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第四章数值积分 4 1构造数值积分公式的基本方法 4 2Newton Cotes公式 4 3复化求积公式 4 4龙贝格求积算法 引言 第四章 但在实际计算中常常会碰到一些困难 数值积分基本形式 为了便于讨论 我们假定被积函数在闭区间上连续 引言 第四章 第四章 4 1构造数值积分公式的基本方法 这就是插值型数值求积公式 数值积分公式的余项 第四章 4 2牛顿 科特斯求积公式 积分区间的等分点作为求积节点牛顿 科特斯公式 即Newton Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式 1 求积公式构造 其中 而 因此对于定积分 有 余项 令 即有 n阶Newton Cotes求积公式 Newton Cotes公式的余项 误差 注意是等距节点 所以Newton Cotes公式化为 当n 1 2 4时的公式是最常用的低阶公式 Cotes系数为 求积公式为 1 梯形公式 上式称为梯形求积公式 记为 Cotes系数为 求积公式为 2 辛浦生公式 上式称为Simpson求积公式 3 科特斯公式 第五章 为使求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义 就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立 2 求积公式的代数精度 2 求积公式的代数精度 容易验证梯形公式 辛浦生公式 科特斯公式分别具有1 3 5次代数精度 例2试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高 解 因此 所以该积分公式具有3次代数精确度 积分第一中值定理 如果f x g x 在区间 a b 连续 且g x 在区间 a b 上不变号 则存在使得 3 求积公式的截断误差 证 4 牛顿 科特斯公式的稳定性 因为牛顿 科特斯公式对于f x 1必然准确成立 因而有 在此计算过程时稳定的 这时误差得不到控制 因而计算过程中稳定性没有保证 1 复化梯形公式 4 3复化求积公式 3 1常用复化求积公式 各节点为 相加后得复化梯形公式 第四章 2 复化辛浦生公式 相加后得复化辛浦生公式 5 20 式中 3 复化柯特斯公式 5 21 式中 例5 4 可得各节点的值如下表 分别由复合Trapz Simpson Cotes公式有 原积分的精确值为 精度最高 精度次高 精度最低 比较三个公式的结果 显然复合辛普森求积公式具有精度高 计算较简便等优点 3 2复化求积公式的截断误差 第四章 4 3复化求积公式 3 2复化求积公式的截断误差 第五章 5 3复化求积公式 3 3区间逐次分半求积法 实际计算时常采用 事后估计误差 的方法 即在步长逐次半分的过程中 反复利用复化求积公式进行计算 并同时查看相继两次计算结果的误差是否达到要求 直到所求得的积分近似值满足精度要求为止 4 3复化求积公式 第五章 复化求积公式是提高精确度的一种有效方法 但在使用复化型求积公式之前 必须进行先验估计 以确定节点数目 从而确定合适的等分步长 误差估计困难 由复化梯形 Trapz 公式为 1 2 积分值为 3 积分值为 上式也可写为P 65 4 实际计算中的递推公式为 计算过程中常用是否满足作为控制计算精度的条件 5 解利用式 5 编程计算 其结果见下表 通过类似的推导 还可得到下面的结论 6 在区间逐次分半过程中 采用事后估计误差的方法 可以确定合适的计算步长 所以 区间逐次分半求积法也称为步长自动选择的变步长求积法 7 4 4Romberg算法 无论从代数精度还是收敛速度 复化梯形公式都是较差的 由上节公式可以看出 将积分区间等分时 用复化梯形公式计算的结果为积分I的近似值 其误差近似为 作为积分的近似值 可望提高其精确程度 第四章 直接根据复化求积公式 不难验证 5 29 同样可得 这说明 将区间对分前后两次复化梯形公式的值 按上式作线性组合恰好等于复化辛浦生公式的值它比更接近于近似值 5 30 5 31 式 5 31 称为龙贝格求积公式 外推加速公式 以上整个过程称为Romberg算法 将上述结果综合后 其中外推加速公式可简化为 4 4 Romberg算法的收敛阶高达m 1的两倍 Romberg算法求解步骤 Romberg算法的代数精度为m的两倍 可以证明 由梯形序列外推得到辛浦生序列 由辛浦生序列外推得到柯特斯序列以及由柯特斯序列外推得到龙贝格序列 每次外推都可以使误差阶提高二阶 利用龙贝格序列求积的算法称为龙贝格算法 这种算法具有占用内存少 精确度高的优点 因此 成为实际中常用的求积