江苏省连云港市东海高中高三数学下学期三模试卷（含解析）.doc

2015年江苏省连云港市东海高中高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相印位置上1函数的最小正周期是2已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m=3抛物线x2=4y的焦点坐标为4lg22+lg2lg5+lg5=5已知复数z满足（1+2i）z=5（i为虚数单位），则z=6已知，则值为 7已知abc三边长分别为a，b，c且a2+b2c2=ab，则c=8已知x，y满足，则x2+y2最大值为9设等差数列an的公差d不为零，a1=9d若ak是a1与a2k的等比中项，则k=10与曲线共焦点并且与曲线共渐近线的双曲线方程为11直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点a（1，3），则b的值为 12设点m（x0，1），若在圆o：x2+y2=1上存在点n，使得omn=45，则x0的取值范围是13为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数则3，e，3e，3，e3，e这6个数中的最大值是14设mr，过定点a的动直线x+my=0和过定点b的动直线mxym+3=0交于点p（x，y）则|pa|pb|的最大值是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知函数，（1）若x0，求函数f（x）的最大值与最小值及此时x的值；（2）若，且，求f（x）的值16（14分）已知圆c：x2+y2=9，点a（5，0），直线l：x2y=0（1）求与圆c相切，且与直线l垂直的直线方程；（2）在直线oa上（o为坐标原点），存在定点b（不同于点a），满足：对于圆c上任一点p，都有为一常数，试求所有满足条件的点b的坐标17（14分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段已知跳水板ab长为2m，跳水板距水面cd的高bc为3m为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点a处水平距hm（h1）时达到距水面最大高度4m规定：以cd为横轴，bc为纵轴建立直角坐标系（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域ef内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围18（16分）在直角坐标系xoy上取两个定点a1（2，0），a2（2，0），再取两个动点n1（0，m），n2（0，n），且mn=3（1）求直线a1n1与a2n2交点的轨迹m的方程；（2）已知点a（1，t）（t0）是轨迹m上的定点，e，f是轨迹m上的两个动点，如果直线ae的斜率kae与直线af的斜率kaf满足kae+kaf=0，试探究直线ef的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由19（16分）设fk（n）为关于n的k（kn）次多项式数列an的首项a1=1，前n项和为sn对于任意的正整数n，an+sn=fk（n）都成立（i）若k=0，求证：数列an是等比数列；（）试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列20（16分）已知函数f（x）=alnxbx2图象上一点p（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（）求a，b的值；（）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（）令g（x）=f（x）kx，若g（x）的图象与x轴交于a（x1，0），b（x2，0）（其中x1x2），ab的中点为c（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g（x0）0三、附加题21（10分）已知矩阵a=，b=，求矩阵a1b22（10分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆c的极坐标方程：（）将直线l的参数方程化为普通方程，圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（）判断直线l和圆c的位置关系23（10分）如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p是棱bc的中点，q在棱cd上且dq=dc，若二面角pc1qc的余弦值为，求实数的值24（10分）已知抛物线l的方程为x2=2py（p0），直线y=x截抛物线l所得弦（1）求p的值；（2）抛物线l上是否存在异于点a、b的点c，使得经过a、b、c三点的圆和抛物线l在点c处有相同的切线若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由2015年江苏省连云港市东海高中高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相印位置上1函数的最小正周期是2考点：三角函数的周期性及其求法 专题：计算题分析：由函数解析式找出的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期解答：解：函数 ，=，t= =2故答案为：2点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键2已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m=2考点：偶函数 专题：计算题分析：根据偶函数的定义可得f（x）=f（x）然后整理即可得解解答：解：函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数f（x）=f（x）（x）2+（m+2）（x）+3=x2+（m+2）x+32（m+2）x=0即对任意xr均成立m+2=0m=2故答案为2点评：本题主要考查了利用偶函数的定义求参数的值事实上通过本题我们可得出一个常用的结论：对于关于x的多项式的代数和所构成的函数若是偶函数则x的奇次项不存在即奇次项的系数为0，若为奇函数则无偶次项且无常数项即偶次项和常数项均为0！3抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标解答：解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4 =1抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查抛物线的几何性质，先定型，再定位是关键4 lg22+lg2lg5+lg5=1考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：利用lg2+lg5=1即可求得答案解答：解：lg2+lg5=lg10=1，lg22+lg2lg5+lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=lg10=1故答案为：1点评：本题考查对数的运算性质，注意lg2+lg5=1的应用，属于基础题5已知复数z满足（1+2i）z=5（i为虚数单位），则z=12i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：根据 （1+2i）z=5，可得 z= =12i解答：解：（1+2i）z=5，z= = =12i，故答案为 12i点评：本题考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数6已知，则值为 7考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系 专题：计算题分析：先根据（0， ）和sin的值，利用同角三角函数的基本关系求出cos及tan，然后把所求的式子利用两角和的正切函数的公式化简，代入即可求得值解答：解：因为（0，）和sin=，根据sin2+cos2=1得到：cos=，所以tan=；而tan（+）=7故答案为7点评：考查学生会利用两角和与差的正切函数函数公式进行化简求值，以及灵活运用同角三角函数间的基本关系解决数学问题7已知abc三边长分别为a，b，c且a2+b2c2=ab，则c=60考点：余弦定理 专题：计算题分析：利用a2+b2c2=ab，代入到余弦定理中求得cosc的值，进而求得c解答：解：a2+b2c2=ab，cosc= = c=60故答案为60点评：本题主要考查了余弦定理的应用属基础题8已知x，y满足，则x2+y2最大值为25考点：简单线性规划的应用 专题：计算题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最大值即可解答：解：注意到目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，作出可行域如图易知当为a点时取得目标函数的最大值，可知a点的坐标为（3，4），代入目标函数中，可得zmax=32+42=25故答案为：25 点评：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点之间的距离问题9设等差数列an的公差d不为零，a1=9d若ak是a1与a2k的等比中项，则k=4考点：等差数列与等比数列的综合 专题：计算题；综合题分析：由ak是a1与a2k的等比中项，知ak2=a1a2k，由此可知k22k8=0，从而得到k=4或k=2（舍）解答：解：因为ak是a1与a2k的等比中项，则ak2=a1a2k，9d+（k1）d2=9d9d+（2k1）d，又d0，则k22k8=0，k=4或k=2（舍去）故答案为：4点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答属基础题10与曲线共焦点并且与曲线共渐近线的双曲线方程为考点：双曲线的标准方程 分析：先求出椭圆 的焦点坐标，双曲线 的渐近线方程，然后设双曲线的标准方程为 ，则根据此时双曲线的渐近线方程为y= x，且有c2=a2+b2，可解得a、b，故双曲线方程得之解答：解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c=5，双曲线的渐近线方程为y=x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为故答案为点评：本题主要考查焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程与性质，同时考查椭圆的标准方程及简单性质11直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点a（1，3），则b的值为 3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k 的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得从而问题解决解答：解：直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点a（1，3）， 又y=x3+ax+b，y=3x2+ax，当x=1时，y=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；由得：b=3故答案为：3点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题12设点m（x0，1），若在圆o：x2+y2=1上存在点n，使得omn=45，则x0的取值范围是1，1考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论解答：解：由题意画出图形如图：点m（x0，1），要使圆o：x2+y2=1上存在点n，使得omn=45，则omn的最大值大于或等于45时一定存在点n，使得omn=45，而当mn与圆相切时omn取得最大值，此时mn=1，图中只有m到m之间的区域满足mn=1，x0的取值范围是1，1 点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一13为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数则3，e，3e，3，e3，e这6个数中的最大值是3考点：指数函数的单调性与特殊点 专题：函数的性质及应用分析：构造函数f（x）= ，由导数性质得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+）由e3，得ln3elne，lneln3从而3ee3，e3e3，由函数f（x）= 的单调性质，得f（）f（3）f（e），由此能求出3，e，3e，3，e3，e这6个数中的最大值解答：解：函数f（x）= 的定义域为（0，+），f（x）= ，f（x）= ，当f（x）0，即0xe时，函数f（x）单调递增；当f（x）0，即xe时，函数f（x）单调递减故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+）e3，eln3eln，lneln3，即ln3elne，lneln3于是根据函数y=lnx，y=ex，y=x在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3，故这六个数的最大数在3与3之中，由e3及函数f（x）=的单调性质，得f（）f（3）f（e），即，由，得ln3ln3，33，3，e，3e，3，e3，e这6个数中的最大值是3故答案为：3点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大14设mr，过定点a的动直线x+my=0和过定点b的动直线mxym+3=0交于点p（x，y）则|pa|pb|的最大值是5考点：点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：先计算出两条动直线经过的定点，即a和b，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有papb；再利用基本不等式放缩即可得出|pa|pb|的最大值解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点a（0，0），动直线mxym+3=0即 m（x1）y+3=0，经过点定点b（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mxym+3=0始终垂直，p又是两条直线的交点，则有papb，|pa|2+|pb|2=|ab|2=10故|pa|pb| =5（当且仅当 时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|pa|2+|pb|2是个定值，再由基本不等式求解得出直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知函数，（1）若x0，求函数f（x）的最大值与最小值及此时x的值；（2）若，且，求f（x）的值考点：三角函数的最值 专题：计算题分析：（1）通过诱导公式、两角差的正弦函数，通过x0，直接求函数f（x）的最大值与最小值及此时x的值；（2）通过 ，判断正弦函数与余弦函数的大小，利用 ，求f（x）的平方的值，即可求出所求数值解答：解：（1），（2分）x0，f（x）min=1（6分）分别在时取得（8分）（2），sinxcosx，f（x）0，（10分）又，（13分）（14分）点评：本题是中档题，考查三角函数诱导公式的应用，两角差的三角函数的最值，考查计算能力，转化思想16（14分）已知圆c：x2+y2=9，点a（5，0），直线l：x2y=0（1）求与圆c相切，且与直线l垂直的直线方程；（2）在直线oa上（o为坐标原点），存在定点b（不同于点a），满足：对于圆c上任一点p，都有为一常数，试求所有满足条件的点b的坐标考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用 分析：（1）先求与直线l垂直的直线的斜率，可得其方程，利用相切求出结果（2）先设存在，利用都有 为一常数这一条件，以及p在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果解答：解：（1）设所求直线方程为y=2x+b，即2x+yb=0，直线与圆相切，得，所求直线方程为，（2）方法1：假设存在这样的点b（t，0），当p为圆c与x轴左交点（3，0）时，；当p为圆c与x轴右交点（3，0）时，依题意，解得，t=5（舍去），或下面证明点对于圆c上任一点p，都有为一常数设p（x，y），则y2=9x2，从而为常数方法2：假设存在这样的点b（t，0），使得为常数，则pb2=2pa2，（xt）2+y2=2（x+5）2+y2，将y2=9x2代入得，x22xt+t2+9x2=2（x2+10x+25+9x2），即2（52+t）x+342t29=0对x3，3恒成立，解得或（舍去），所以存在点对于圆c上任一点p，都有为常数点评：本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，又是存在性和探究性问题，恒成立问题，考查计算能力是难题17（14分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段已知跳水板ab长为2m，跳水板距水面cd的高bc为3m为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点a处水平距hm（h1）时达到距水面最大高度4m规定：以cd为横轴，bc为纵轴建立直角坐标系（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域ef内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围考点：根据实际问题选择函数类型 专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）由题意知最高点为（2+h，4），h1设抛物线方程为y=ax（2+h）2+4，当h=1时，最高点为（3，4），方程为y=a（x3）2+4，由此能求出结果（2）将点a（2，3）代入y=ax（2+h）2+4，得ah2=1，由题意，方程ax（2+h）2+4=0在区间5，6内有一解，由此入手能求出达到较好的训练效果时h的取值范围解答：解：（1）由题意知最高点为（2+h，4），h1设抛物线方程为y=ax（2+h）2+4，当h=1时，最高点为（3，4），方程为y=a（x3）2+4，将a（2，3）代入，得3=a（23）2+4，解得a=1，当h=1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y=（x3）2+4（2）将点a（2，3）代入y=ax（2+h）2+4，得ah2=1，由题意，方程ax（2+h）2+4=0在区间5，6内有一解，令f（x）=ax（2+h）2+4=x（2+h）2+4，则f（5）=（3h）2+40，且f（6）=（4h）2+40解得1h故达到较好的训练效果时h的取值范围是1，故达到较好的训练效果时h的取值范围是1， 点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用18（16分）在直角坐标系xoy上取两个定点a1（2，0），a2（2，0），再取两个动点n1（0，m），n2（0，n），且mn=3（1）求直线a1n1与a2n2交点的轨迹m的方程；（2）已知点a（1，t）（t0）是轨迹m上的定点，e，f是轨迹m上的两个动点，如果直线ae的斜率kae与直线af的斜率kaf满足kae+kaf=0，试探究直线ef的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：综合题分析：（1）先分别求直线a1n1与a2n2的方程，进而可得 ，利用mn=3，可以得 ，又点a1（2，0），a2（2，0）不在轨迹m上，故可求轨迹方程；（2）先求点a的坐标 ，将直线ae的方程代入 并整理，利用kae+kaf=0得kaf=k，从而可表示直线ef的斜率，进而可判断直线ef的斜率为定值解答：解：（1）依题意知直线a1n1的方程为：（1分）直线a2n2的方程为：（2分）设q（x，y）是直线a1n1与a2n2交点，得由mn=3整理得（5分）n1，n2不与原点重合点a1（2，0），a2（2，0）不在轨迹m上（6分）轨迹m的方程为（x2）（7分）（2）点a（1，t）（t0）在轨迹m上解得，即点a的坐标为（8分）设kae=k，则直线ae方程为：，代入并整理得（10分）设e（xe，ye），f（xf，yf），点在轨迹m上，（11分）又kae+kaf=0得kaf=k，将、式中的k代换成k，可得，（12分）直线ef的斜率即直线ef的斜率为定值，其值为（14分）点评：本题主要考查交轨法求轨迹方程，应注意纯粹性，（2）的关键是求出直线ef的斜率的表示，通过化简确定其伟定值，考查了学生的计算能力，有一定的综合性19（16分）设fk（n）为关于n的k（kn）次多项式数列an的首项a1=1，前n项和为sn对于任意的正整数n，an+sn=fk（n）都成立（i）若k=0，求证：数列an是等比数列；（）试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列考点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定 专题：综合题；压轴题分析：（）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）即an+sn=c，结合数列中an与 sn关系 求出数列an的通项公式后再证明（）由特殊到一般，实质上是由已知an+sn=fk（n） 考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定解答：（）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）因为an+sn=fk（n）恒成立，所以a1+s1=c，c=2a1=2而且当n2时，an+sn=2，an1+sn1=2，得 2anan1=0（nn，n2）若an=0，则an1=0，a1=0，与已知矛盾，所以an0（nn*）故数列an是首项为1，公比为 的等比数列（）解：（1）若k=0，由（）知，不符题意，舍去（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n2时，an+sn=bn+c，an1+sn1=b（n1）+c，得 2anan1=b（nn，n2）要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=bd（常数），而a1=1，故an只能是常数数列，通项公式为an=1（nn*），故当k=1时，数列an能成等差数列，其通项公式为an=1（nn*），此时f1（n）=n+1（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a0，a，b，c是常数），当n2时，an+sn=pn2+qn+t，an1+sn1=p（n1）2+q（n1）+t，得 2anan1=2pn+qp（nn，n2），要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2pn+qpd，且d=2p，考虑到a1=1，所以an=1+（n1）2p=2pn2p+1（nn*）故当k=2时，数列an能成等差数列，其通项公式为an=2pn2p+1（nn*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+12a（a为非零常数）（4）当k3时，若数列an能成等差数列，根据等差数列通项公式可知sn是关于n的二次型函数，则an+sn的表达式中n的最高次数为2，故数列an不能成等差数列综上得，当且仅当k=1或2时，数列an能成等差数列点评：本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力20（16分）已知函数f（x）=alnxbx2图象上一点p（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（）求a，b的值；（）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（）令g（x）=f（x）kx，若g（x）的图象与x轴交于a（x1，0），b（x2，0）（其中x1x2），ab的中点为c（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g（x0）0考点：函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；证明题；压轴题分析：（）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；（）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnxx2+m，的单调性，结合单调性及在 内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；（）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答解答：解：（）f（x）= =2bx，f（2）=aln24b，且aln24b=6+2ln2+2解得a=2，b=1（）f（x）=2lnxx2，令h（x）=f（x）+m=2lnxx2+m，则，令h（x）=0，得x=1（x=1舍去）在内，当时，h（x）0，h（x）是增函数；当x1，e时，h（x）0，h（x）是减函数，则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是：即1m（）g（x）=2lnxx2kx，假设结论不成立，则有：，得由得，即，即令，（0t1），则0u（t）在0t1上增函数，u（t）u（1）=0，式不成立，与假设矛盾g（x0）0点评：本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法值得同学们体会反思三、附加题21（10分）已知矩阵a=，b=，求矩阵a1b考点：几种特殊的矩阵变换 专题：矩阵和变换分析：设矩阵a1= ，通过aa1为单位矩阵可得a1，进而可得结论解答：解：设矩阵a的逆矩阵为 ，则=，即=，故a=1，b=0，c=0，d=，从而a1=，a1b=点评：本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题22（10分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆c的极坐标方程：（）将直线l的参数方程化为普通方程，圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（）判断直线l和圆c的位置关系考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程 分析：（）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（）欲判断直线l和圆c的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较解答：解：（）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1， ，即=2（sin+cos），两边同乘以得2=2