的输出信号 o st和输出信噪比 SNR 解 1 2 2 0 2 cos 2 j t j t Ss t edt ut Atedt 2 o j t H jSe 3 00 TT o sths tds Ts td 0 2 o E SNR N 其中 21 2 ESd 3 25M元假设如下 iii Hx ts tn t 0 1 2 tT iM 其中 1 iii s tAtAi 是常数 t 是确定函数 满足 2 0 1 T t dt n t是功率谱密度为 0 2 N的高斯白噪声 已知 1 i P HM 1 2 iM 求 1 最小错误概率最佳检测的判决规则 画出接收机框图 2 平均错误概率 解 1 M 元假设检验 先验概率相等 似然函数为 2 0 0 1 exp T ii f x t HFx ts tdt N 判决规则为 1 0 1 1 i j f x t H jMji f x t H 判决为 i H 代入似然比函数 得到 22 22 00 1j 1 0 1 1 22 TT ij i x t s t dtx t st dtjMji 判为 i H 接收框图 0 st 0 T 2 1 2 1 s t 0 T i s t 0 T 22 1 1 2 i 1M st 0 T 22 1 2 2 M x t 选择 最大 输入 对应 的信 号 判决 0 2 设检验统计量 2 2 0 i 1 2 T ii Gx t s t dt 2 2 0 2 2 0 2 2 2 i 1 2 i 1 2 1 1 1 2 T ii T ijji ij Gx t s t dt E GHEstn ts t dt i ij E 2 2 0 2 2 2 0 2 2 i 1 2 i 1 2 1 T ii T ijjiij i Gx t s t dt Var GHEstn ts t dtE G H i 22 22 00 k 1l 1 22 TT kljjkjl E G GHEstn tst dtstn ts t dt 定义 011011 E jj j jMHMH G GG GGmE GE GG 则可求得 j jj T G Hjj GG EGmGm 则假设 j H条件下的似然函数为 1 01 1 1 2 2 1 G exp 2 2 j jj j T jG Hj GG Mj M G H GmGm f G GH 服从一个 M 维的高斯向量的联合分布 0 11 01101 1 11 1 g H j jjjjMjj ggg MHjjjM M P D GP GgGgGg Gg H f G GGdGdG dGdG dGdG 次 2 2 H 1 exp 22 j jjjjjjjGg ij jjj j j P DP D Gg Hf G Hdg g E P D Gg Hdg 则 1 0 1 P M ejjj j PD HP H 3 27 已知白噪声背景下的确知信号 0 0 AtT s t 其它 1 匹配滤波器的输出峰值信噪比 2 若不用匹配滤波器 而用一个简化的线性滤波器 0 0 t etT h t 其他 求输出峰值信噪比 以及使输出峰值信噪比最大所对应的 值 并与 1 的匹 配滤波器的性能作比较 3 若采用如下滤波器 0 0 t et h t t 0 求输出峰值信噪比 并证明此时的信噪比总是小于等于 2 中的信噪比 4 若采用高斯滤波器 2 0 1 exp 2 tt h t 0 0tt 注意到当 0 t 时 上面的系统可以近似看作物理可实现的 给出输出信噪 比的表达式 并说明何时信噪比达到最大 解 1 2 0 0 2 E SNREA T N 2 0 0 2A T SNR N 2 2 00 0 2 0 1 22 st SNR N H jwdw 0 0 1 0 2 T t t TT sts th t sh td A etT A eeTtT 当tT 时 0 st取得最大值 1 T A e 2 22000 1 21 2244 T NNN H jwdwht dte 2 0 0 41 1 T T Ae SNR Ne 由 0 0 dSNR d 得0 0 SNR取得最大值 2 0 0 0 2 lim A T SNR N 当0 时 与 1 输出的最大信噪比相等 当0 时 性能比 1 差 3 由 2 易得 00 max 1 T A stsTe 2 00 1 224 NN H jwdw 2 2 0max 0 4 1 T A SNRe N 2 22 2 00 1 1 1 441 1 1 T T T T T T e e e AAe e NNe 4 由题意知 0 200 0 0 12 tt TtttTt stAedA 2 0 2 23 1 t t ht dtedt 0 00 max 22 21 22 TtT stsA 0 2 T t t 当时 信噪比达到最大 为 2 2 0 0 4 2 1 2 AT SNR N 3 29 考虑多个射频脉冲的检测问题 0 1 sin ii ici Hx tn t Hx tAtn t Tt 0 1 2 iM 其中T fc 1 n t是功率谱密度为 0 2N的高斯白噪声 求 1 采用纽曼 皮尔逊准则 求判决规则 2 当 fa P给定时 求检测器的检测概率 3 与单脉冲情况作比较 解 1 似然比 1 0 11 10 2 0 0 1 2 0 0 2 00 11 00 1 expsin 1 exp 21 expsin sin M M T ic M T i i MMH TT cic H ii f x txtH x t f x txtH Fx tAtdt N Fxt dt N Atx t dtAtdtth NN 取对数 1 0 2 0 0 1 sinln 42 MH T ic H i NMA T x t Atdtthth 取检验统计量 0 1 sin M T ic i Gx t Atdt 其均值方差分别为 2 0 00 22 0 10 0 22 222 NMA T E G HVar G H NMA TMA T E G HVar G H 可得判决规则为 1 0 H H G th 其中 th 由 2 22 00 22 exp 2 th G dG N MA TN MA T 决定 2 由虚警概率 2 22 00 22 exp 2 fa th G PdG N MA TN MA T 可得门限 2 10 1 4 MN A T th 检测概率 2 1 0 2 1 1 1 22 20 1 1 exp 22 1 1 1 42 th GE PdG thE E MN A TMA T E 其中 3 单脉冲的检测概率 2 1 0 0 1 1 A T P N 多脉冲的检测概率 2 1 0 0 1 1 MA T P N 比较可知 多脉冲的检测概率更大 3 31 考虑如下检测问题 0 1 Hx tn t Hx ts tn t 0tT 其中 n t为零均值 功率谱密度为 0 2N的高斯白噪声 s t也是零均值高斯过程 自相关函数为 s R 将接收信号 x t展开成如下形式 00 KK kkkkk kk x txtsnt 其中 0 T kk xx tt dt k t 为 s R 的特征函数 1 证明 k x是相互统计独立的 并给出K个系数的似然函数 2 证明我们可以采用如下检验统计量 2 1 0 2 K kk k k x G N 其中 k 为 s R 相应得特征值 提示 0 2 kkkkk Var sVar snN 3 求在各个假设下 T 的均值和方差 解 1 由题意知 x t被进行 K L 展开 函数集 1 2 k tkK 是归一化 正交函数集 s R 是核函数 k 是第k个特征函数的特征值 归一化正交函数集满足以下关系 0 ijij T tt dt 12221 0 njjj T tttdttR 考虑 k x在 0 H和 1 H假设下的均值和方差 0 T kk E xEx tt dt 0 0 0 T kk E xHEn tt dt 1 0 0 T kk E xHEs tn tt dt 00 121212 00 0 2 iijj TT nij ij ExE xHxE xH Rttttdt dt N 同理 0 11 2 iijjiij N ExE xHxE xH 0 iijj ijExE xxE x 当时 k x 是互相统计独立的 由上面推导可知 00 01 22 kkk NN Var x HVar x H k x服从高斯分布 故 k x的概率密度函数为 2 0 0 0 1 exp k k x f x H NN 2 1 0 0 1 exp 2 2 2 2 k k k k x f x H N N k个统计独立样本的似然函数为 2 2 1 120 00 1 exp K K k k K x f x xxH NN 2 121 11 0 0 1 exp 22 KK k K kk k k x f x xxH NN 2 由 1 中公式 可得似然比判决式为 1 0 2 0 0 12 11 0001 2 exp 22 H KK kk K kk kk H P HxN x xxth NNNP H 观察可知 取检验统计量 2 1 0 2 K kk k k x G N 得 1 0 2 1 0 2 H K kk k k H x Gth N 00 1 0 lnln 22 K k k NN thth N 故可取G为检验统计量 3 2 2 111 1100 20 1 1 1 2 22 111 1100 22 24220 1111 22 2 1 2 22 22 2 KK kkk Tk kkkk kk K Tk k KK kk Tkk kkkk kkkkk x EEE x NN N E x E VarVarxVar x NN N Var xE xE xE x 2 2 1 1 2 2 000 1100 20 0 0 0 1 0 2 22 000 1100 2 242 0000 1 2 22 2 2 2 22 2 K Tk k KK kkk Tk kkkk k K k T k k KK kk Tkk kkkk kkkk Var x EEEx NN N Ex N E N VarVarxVar x NN Var xExExEx 2 22 0 22 0 02 1 0 1 2 2 2 K k T k k N N Var N 3 33 在高斯白噪声中检测随机相位相位信号是经常遇到的一类问题 在雷达系 统中 信号模型可以表示为 0 10 sin Hx tn t Hx tAtn t 0tT 其中A为接收信号的振幅 频率 0 已知 且满足 0 2Tn n为整数 是 0 2 上均匀分布的随机相位 噪声 n t是零均值 功率谱密度为 0 2N的高斯白噪声 1 如果我们在对接收信号 x t作相关运算时 把信号的相位 作为零来处理 那么实际接收信号中的相位不为零 求作为相位 函数的检测概率 D P 并把 结果同相位确实为零的结果进行比较 2 证明 无论信噪比多大 检测概率都有可能小于虚警概率 这取决于 的 实际取值 如果信号的相位 不是随机的 而是非零未知的 甚至是非零已知的 把它作为零来处理 是否同样存在检测概率可能小于虚警概率的问题 解 1 当把信号的相位 作为零来处理时有 1 0 1 0 H H f x tH x tth f x tH 即 1 0 22 00 0 0 1 expsin2sin H T H x tAw tAx tw t dtth N 化简得 1 0 2 0 0 0 sinln 24 H T H NA T GAx tw tdt thth 当 不为零时 为某一定值时 有 2 100 0 sinsincos 2 T A T E GHEAw t Aw tn tdt 2 0 1 var 4 A N T GH 检验统计量G在 1 H假设下服从高斯分布 概率密度函数为 2 2 1 2 2 0 0 cos 21 exp 2 2 4 4 A T G f GH A N T A N T 1 2 2 0 2 0 1 lncos 2 1 th D Pf GHdG A T NthA T A N T 0 时 D P 达到最大值 2 0 2 0 ln 2 1 D A T Nth P A N T 0 DD PP 2 0 0E GH 2 0 0 var 4 A N T GH 检验统计量G在 0 H假设下服从高斯分布 概率密度函数为 2 0 2 2 0 0 1 exp 2 2 4 4 G GH A N T A N T 虚警概率为 2 0 0 2 0 ln 2 1 fa th A T Nth Pf GHdG A N T cos faD PP 当时 3 35 M元非相干频移键控问题 0000 1111 1111 sin sin sin MMMM Hx tAtn t Hx tAtn t Hx tAtn t 若每种假设的先验概率和代价函数相等 相位服从 0 2 上的均匀分布 n t是 均值为零功率谱为 0 2 N 高斯白噪声 1 若振幅相等 即 0 1 2 1 i AAiM 以最小错误概率准则设计接收机 2 如果接收机中滤波器的输出是统计独立的 求错误概率 解 1 条件概率密度函数 2 0 0 1 expsin T iiii f x tHFx tAtdt N 且最小错误概率准则下的判决规则为 1 1 2 1 i j f x tH jMji f x tH 时 判为 i H 则 2 2 2 00 0 0 2 22 0 00 0 11 expsin 2 11 expsin 2 T iiii iii i T j jjj jjjj x tAtdt d f x tHfd f x tHN f x tH f x tHfd x tAtdt d N 由于 0 1 2 1 i AA iM 且由于 2 0 2 sin 2 T cc TdtT 统计量为 2 0 0 2 0 0 2 22 0 000 00 2 22 0 000 00 2 0 00 0 0 0 21 expexpsin 2 21 expexpsin 2 2 expsin 2 2 expsin A T TT N i i A T TT j N j T i j Ad ext dtx ttdt f x tHNN f x tH Ad ext dtx ttdt NN Ad x ttdt N A x t N 2 00 2 T d tdt 将上式中的指数项中的正弦函数展开 0000 sinsincoscossincossinsincos TTTT iiiii x ttdtx tttx ttdtx ttdt 令 0 0 0 0 sinsin coscos T iiii T iiii aqx tt dt bqx tt dt 于是 22 2 00 sincos0 TT iii qx ttdtx ttdt 检验统计量变为 2 00 00 0 00 2 00 00 0 00 22 expcos 2 22 expcos 2 ii i i ij jj j j A qA qd I f x tHNN A qA q f x tHd I NN 由前述的判决规则 1 1 2 1 ij jMji 可得 0 0 00 00 2 2 j i A q A q II NN 1 2 1 jMji 又由于 0 I 为单调递增的 所以 最终的判决规则为 1 2 1 ij qqjMji tx t 0 sin t 0 cos T 0 T 0 2 2 t M 1 sin t M 1 cos T 0 T 0 2 2 根据最大 输出做出 判决 t T t T 2 参考教材 P153 P156 可求得 ii f qH与 ji f qH ij 则有 01111 iiiiiMii P D qg HP qg qgqg qgqg qg H 1 M jii P qg qg H 1 0 M g jij f qHdqji 1 0 1 M eiii i PP DH P H 1 ii P DH 0 1 iiiii P D qg Hf qg H dg 1 00 1 M g jijii f qHdqf qg H dgji 3 3 4343 考虑一个多脉冲的检测问题 0 1 cos ii iicii Hx tn t Hx tAtn t 1 0iMtT 式中 i n t是独立同分布的功率谱密度为 0 2 N的高斯白噪声 i 是在 0 2 均匀分布的 相互不相关的随机变量 c 是确定量 1 假定 i A是离散随机变量 已知 0 01 ii P Ap P AAp 若采用纽曼 皮尔逊准 则 求判决规则 并给出 0 0A 时的似然比形式 2 假定 i A具有概率密度函数 2 22 00 1exp 2 ii ii AA fApAp AA 若采用纽曼 皮尔逊准则 求判决规则以及检测概率 D P 并给出 0 0A 时的似然比形式 解 解 1 在振幅 i A给定的条件下 条件似然比为 2 0 00 2 exp 2 ii iii A TA x tAIq NN 22 2 00 sincos TT iicic qx tw tdtx tw tdt 又 0 01 1 ii P Ap P AAp 平均似然比为 0 2 00 0 00 0 1 2 1exp 2 iiiii i x tx tApx tAAp A TA ppIq NN M 个独立同分布的脉冲似然比为 1 2 00 0 1 00 2 1exp 2 M i i M i i x tx t A TA ppIq NN 纽曼 皮尔逊准则下的判决规则为 1 0 H H x tth 其中 门限th由虚警概率 10 P DH确定 判决规则为 1 0 2 00 0 1 00 2 1exp 2 H M i i H A TA ppIqth NN 0 0 0 1 0 1 1 MA i Ax tp p 时 2 由题意知 0 22 00 2 2 00 00 2 1exp iiiii i x tx t AfA dA N pA q p NA TNNA T 1 22 00 2 2 1 00 00 2 1exp M i i M i i x tx t N pA q p NA TNNA T 纽曼 皮尔逊准则下的判决规则为 1 0 H H x tth 其中 门限th由虚警概率 10 P DH确定 0 0 0 1 0 1 1 MA i Ax tp p 时 5 12 在乘性噪声和加性噪声中观测随机参数s为 12 xs 其中 2 2 1 exp 22 s s s sm f s 2 21 1 2 1 1 1 exp 22 m f 2 22 2 2 2 2 1 exp 22 m f 求s的线性最小均方误差估计 并把结果推广到N次独立观测样本 解 1 对单次观察样本 1 cov cov LMS sE ss xx xxE x 其中 1212 ss E sm E xEsmmm 2 1 cov s s xEsE sxE x E sxE s E xm 22 2222222 1112 cov sss x xE xEx mm 所以 得到 2 1 12 2222222 1112 s LMSss sss m smxmmm mm 2 对N次独立观察样本 1 12 cov cov T LMSN sE ssEx xx xx xxxx 其中 12 1 1 1 T ss E sm Emmm x 2 1 cov 1 1 1 T TT s sEsE sE E sE s Em xxx xx 2222222 1112 22 1 cov TT ij N N sss ij s EEEc mmij c mij x xxxxx 所以 有 1 2 112 2 2 112 1 22222222222222 1 11121112 1 1 11 1 1 T LMSssijs N N N ss s si i ssssss smmcmmm Nmmmmm mx mNmmNm x dx x nnnnnn n n 0 3 32 1 1212 5 15 在 一定的条件下随机变量x的概率密度函数为 0 0 0 0 x ex f x 若 的先验密度为 1 0 0 0 n n e nf 其中 n 是常数 1 试求 MAP 与估计方差 2 设N次观测下 的估计量用 map N 表示 相应的估计方差为 2 N 增加 新的观测值 1N x 试以 MAP N 2 N 1N x 表示 1