江苏省苏州市第五中学高中数学 2.5平面向量的应用举例学案 新人教A版必修4.doc

2.5 向量的应用一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量是一种处理几何、物理等问题的工具了解结合实际背景解决问题二、 预习指导1. 预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系，经历用向量方法解决物理中有关问题的过程；(2)体会向量是一种数学工具，掌握用向量方法解决某些简单的几何问题，发展运算能力和解决实际问题的能力2. 预习提纲(1)物理中，如果力f与物体位移s的夹角为，那么f所做的功w=(2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理；证明垂直常证两个向量的数量积为0；求向量的夹角常用公式cos=(3)思考：向量可以解决哪些常见的几何问题和物理问题？解决这些问题的基本步骤是什么？3. 典型例题(1) 利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象.4. 自我检测(1)一质点受到平面上的三个力(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 (2)已知，向量与垂直，则实数的值为 (3)在平面直角坐标系xoy中，四边形abcd的边abdc，adbc，已知点a(2，0)，b(6，8)，c(8,6),则d点的坐标为_.(4)在平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a(3, 1)，b(-1, 3)， 若点c满足，其中，r且+=1，则点c的轨迹方程为_.(5)一艘船距对岸km处，以2km/h的速度向垂直于岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.三、 课后巩固练习组1已知向量与的夹角为，则等于2已知=(3，)，=(4，-3)，若与的夹角为锐角，则的取值范围为_3若a(0，2)，b(3，1)，c(-2，k)三点共线，则向量+的模为4设点是正边形的中心，则在下列各结论中：；+=；=0(i=1，2，n)正确的共有个5已知向量=(2，3)，=(x，6)，若=|，则x6已知是两个向量集合，则7在四边形abcd中，有=0，则该四边形是8设向量=(1,3), =(2,4),若表示向量4、32、的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为9已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是组10平面上三个力f1 、f2、f3作用于同一点o，而处于平衡状态，成，求(1)f3的大小 ；(2)f3与f1的夹角11边形abcd中，已知+=，=0，试证明四边形abcd是菱形12在四边形abcd中，ab2 +cd2 =ad2 +bc2成立，求证：acbd 13已知，与垂直，与的夹角为，且，求实数的值及与的夹角知识点题号注意点向量是一种处理几何、物理等问题的工具注意实际问题的限制四、 学习心得五、 拓展视野例1 如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从a处出发到河对岸已知船的速度|=10km/h，水流的速度|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸解：= (km/h)，所以，(min)答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min点评：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.(2) 利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点，利用向量坐标法会给解决问题带来方便.例2 求证abc的三条高相交于一点.证明：设abc的ab、ac边的高分别为cf，be，它们交于点h，连接ah(如图)，设，,则chab，beac即两式相减得，即 bcah，即三角形三条高相交于一点.例3 如图，平行四边形abcd中，点e、f分别是ad、dc边的中点，be、bf分别与ac交与r、t两点，证明：ar=rt=tc.解：设， 则.由于与共线，所以设.又因为，与共线，设=因为=+，所以.因此，即.由于向量不共线，要使上式为，则有，解得.所以=.同理=. 所以ar=rt=tc.点评：本题中由于r、t是对角线ac上两点，要证ar=rt=tc，只需证明ar、rt、tc都等于即可.向量与三角形的四“心”三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、内心外心即三角形的外接圆的圆心；重心即三角形三条中线的交点；垂心即三角形三条高的交点；内心即三角形内角平分线的交点它们在各类考试中屡见不鲜现举例如下例1 已知o是所在平面上一点，若，证明o是的外心证明： ，所以o是的外心例2 已知o是abc内一点，若，则o是abc的重心证明：如图所示，延长od到g，使dgod，连接ag，bg，因为d是ab和og的中点，所以四边形oagb为平行四边形，由向量加法性质得又由得，c、o、d、g四点共线o在中线cd上同理得o在中线ae和bf上，o是abc的重心点评：本题同时证明了co=2od=，即重心o分中线cd为2:1两部分例3 o为平面中一定点，动点p在a、b、c三点确定的平面内且满足()()=0，则点p的轨迹一定过abc的 （选用重心 、外心 、垂心、 内心 填空 ）.解：由题，所以，故p的轨迹一定过abc的垂心例4 o是平面上一定点，a、b、c是平面上的共线三点，动点p满足（），则p的轨迹一定通过abc的 （选用重心 、外心 、垂心、 内心 填空 ）.解：从分析向量特征着手，均为单位向量，以， 为邻边的平行四边形为菱形，为角平分线向量，()与角平分线向量共线，由三角形法则，点p在a平分线上，点p轨迹过abc内心例5 如图：外接圆的圆心为，三条高的交点为h，连结bo并延长交外接圆于d，求证：(1)；(2).分析：运用向量的加减法解