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一道 2011 美国数学奥林匹克试题的直接证明 邹 守 文 安徽省南陵县春谷中学 241300 2011 年美国数学奥林匹克有下面的一道不等 式证明题 设 a b c 0 且 a2 b 2 c2 a b c 2 4 求证 ab 1 a b 2 bc 1 b c 2 ca 1 c a 2 3 文 1 中安振平老师用换元法给出了证明 并给 出两个加强 在享受安先生高超的变形技巧时 思考 能否直接证明 从而得到一种简洁的直接证明 现介 绍如下 证明 由已知 a2 b2 c2 a b c 2 4 得 a2 b2 c2 ab bc ca 2 于是 ab 1 a b 2 2ab 2 2 a b 2 a 2 b2 c2 3ab bc ca 2 a b 2 a b 2 c2 ab bc ca 2 a b 2 1 2 c a c b 2 a b 2 同理 bc 1 b c 2 1 2 c a a b 2 b c 2 ca 1 c a 2 1 2 c b a b 2 c a 2 上述三式相加 有 ab 1 a b 2 bc 1 b c 2 ca 1 c a 2 3 2 1 2 a c b c a b 2 c a a b b c 2 c b a b c a 2 3 2 3 2 a c b c a b 2 c a a b b c 2 c b a b c a 2 1 3 3 由证明过程可以很容易得到文 1 中的问题 2 和问题 3 参考文献 1 安振平 一道 2011年美国数学奥林匹克试题的换元证 法 数学通讯 2011 9 下半月 收稿日期 2011 09 30 浪漫的天才数学家伽罗瓦 郑 良 安徽省灵璧第一中学 234200 在外人眼里 数学家是严谨甚至是刻板的 只在 自己涉猎的领域内奋斗 与世人隔绝 其实 这是对 数学家的误解 数学家只是在数学方面有专长的普 通人 同样热情奔放 本文介绍数学史上两个最具浪 漫主义色彩的人物之一 伽罗瓦 埃瓦里斯特 伽罗瓦于 1811 年 10 月 25 日生于 法国巴黎郊区的小镇拉赖因堡 父亲为人正直厚道 担任拉赖因堡镇长 14 年 深受市民的拥戴 母亲是 62 数学通讯 2012 年第 1 期 下半月 课外园地 当地法官的女儿 聪明而有 教养 是古代文化的热忱爱 好者 她作为伽罗瓦的启蒙 老师 不仅教授基本知识 还 把从拉丁和希腊文学中汲取 来的英雄主义 浪漫主义和 对传统宗教的怀疑态度灌输 到儿子幼小的心灵中 使伽罗瓦从小就有强烈的好 奇心 求知欲 刻苦执着的钻研精神 这就为伽罗瓦 在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实 的基础 1823 年 10 月 伽罗瓦离开双亲 进入有名的皇 家中学接受正规教育 学校由反动政客统治着 不仅 生活条件恶劣 还要求学生为当局歌功颂德 学生不 愿意举杯为国王祝福 而是高唱5马赛曲6 学校只能 以开除学生解除矛盾冲突 认真 热心的伽罗瓦与学 校制度格格不入 始终保持着与其他同学的距离 据 老师们回忆 伽罗瓦具有 杰出的才干0 举止不 凡0 但又 为人乖僻 古怪 过分多嘴0 良好的启蒙 教育及强烈的求知欲使伽罗瓦在皇家中学获得奖学 金 完全靠公费生活 因多次在作文比赛中获得好 评 他在 1826 年 10 月转到修辞班学习 就在这一 年 伽罗瓦越来越反感学校的教员和拉丁文 希腊 文 经典文学等课程 不愿在此多下苦工 直接后果 是成绩不好 留级重读一年 在这次挫折之后 他被 批准去初级数学班 选学第一门数学课 H J 维尼 尔教授讲授几何课 使他对数学产生浓厚的兴趣 数 学才能被唤起并很快显现出来 但他不满意教科书 编排的琐碎 内容的贫乏 对老师过于注重形式 维 尼尔总是批评伽罗瓦不能系统地写下所有解答步 骤 的讲课方式倍感失望 他感慨地写道 不幸的年 轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东 西呢 0 下棋找高手 弄斧到班门 他决定求教于数学大 师的专著 如勒让德的经典著作5几何原理6 一般人 要两年才能学完 而伽罗瓦仅用数天就完全理解 书 中描述的几何原理的逻辑发展及蕴含在其中的数学 思维内在美也激发了他数学方面极大的热情 拉格 朗日的5论数值方程解法6 5解析函数论6 5微积分 学教程6 使其思维日趋严谨 这些书原本是为大学 学生 教授和数学家写的 通过独立研究 他成功地 掌握了其中的内容 接着 他又读完了欧拉 高斯 雅 可比 柯西 阿贝尔等顶尖数学家的著作 为自己打 下了坚实的数学基础 同时提升了他的信心 我能 够做到的 决不会比大师们少 0知识的积累 视野的 开阔 使伽罗瓦练就炉火纯青的心算本领 可以凭借 纯粹的心算完成最困难复杂的数学研究 中学第五年 伽罗瓦参加了巴黎综合工科大学 的入学考试 由于他忽视了其他学科的学习 考试失 败 这次失败让那些惊叹于他数学天赋的伙伴们感 到吃惊 许多人认为这次失败是不公正行为的结果 直至 20 多年后 这种争论仍未停息 在 1828 年 10 月 他从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班 里夏尔讲课风格优雅 他利用业余时间到巴黎大学 听课 使自己的水平紧跟时代步伐 并把新的知识传 授给学生们 他很早就发现伽罗瓦的数学才华 伽 罗瓦只宜在数学的尖端领域中工作0 他大大地超 过了全体同学0 里夏尔十分赞赏伽罗瓦解答中的精 巧方法 鼓励其独立研究 在里夏尔的帮助下 伽罗 瓦写出论文5对一个周期连分数定理的证明6 并于 1829 年 4 月发表在5纯粹与实用数学年报6上 1829 年 5 月中学快要结束时 在里夏尔的鼓励 下 伽罗瓦把很早就开始的关于方程理论的研究整 理成文 论文主要涉及五次方程的代数解法 首次引 入 群0的概念 他把论文提交给法国科学院 科学院 委托当时最杰出的数学家柯西鉴定论文 但是在科 学院安排口头报告伽罗瓦论文会议上 柯西却因病 而缺席 也没有写下相关的正式书面报告 更为遗憾 的是 柯西在病愈后 并未向科学院介绍伽罗瓦的著 作 据说他把伽罗瓦的论文弄丢了 1829 年中学学习结束后 伽罗瓦刚满 18 岁 他 再次报考巴黎综合工科大学时 他的父亲却因为被 63 课外园地 数学通讯 2012 年第 1 期 下半月 人在选举时恶意中伤而自杀 父亲的冤死 也导致他 的政治观与人生观的改变 思想走向极端 在几天后 的升学口试中 主考对伽罗瓦阐述的见解不理解 并 加以嘲笑 失望之中的伽罗瓦被主考的 狂笑声所激 怒0 愤怒地把黑板擦砸到主考头上 结果可想而知 尽管他对父亲的去世无比悲痛 但他还是 沉着 而镇静0地听从里夏尔的劝告 决定进巴黎高等师范 学校 这使他有可能继续深造 同时生活费用也有了 着落 1829 年 10 月 25 日 他被作为预备生录取入 学 进入师范学校后的第一年对伽罗瓦来说是最顺 利的一年 在这里 他结识了一生中唯一亲近的朋友 舍瓦利叶 在数学大师著作的引领下 通过个人的努力 使 其思想具有独创性和敏锐性 许多数学难题被伽罗 瓦一个接一个的攻克 终于登上了大师们建构的数 学高峰 站在高峰上 伽罗瓦不光看到了数学王国里 旖旎的风光 还发现了一座无人涉足的更高的山峰 即怎样判断哪些方程可以用根式求解 哪些方程不 能用根式求解 一元一 二 次方程的求解很早就被发现 一元 三次方程解的公式 卡当公式 直到十六世纪初才由 意大利的数学家发现 在费拉里给出一般的四次方 程解法后 这就促使数学家们继续努力寻求五次及 以上的高次方程的解法 这个问题持续了三个多世 纪都没有解决 拉格朗日更是称这一问题是在 向人 类的智慧挑战0 1770 年 拉格朗日精心分析了二 次 三次 四次方程根式解的结构之后 提出了方程 的预解式概念 并且还进一步看出预解式和方程的 各个根在排列置换下的形式不变性 这时他认识到 求解一般五次方程的代数方法可能不存在 此后 挪 威数学家阿贝尔给出了高于四次的一般代数方程不 存在代数解的证明 伽罗瓦从拉格朗日那里继承了问题转化的思 想 即把预解式的构成同置换群联系起来 又改进拉 格朗日的思想 即设法绕过拉氏预解式 并在阿贝尔 研究的基础上 不可能用加 减 乘 除 开方运算和 方程的系数来表示五次方程根的一般解 进一步发 展 把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构 的分析 即每个方程对应于一个域 称为这方程的伽 罗瓦域 这个域对应一个群 称为这方程的伽罗瓦 群 伽罗瓦域的子域和伽罗瓦群的子群有一一对应 关系 当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群时 这 方程是用根式可解的 他一劳永逸地发现了一个折 磨了数学家几个世纪的谜团的答案 在什么条件下 一个方程有解 0 1830 年 2 月 伽罗瓦将写出的新论文提交给法 国科学院来应征数学大奖 但这一次他遭遇到新的 挫折 尽管科学院常任秘书傅立叶对论文很感兴趣 并建议举行一次专门会议来讨论 但在预定会期的 前几天 傅立叶不幸病逝 因而他的论文又被遗失 了 1831 年 伽罗瓦将自己研究的新成果写成论文 5关于用根式解方程的可解性条件6 第三次送交科 学院 总算幸运 这一次论文没有丢失 审查人泊松 院士看了 4 个月 未能很好地领会 置换群0这个崭 新的数学概念和方法 最后在论文上批道 完全不 能理解0 泊松的不公正评价 使他受到很大打击 这 连串的打击并没有使他失去信心 相反 他更加努 力 利用一切可以利用的时间思考他认为合理的数 学法则或原理 并随时动笔写下他的想法和新的发 现 他的著作中的一切都是朝向未来的 在这期间 伽罗瓦向两家法国杂志投稿 并取得很大成功 受父亲政治态度的影响 再加上社会时局的不 稳定 生活中的挫折等 使得伽罗瓦对政治抱有极大 的热情 他很早就成为一位反对君主制的共和党人 七月革命0爆发时 巴黎高等师范学校校长紧锁校 门 阻止学生参加革命 伽罗瓦不仅在学校里反对学 校的苛刻校规 带领同学翻墙上街作战 还在报上发 表来信抨击校长在七月革命中的两面派行为 以至 于在 1830 年 12 月被学校开除 这并没有使他改变 主意和做法 而是更加积极参加政治活动 宣传他的 些主张 他经常参加一些会议 大胆地发表自己的 见解 他的行动受到了不少有正义感的人的支持和 64 数学通讯 2012 年第 1 期 下半月 课外园地 拥护 1831 年 5 月 10 日 伽罗瓦以 企图暗杀国王0 的罪名被捕 在共和党人的律师的努力下 他在 6 月15日陪审法庭上被宣告无罪当场获释 7 月 14 日 巴士底日0 后为法国国庆节 那天 伽罗瓦身穿 炮兵部队制服 携带步枪 手枪和匕首 与法律系学 生一起带领群众上街游行 被反动王朝再次抓捕 并 关在圣佩拉吉监狱 在狱中他曾遭暗枪射击 幸未击 中 他与官方进行不妥协斗争的同时 还抓紧时间钻 研数学 静下心来在数学王国里思考 1832 年 4 月 29 日伽罗瓦获释 一个月后就迎 来了那场致命的决斗 5 月 29 日 出狱后一个月的 伽罗瓦为了 爱情0和一个军官决斗 在决斗前夜 伽 罗瓦预料到自己将会死去 他舍不得自己心爱的革 命事业 更舍不得令其痴迷 狂热的数学 为了证明 自己数学理论的价值 也为了避免因为自己的死过 多地推迟数学的发展 他通宵达旦奋笔疾书 与时间 赛跑 力图把他的所有数学成果记录下来 他写道 我亲爱的朋友们 我已经得到分析学方面的 一些新发现 在我一生中 我常常敢于预言当时 我还不十分有把握的一些命题 但是我在这里写下 的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里有一年多 了 我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的 定理 请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要 性 不是就定理的正确与否 发表他们的看法 然后 我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有 益处的一件事 满怀激情地拥抱你 伽罗瓦 0 整个晚上 他焦躁一气地写着他在科学上的遗 言 想在死亡之前尽快把他丰富的思想中那些伟大 的东西写出来 他不时中断 在纸边空白处写上 我 没有时间 我没有时间 0尽管在天亮之前他只写下 了一个极其潦草的大纲 大部分内容是对以前的论 文的注解和说明 但就是这个大纲 被 20 世纪著名 数学家赫曼 威尔称为 可能是人类全部文献中最重 大的一篇文稿0 美国数学家埃里克 坦普尔 贝尔 说 他在黎明前那些绝望的最后时刻写下的东西 将会使一代代数学家忙上几百年0 1832 年 5 月 30 日的清晨 伽罗瓦腹部中弹 第 二天上午十点 数学史上最年轻 最富有创造性的头 脑停止了思考 在他接触数学短短的五年间 却开创 了数学的一片新天地 伽罗瓦死后 按照他的遗愿 舍瓦利叶把他的信 发表在5百科评论6中 1846 年 法国数学家刘维尔 才把伽罗瓦的科研成果整理后首次发表于5纯粹与 实用数学杂志6 直到 1870 年 法国数学家若尔当在 他的5置换和代数方程专论6一书中 第一个全面而 清楚地介绍了伽罗瓦理论 才使这位法兰西科学之 光 伽罗瓦的观点和伟大理论为世人公认 伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念 并用 群论彻底解决了根式求解代数方程的问题 而且由 此发展了一整套关于群和域的理论 人们称之为伽 罗瓦理论 正是这套理论 创立了抽象代数学 把代 数学的研究推向了一个新的里程 为数学研究工作 提供了新的数学工具 对数学分析 几何学的发展有 很大影响 并标