江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高三数学上学期周考训练（10）.doc

江苏省连云港市赣榆县海头高级中学2015届高三数学上学期周考训练（10）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1已知集合，则= 2若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是 3若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，则抽取的人中，编号在区间内的人数是 4在如图所示的算法中，输出的的值是 5已知是等差数列，若，则的值是 6若将甲、乙两个球随机放入编号为，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是 7在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是 8若，则的值是 9若，是实数，则的最大值是 10如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且m为的中点，则三棱锥的体积是 (第13题图)dcba(第10题图)s2i1whiles200ii2ssiendwhileprinti（第4题图）11设函数是定义在上的奇函数，当时，则关于的不等式的解集是 12已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点， 则反射光线所在直线的方程是 13如图，已知中，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是 14已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本题满分14分）已知的内角的对边分别为， （1）若，求的值；（2）若，求的值16（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且（1）求证：；（2）若平面与平面的交线为，求证：(第16题图)pbcad17（本题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知为直径，且km,为圆心， 为圆周上靠近 的一点，为圆周上靠近 的一点，且现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧 ，到是线段.设，观光路线总长为.（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值. (第17题图)18（本题满分16分）已知函数（其中是自然对数的底数），（1）记函数，且，求的单调增区间；（2）若对任意，均有成立，求实数的取值范围 19（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求证：为定值；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由(第19题图)20（本题满分16分）已知数列是等差数列，其前n项和为sn，若，（1）求；（2）若数列mn满足条件： ，当时，其中数列单调递增，且，试找出一组，使得；证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方数学 附加题部分21 b. 已知二阶矩阵a有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵a21c.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程22（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，已知，点，分别在棱，上，且， （1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值feb1acbaa（第22题图）23已知数列的各项均为正整数，对于任意nn*，都有 成立，且（1）求，的值；（2）猜想数列的通项公式，并给出证明数学参考答案与评分标准数学 必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14二、解答题: 本大题共6小题， 1517每小题14分，1820每小题16分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（1）由余弦定理得， 3分因为，所以，即 5分解之得，（舍去）所以. 7分（2）因为， 所以 9分 11分所以 14分16（1）连接ac，交bd于点o，连接po 因为四边形abcd为菱形，所以 2分 又因为，o为bd的中点， 所以 4分 又因为 所以，又因为 所以7分（2）因为四边形abcd为菱形，所以 9分 因为 所以 11分又因为，平面平面 所以 14分17(1)由题意知， 2分， 5分因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以所以 ， 7分 (2)记,则， 9分令，得， 11分列表x(0，)(，)0f (x)递增极大值递减所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，13分即， 答：观光路线总长的最大值为千米 14分18（1）因为，所以， 2分令，因为，得或， 5分所以的单调增区间为和； 6分（2）因为对任意且，均有成立，不妨设，根据在上单调递增，所以有对恒成立，8分所以对，恒成立，即对，恒成立，所以和在都是单调递增函数，11分当在上恒成立，得在恒成立，得在恒成立，因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，解得 13分当在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，因为在上递减，在上单调递增，所以在上取得最小值，所以， 15分所以实数的取值范围为 16分19（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，1分又点在椭圆上，所以，2分联立，解得 3分所以所求圆的方程为 4分（2）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得6分同理，7分所以是方程的两个不相等的实数根，8分因为点在椭圆c上，所以，即，所以 10分（3）是定值，定值为36，11分理由如下：法一：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得12分所以，同理，得，13分由，所以 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 16分 法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,因为，所以,即， 12分因为在椭圆c上，所以，即 13分所以，整理得，所以， 所以 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 16分20（1）设数列的首项为，公差为，由，得， 2分解得，所以4分（2）因为，若，因为，所以，此方程无整数解； 6分若，因为，所以，此方程无整数解；8分若，因为，所以，解得，所以，满足题意10分 由知，则，一般的取， 13分此时，则，所以为一整数平方因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方16分数学部分21【选做题】a(选修41：几何证明选讲)因为be切o于点b，所以， （第21a题图）因为，由余弦定理得4分又因为，所以，8分所以 10分 b（选修42：矩阵与变换）设矩阵，这里，因为是矩阵a的属于的特征向量，则有 ， 4分又因为是矩阵a的属于的特征向量，则有 6分根据，则有 8分从而所以 10分c（选修4-4：坐标系与参数方程）由得两式平方后相加得， 4分因为曲线是以为圆心，半径等于1的圆得即曲线的极坐标方程是 10分d（选修45：不等式选讲）因为 5分所以原不等式解集为r等价于 所以所以实数的取值范围为 10分22建立如图所示的空间直角坐标系（1）因为ab=ac=1，3，所以各点的坐标为,， 2分因为,，所以所以向量和所成的角为，所以异面直线与所成角为 4分zyxfeb1acbaa（2）因为，所以 设平面的法向量为，则，且即，且令，则所以是平面的一个法向量 6分又，则，又因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得， 10分23（1）因为 ，当时，由，即有，解得因为为正整数，故 2分当时，由，解得，所以 4分（2）由，猜想：5分下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立6分2假设成立，则， 由条件得，所以， 8分所以 9分因为，又，所以即时，也成立由1，2知，对任意， 10分1集合的子集个数为 2如果与是共轭复数（x、y是实数），则 3函数的最大值是 4等差数列中，该数列前10项的和 5焦点为的抛物线过点，则 6平面向量，则与的夹角是 7函数的零点个数是 8已知直线与在点处的切线相互垂直，则 9设命题：的解集是实数集；命题：，则是的 （填充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件）10已知圆与直线相交于，两点，若，则实数 11将函数的图象，向左平移个单位，得到函数的图象若在上为增函数，则的最大值为 .12已知是的中线，若，则的最小值是 13已知函数，若存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围为 14设函数，记在上的最大值为，则函数的最小值为_.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本题满分14分）已知的面积为，且. （1）求的值； （2）若，求的面积.16（本题满分14分）如图，三棱柱abca1b1c1中，m，n分别为ab，b1c1的中点（1）求证：mn平面aa1c1c；a1abcb1c1mn（第16题图）（2）若cc1cb1，cacb，平面cc1b1b平面abc，求证：ab平面cmn17（本题满分14分）某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a元(常数a，且2a5)设每升产品的售价为x元 (35x41)，根据市场调查，日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例已知当每升产品的售价为40元时，日销售量为10升（1）求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式；（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y最大？并求出最大值(参考数据：取55，148)18（本题满分16分）已知椭圆求椭圆的离心率；设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.19（本题满分16分）已知等差数列，其前项和为，若 （1）求数列的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为 求数列的通项公式； 记，数列的前项和为，求所有使得等式成立的正整数20（本题满分16分）已知函数(是不同时为零的常数)，导函数为（1）当时，若存在，使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程，在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围1 4 2.343056120度73 8 9必要不充分 10 112121 13 14 15、解：（1）-6分（2）-14分16、证明：（1）取a1c1的中点p，连接ap，npa1abcb1c1mn（第16题图）p因为c1nnb1，c1ppa1，所以npa1b1，npa1b1 2分在三棱柱abca1b1c1中，a1b1ab，a1b1ab故npab，且npab 因为m为ab的中点，所以amab所以npam，且npam所以四边形amnp为平行四边形所以mnap 4分因为ap平面aa1c1c，mn平面aa1c1c，所以mn平面aa1c1c 6分（2）因为cacb，m为ab的中点，所以cmab 8分因为cc1cb1，n为b1c1的中点，所以cnb1c1 在三棱柱abca1b1c1中，bcb1c1，所以cnbc因为平面cc1b1b平面abc，平面cc1b1b平面abcbccn平面cc1b1b，所以cn平面abc 10分因为ab平面abc，所以cnab 12分因为cm平面cmn，cn平面cmn，cmcnc，所以ab平面cmn 14分17、解：（1）设日销售量(k为比例系数)，因为当x40时，p10，所以k， 2分从而，x； 6分（2）设，则，由，得ta1， 9分 因为5t11，2a5，所以a+13，4，5，6，若a+13，4，5，则，函数在5，11上单调递减， 所以当t5即x35时，； 11分若a+16，列表：(5，6)6( 6，11)0极大值 所以当t6即x36时， 答：若a2，3，4，则当每升售价为35元时，日利润最大为元； 若a5，则当每升售价为36元时，日利润最大为550元 14分18、解：（i）由题意，椭圆c的标准方程为 所以，从而。因此故椭圆c的离心率（） 直线ab与圆相切，证明如下：设点a,b的坐标分别为，其中，因为，所以，即，解得 当时，代入椭圆c的方程，得，故直线ab的方程为。圆心o到直线ab的距离 此时直线ab与圆相切 当时，直线ab的方程为， 即， 圆心0到直线ab的距离 又，故 此时直线ab与圆相切19、（1）-4分 （2）-9分 -11分 -13分 存在符合条件的正整数-1