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文档简介

常数项级数 函数项级数 一般项级数 正项级数 幂级数 三角级数 收敛半径R 泰勒展开式 数或函数 函数 数 任意项级数 傅氏展开式 傅氏级数 泰勒级数 满足狄氏条件 一 主要内容 1 常数项级数 级数的部分和 定义 级数的收敛与发散 性质1 级数的每一项同乘一个不为零的常数 敛散性不变 性质2 收敛级数可以逐项相加与逐项相减 性质3 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和 级数收敛的必要条件 收敛级数的基本性质 常数项级数审敛法 定义 2 正项级数及其审敛法 审敛法 1 比较审敛法 2 比较审敛法的极限形式 定义正 负项相间的级数称为交错级数 3 交错级数及其审敛法 定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 4 任意项级数及其审敛法 5 函数项级数 1 定义 2 收敛点与收敛域 3 和函数 1 定义 6 幂级数 2 收敛性 推论 定义 正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 a 代数运算性质 加减法 其中 3 幂级数的运算 乘法 其中 除法 b 和函数的分析运算性质 7 幂级数展开式 1 定义 2 充要条件 3 唯一性 3 展开方法 a 直接法 泰勒级数法 步骤 b 间接法 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式 4 常见函数展开式 1 三角函数系 三角函数系 8 傅里叶级数 2 傅里叶级数 定义 三角级数 其中 称为傅里叶级数 3 狄利克雷 Dirichlet 充分条件 收敛定理 4 正弦级数与余弦级数 奇延拓 5 周期的延拓 偶延拓 二 典型例题 例1 例1 解 根据级数收敛的必要条件 原级数发散 解 根据比较判别法 原级数收敛 解 从而有 原级数收敛 原级数发散 原级数也发散 例 解 即原级数非绝对收敛 由莱布尼茨定理 所以此交错级数收敛 故原级数是条件收敛 例 解 两边逐项积分 例4 解
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