江苏省苏州市第五中学201高中数学 第二章《基本初等函数》2.1指数函数学案 新人教A版必修1.doc

2.2 指数函数一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议根式了解会进行根式与分数指数幂的互化.分数指数幂理解从实际背景和定义两个方面理解分数指数幂，能熟练运用指数运算性质进行化简、计算，并能运用公式简化运算过程指数函数理解要先学会画它们的图象，观察它们的图象，充分利用图象来研究它们的性质和解决一些问题.二、 预习指导1. 预习目标(1)通过具体实例(如细胞分裂，考古中所用的的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景认识学习指数函数的必要性；理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，理解次方根与次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根；能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化. (2)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质，能利用函数的平移与对称变换，讨论指数函数的图象；能运用指数函数的单调性，比较两个指数式值的大小，能研究一些与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等问题.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 2. 预习提纲(1)复习八年级(上)p51-52页平方根的定义与性质、p55-56立方根的定义与性质；九年级(上)p58-59二次根式的定义与性质. (2)阅读课本p45-46页次实数方根的定义与性质；分数指数幂的定义与运算性质；p49-50页指数函数的定义、图象与性质(完成下列表格空白处). y=ax(0a1)图象 性质(3)阅读课本p46-47的例题例1讲的是简单根式的运算，总结用到的运算性质.例2讲的是简单分数指数幂的运算，总结用到的运算性质.例3讲的是根式化为分数指数幂，总结方法.阅读课本p50-54的例题例1 比较两个同底数幂大小，可以构造指数函数，利用指数函数的单调性来解决.总结比较同底数幂的大小的方法.例2 构造指数函数，利用指数函数的单调性来解决未知量的取值范围. 例3作出函数与函数的图象，说明它们与函数的图象的关系.总结：一般地，函数与函数的图象之间的关系.例4、例5、例6是指数函数的实际应用，体会三道例题写出了解析式的方法，体会函数模拟的作用.你能举两个具有指数函数模型的实际问题吗？ 3. 典型例题(1) 分数指数幂及其运算例1 计算：(1)；(2)47.分析：(1)式中可将小数指数幂化成分数指数幂的形式，再用分数指数幂的运算性质化简；(2)式中注意.解：(1) 原式=；(2) 原式= 点评：要注意分数指数幂的，等运算性质是在底数为正数时才成立的.例2 化简：(1) ；(2) 分析：分数指数幂和根式形式同时出现时，一般统一化成分数指数幂的形式，便于使用分数指数幂的运算性质进行化简.解：(1) 原式= =；(2) 原式 点评：计算时要灵活应用：平方差：，立方差：，立方和：等公式(2) 图象问题例3 在同一坐标系中画出函数y=3x与的图象，并说出它们之间的关系.分析：列表描点作图，注意图象的变化趋势. 解：如图，作出三个函数、和的图象，可以看出点评：利用指数函数的图象直观感觉函数图象的平移变换与对称变换.一般的，函数的图象与函数的图象关于轴对称；函数的图象向左平移1个单位得到函数的图象.例4 画出函数的图象，并利用图象回答：(1)的单调区间是什么？(2)k分别为何值时，方程|3x1|=k无解？只有一解？有两解？分析：(1)图象有两种画法，法一：解析式改写成 ，分两段画出图象，其中的图象与的图象关于轴对称 ；法二：的图象可由在轴上方的图象不变，轴下方图象对称翻折到轴上方而得.(2)两函数与图象交点的个数，即为方程|3x1|=k解的个数，所以只要平移直线，观察它与的图象的交点个数即可.o1解： (1) 如图：作出函数的图象，由图可知，的单调增区间是；单调减区间是；(2)平移直线， 当时，直线与 的图象无交点，故方程无解； 当时，直线与 的图象有一个交点，故方程只有一解；当时，直线与 的图象有两个交点，故方程有两解.点评：分两段画图时，一般先画全体再按范围截取；利用的图象进行平移、翻折变换时，注意它的渐进线也要带着变换.(3) 性质例5 求下列函数定义域(1) ； (2) 分析：先列出使函数解析式有意义的不等式或不等式组，再准确解之. 解：(1) 由题得：，定义域为.(2) 由题得：，即，即，定义域为 点评：在解指数不等式时，关键是将不等式两边化为同底，然后根据指数函数的单调性来解 例6 求下列函数的值域：(1) ； (2)(为大于1的无理数)； (3) 分析：(1)画图即可；(2)令，先求的范围，再求的范围；(3)令，转化成二次函数在区间上的最值问题.解：(1) 函数在上单调递减，故时，时，值域为. (2) 令，则，且在上单调递增，值域为.(3) 令，则为开口向下的抛物线，对称轴为，值域为.点评：对于复合函数的值域问题，主要是通过换元法将其化归为所熟悉的初等函数的值域来解决，但要特别注意换元后元的范围.例7 比较下列各组数的大小：(1)； (2)； (3),.分析：(1)利用指数函数的单调性；(2)都化为以2为底的指数幂形式，再利用指数函数的单调性；(3)无法化为同底，插入中间量.解：(1)是r上的单调递减函数，且， ； (2)，且是r上的单调递增函数 (3),点评：应用指数函数的单调性来比大小，关键是化为同底，同时关注底数与1的关系.不能化同底时常借助中间量1、0等来过渡例8 已知函数，证明：在(0，1)上是减函数.分析：用函数单调性的定义证明单调性的基本步骤是：取值、作差(同正时也可考虑作商)、变形、定号、下结论.解：在(0，1)上任取，且，则，即，故在(0，1)上单调递减.点评：对“”的变形是关键，目标是将其分解成若干因子的积或商的形式.例9 求下列函数的单调区间：(1)； (2)分析：(1)(2)都可看成指数函数与二次函数的复合函数，利用复合法则求单调区间.解：(1) 函数是由函数，与函数复合而成，且 为单调递减函数，要求的单调递增区间，即求的减区间，即，的单调递增区间为；同理，的单调递减区间为(2) 函数是由函数及函数复合而成，单调递减，在上单调递增，的单调递减区间为，无单调递增区间.点评：指数函数与其他函数的复合函数单调性的讨论，往往利用单调性的复合法则，要注意复合法则“同增异减”.例10 判断函数的奇偶性.分析：先求函数的定义域，再求，也可求，看其是否为0.解：定义域为，关于原点对称.法一： 是偶函数.法二： =0.所以，是偶函数.点评：对的变形要时刻关注或的形式，不断对比.如果变形有困难，也可求.例11 若函数为奇函数，求实数的值；分析：用定义法或用特殊值法解：法一：是奇函数，即，即法二：函数为奇函数，且在x0处有定义，即，此时，满足总成立，点评：根据一组特殊值f(-x1)= -f(x1)解得的a，需再验证a是否对所有的定义域内的都有成立.例12 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2，试解答下面的问题.(1) 写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2) 计算10年以后该城市人口总数；(精确到0.1万人)分析：根据题意，运用指数函数模型可以解决这个实际问题.解：(1) 1年以后该城市人口总数为； 2年以后该城市人口总数为； x年以后该城市人口总数为. (2) 10年后该城市人口总数为(万人)答：(1) 城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式为；(2) 10年后该城市人口总数约为(万人)点评：需要用计算器计算.4. 自我检测(1)化简：；(2)计算；(3)下列函数；.是指数函数的有_(4)函数的值域是_(5)把函数的图象向_平移_个单位得函数的图象(6)不等式的解集是_三、 课后巩固练习a组1计算： (1) _ (2)=_ 2化简 (1) 时，=_. (2) = _3(1)若函数是指数函数，则a=_ (2)已知指数函数f(x)的图象经过点(2，3)，则f(-2)= _4比较下列各组数的大小： (1) ； (2)；(3)5解下列不等式： (1)； (2)6求下列函数的定义域： (1) ； (2) 7求下列函数的值域 (1)f (x)=1， ； (2)； (3) ； (4)； (5) 8(1)若的图象恒过定点p，则点p坐标为_ (2)已知0a1，b0，xr，将下列各式分别用u表示出来： 14二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是 ( )15已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，则f(2x)= _16怎样由函数y=4x的图象，通过适当的变换得到函数的图象？17已知，试求f(x)g(x)的解集18若函数的定义域为，则实数的取值范围是_19设定义上的运算：，则函数的最大值是_20函数f(x)=ax(a0，a1)在1，2中的最大值比最小值大，则a的值为 21已知函数在-1,1上最大值为14，求实数的值22若为奇函数，求b的值23已知函数，且，函数的定义域为(1)求的解析式； (2)求的单调区间； (3)求的值域 24设，(1)若0a0, a1) y= (a0, a1)图象 (0a1) (0a1)性质(3)阅读课本p57例1-例3，p60-62例4-例9 例1、例2讲的是指数式与对数式的互化，注意指数式与对数式的区别与联系. 例3讲的是用对数定义进行简单对数计算，总结解题步骤.例4、例5为利用对数运算性质进行对数运算，总结解题基本思路.例6、例9中采取的一种特殊的对等式的处理手法：在等式两边同时取对数.利用这个方法推导对数的换底公式，并完成课本上的旁白.例7讲的是利用换底公式进行对数运算，应选择怎样的底数来换呢？例8怎么计算，用计算器试一下.阅读课本p67-69例1-例4 例1带有“”符号的函数，一定要注意“对数的真数大于0”.例2讲的是利用对数函数的单调性来比较对数值的大小，总结解题基本方法.例3作了函数的图象，观察它与函数的图象的关系，总结：一般地，函数与函数的图象之间的关系.例4中利用了偶函数的对称性减少了工作量，你还有其它的想法来作出该函数的图象吗？若绝对值换一下位子变为，你能作出它的图象吗？3. 典型例题(1) 对数及其运算例1 计算：； (2).分析：由于涉及的是常用对数，当出现时，化简中除要用到一般对数的运算性质外，还要注意利用常用对数的一个性质解：(1)原式(2)分子=；分母=；原式=.点评：对数的运算性质有；，要注意这些公式从左往右和从右往左各有不同的作用.例2 计算：分析：先利用换底公式化异底为同底，再利用对数的运算性质进行计算.解：法一：原式=()()=()()=法二：原式=点评：利用对数的换底公式可得公式，该题也可用此公式计算.(2)图象问题例3 (1)若a0且a1，则函数y=loga(x2)+1的图象必过定点_.(2)作出函数的图象，并指出它们与函数图象的关系.(3)作出函数的图象，并根据图象写出不等式的解集.1231oyx分析:对数函数y=logax恒过定点(1，0)，题中所给函数过定点可以从图象平移角度考虑，也可以从y的值何时与a无关考虑；只需直接考虑左右上下的平移即可；(3)利用函数的奇偶性先作出一部分图象，再利用对称性作出另一部分图象.解: (1)函数的图象过定点，函数y=loga(x2)+1的图象必过定点.(2)如图，函数的图象可以o1-1由函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到.(3) 所以，是偶函数，图象关于轴对称.先作出的图象，再将其关于轴对称即可.如图：的解集为.点评：一般的，函数的图象可由函数的图象向右()或向左()平移个单位而得；函数的图象可由函数的图象轴左侧图象擦除，右侧图象不变，再将右侧图象对称翻折到左侧而得.(3) 性质例4 求下列函数的定义域：(1)； (2)；(3)； (4)分析：求函数的定义域即求使其解析式有意义的自变量x的取值范围，对数式当且仅当真数n大于0，底数a大于0且不等于1时有意义.解：(1)由，得函数定义域为.(2)由，得，函数定义域为.(3)由，得函数定义域为.(4)由，得，当时，函数定义域为；当时，函数定义域为.点评：解对数不等式除了要化为同底利用函数单调性外，还要时刻注意真数要大于0.例5 (1)求函数的值域；(2)求的最大值和最小值 分析：(1)令，先求的范围，再求的范围；(2)令，先求的范围，再求的范围.解：(1)设，即，即函数的值域为.(2)设，又在上单调递减，函数的值域为.点评：两小题都是求对数函数和二次函数复合而成的函数的最值问题，可采用换元法，但要特别注意新元的范围.例6 判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)；(3)； (4)分析：奇偶性的判断首先考虑定义域是否关于原点对称，再看与之间的关系.为奇函数，为偶函数.解：(1)函数的定义域为，函数为奇函数.(2)恒成立，函数的定义域为，又，即满足，函数是奇函数.(3)，函数的定义域为，即f(x)的图象由两个点 a(1，0)与b(1，0)组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数.(4)恒成立，函数的定义域为，函数是偶函数.点评：在解决具体问题时，可以根据函数解析式的特点选择不同的形式来判断. 若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).例7 比较下列各组数的大小(1)与(2)，与(3)与()分析：(1)可化为同底对数；(2)利用中间量；(3)需要对底数进行讨论.解：(1)，因为在单调递增，所以，即.(2)，所以(3)，当时，函数在上单调递增，；当时，函数在上单调递减，；点评：应用对数函数的单调性比大小，关键是化同底，有时不能化为同底的时候也可借助0、1等中间量来过渡例8 已知是奇函数 (其中.(1)求的值； (2)讨论的单调性.分析：(1)利用奇函数定义构造关于m的方程；(2)严格按单调性定义判断.解：(1)对定义域内的任意恒成立，恒成立，即恒成立，当，故舍去；.(2)定义域为，任取，令则， 当时，因为在上单调递增，所以，所以在上是减函数；当时，因为在上单调递减，所以，所以在上是增函数.因为为奇函数，所以当时， 在上是减函数；当时， 在上是增函数.点评：(1)中的值出现多解时注意检验；(2)中若直接对进行变形则需要将变形后的真数与1比较大小，依然需要对进行讨论.例9 (1)求函数的单调区间；(2)求函数的单调区间分析：(1)可看作对数函数和一次函数的复合函数，因为是减函数，所以问题归结为求函数t=3-2x的单调区间，但要注意先考虑定义域. (2)类似于的处理，但要注意对底数的讨论.解：(1)函数的定义域为，设，在上是减函数，又在上是减函数，函数的单调增区间是，无减区间.(2)函数的定义域是，设，画出函数图象可知，此函数在上递减，在上递增，时，在上单调递增，时，在上单调递减， 当时，函数的减区间为，增区间为；当时，函数的减区间为，增区间为.点评：对数函数与其它函数的复合函数的单调性问题要先考虑函数的定义域，再用复合法则.例10 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始量的%，试推算马王堆古墓的年代.分析：设原始含量为1，“半衰期 为5730年”指经过5730年减为原来的一半，利用该条件先求每年减少的量.解：设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后残留量为，则年后生物体内碳14含量，由于大约每过5730年， 死亡生物体的碳14的含量衰减为原来的一半，所以，于是，这样生物死亡年后体内碳14的含量，将其改写为对数式，令，那么，由计算器可得.所以马王堆古墓是近2200年前的遗址.点评：数据比较复杂，依然要用计算器.4. 自我检测(1)若，则 ；若，则 (2)计算+= ；3-10+= (3)计算 ； ； (4)已知函数； ； 为常数)其中是对数函数的是 (5)函数的定义域是 函数的定义域是 (6)已知，则的取值范围是 三、 课后巩固练习a组1若，下列式子中错误的是 (1)； (2)；(3)； (4) 2计算：(1)_ (2) .(3) (4)_ 3(1)若(2)若，则=_(3)若，则 (4)已知，则的值为 4求下列各方程的解： (1)； (2)5解下列不等式：(1)； (2)log2(x2x2)log2(2x2)； (3) 6比较下列各组数的大小：(1)，； (2)，；(3)，() ； (4) 7求下列函数的定义域：(1)； (2)； (3) 8(1)函数f(x)=log()的值域为_(2)若函数f(x)=logax(0a1)在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，求a的值(3)求函数的值域，其中x满足9(1)若点在 图象上，,则下列点也在此图象上的是( )(a) (b) (c) (,) (d)(2)若且，函数的图象必过定点_(3)图中的曲线是对数函数y=logax图象，已知a取，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为_(4)为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向_平移3个单位长度，再向_平移1个单位长度10求下列函数的单调增区间(1)； (2)； (3) 11已知函数，(1)判断的奇偶性；(2)解不等式；(3)求的单调区间（不必证明）12已知函数是定义域a上的奇函数(1)求实数的值及定义域a；(2)判断函数在a上的单调性并用定义证明13光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样玻璃重叠起来，设光线原来的强度为，通过块玻璃以后强度为（1）写出关于的函数关系式；（2）通过多少块玻璃以后，光线强度将减弱到原来的三分之一以下（lg1/30.4771）b组14计算：(1) log25log58=_(2)=_ (3)= (4)= (5)= 15(1)_ (2)均不为1的正数满足，且，则=_16若函数在r上为增函数，则a的取值范围是 17设，则的大小关系为_18设函数 ，若，则实数a的取值范围是_19函数的单调增区间是_20(1)函数ylog2ax1(a0)的对称轴方程是x2，那么a= (2)已知函数若互不相等，且，则的取值范围是 21作下列函数的简图，并指出它与对数函数的图象的关系：(1) ； (2) 22(1)已知，求函数的最小值；(2)设，且，求的最小值23已知函数，(1)求函数的定义域；(2)讨论的奇偶性；(3)判断的单调性并证明24求的定义域和值域c组25已知二次函数的最大值为3，求的值26若,则的大小关系为 27已知函数f (x)= ，则的值= 28(1)已知在0，2上是x的减函数，则a的取值范围是 (2)已知函数满足：对任意实数，当 时，总有，那么实数的取值范围是_29函数在上总有|y|1，则a的取值范围_30已知，当时，判断与的大小关系31若，且，(1)求的最小值及对应的值；(2)x取何值时，且 .32求函数的值域. 33已知函数，对定义域内的任意都有成立，(1)求实数的值；(2)若当时，的取值范围恰为，求实数的值知识点 题号注意点对数及其运算熟悉运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是常用的运算技巧.对数函数图象与性质注意依据对数函数的图象熟记对数函数的性质，并能在解题中灵活运用.综合问题注意各知识点间的联系.实际问题注意问题的实际意义.四、 学习心得五、 拓展视野 无理数e 大家能想到的重要数字，除了众人皆知的0及1外，大概就只有和圆有关的了，了不起再加上虚数单位的.这个e究竟是何方神圣呢？e是自然对数的底数，它是这样定义的： 当时， 的极限，随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.71828，不信你用计算器计算一下，分别取n=1,10,100,1000.但是由于一般计算器只能显示10位左右的数字，所以再多就看不出来了. e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数.以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”. 这里的e是一个数的代表符号，而我们