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数学物理方程试题 1 20 分 求解方程 并给出该方程一个合理的物理解释 2 1 0 20 0 0 11 2 1 21 2 2 2 uu ru ru rr uu u 2 20分 求解下面一维波动方程的定解问题 0 0 0 0 0 00 2 2 2 2 2 tt t u xu tlu tu tlx x u x u xa t u 3 20分 函数 xf的傅里叶 Fourier 变换记为 dxexfFxfF xi 1 证明 Fourier 变换的位移性质 xfFexxfF xi 0 0 2 用 Fourier 变换方法求解下面柯西 Cauchy 问题 xx t u xxu tu tx x u a t u 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 5 10 分 已知区域 内调和函数u的积分表达公式为 11 4 1 00 0 dS n Mu rrn MuMu MMMM 其中 0000 zyxM 为 的边界 2 0 2 0 2 0 0 zzyyxxrMM 试用狄利克莱 Dirichlet 问题 0 4 1 0 MM r v v 内 的解表示狄氏问题 Mfu u内 0 的解 提示 利用格林公式 dVuvvudS n u v n v u 6 1 10分 求方程的解 yxuu xxxu yxu y u x u 0 12 2 2 5分 求方程的通解 L L atx atx tiatiatiatia tiatiatiatia t datxatx e i e i FeeFtUFtxu e i e i eCeCtU UU tUa dt Ud Fourierx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 2 1 3 111 21 22 2 2 变换的方程两边取关于 略 atxd a xatatx atxd a atxatx txu xxxtxU d a atxatxtxU xxxxxxx atx xat atx atx atx atx 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 0 4 原方程的解为作奇延拓和只须对处恒为在使 为为初值的柯西问题的解和以为相同和时与在和设 dS n G uMuv r MMG dS n u v rrnn v uMu dS n Mu rrn MuMu dVuvvudS n u v n v u vu MM MMMM MMMM 00 0 0 4 1 4 11 4 1 11 4 1 0 5 0 00 00 则令 与上式相减 所以内的调和函数均为和 xfygexyeuygxfxyueue xy ue x u e y eu x u y yxeyxueexxc yxceyxu YcX YXU XceUUU yxY yxX xxxx xxx y
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