江苏省宿迁实验高中高三数学上学期第四次质检试卷（含解析）.doc

江苏省宿迁实验高中2015届高 三上学期第四次质检数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1若集合a=1，0，1，b=y|y=cos（x），xa，则ab=1，1考点：交集及其运算 专题：计算题分析：通过a=1，0，1，求解b=y|y=cos（x），xa，然后求解交集即可解答：解：因为集合a=1，0，1，因为cos（）=1，cos=1，cos0=1，所以b=y|y=cos（x），xa=1，1，则ab=1，0，11，1=1，1故答案为：1，1点评：本题考查集合的求法，交集的运算，基本知识的应用2在复平面内，复数对应的点位于第二象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则与几何意义即可得出解答：解：在复平面内，复数=对应的点位于第 二象限故答案为：二点评：本题考查了复数的运算法则与几何意义，属于基础题3算法如果执行下面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于360考点：循环结构 专题：图表型分析：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数解答：解：第一次：k=1，p=13=3；第二次：k=2，p=34=12；第三次：k=3，p=125=60；第四次：k=4，p=606=360此时不满足k4所以p=360故答案为：360点评：本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题4如图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：利用茎叶图，先求出所剩数据的平均数，再求出方差解答：解：该选手去掉一个最高分96，去掉一个最低分79，所剩数据的平均分是=（84+84+84+86+87+91+93）=87，方差为s2=；故答案为：点评：本题考查了利用茎叶图求数据的平均数与方差的问题，是基础题5从1，2，3，4，5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：计算题；概率与统计分析：任取三数共有种结果，其中和为奇数包括：三数均为奇数；一奇数两偶数，共种结果，由古典概型计算概率公式可得答案解答：解：从1，2，3，4，5中随机取出三个不同的数，共有=10种结果，其中和为奇数的结果有=4种，故所取三数和为奇数的概率为=，故答案为：点评：本题考查古典概型计算概率的公式，正确计算公式中分子、分母是解决问题的关键6已知点p（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=6考点：简单线性规划 专题：计算题；压轴题分析：画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点a时，纵截距最大，z最大解答：解：画出可行域将z=x+3y变形为y=，画出直线平移至点a时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，k=6故答案为6点评：本题考查画不等式组的可行域；利用可行域求出目标函数的最值7已知等差数列an的前n项和为sn，且满足，则数列an的公差是 2考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：在题设条件的两边同时乘以6，然后借助前n项和公式进行求解解答：解：，6a1+6d6a13d=6，d=2故答案为：2点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意前n项和公式的灵活运用8已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：计算题分析：先求圆锥的底面圆的周长，就是展开图的扇形的弧长，求出圆锥的母线长，再求其高，可求体积解答：解：因为扇形弧长为2，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积v=122=故答案为：点评：本题考查圆锥的体积公式，考查学生空间想象能力，是基础题9过原点o作圆x2+y26x8y+20=0的两条切线，设切点分别为p、q，则线段pq的长为4考点：直线和圆的方程的应用 专题：压轴题；数形结合分析：如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos，二倍角公式求出cospo1q，三角形po1q中，用余弦定理求出|pq|解答：解：圆x2+y26x8y+20=0 可化为 （x3）2+（y4）2 =5，圆心（3，4）到原点的距离为5故cos=，cospo1q=2cos21=，|pq|2=（）2+（）2+2（）2=16|pq|=4故答案为：4点评：本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长10已知函数f（x）=+xln x，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：求函数的导数，利用导数的几何意义，求切线方程，解答：解：函数的导数为f（x）=1+lnx，f（1）=12=1，f（1）=2，即切点坐标为（1，2），切线方程为y2=（x1），即x+y3=0故答案为：x+y3=0点评：本题主要考查导数几何意义，以及导数的基本运算比较基础11在平行四边形abcd中，已知ab=2，ad=1，bad=60，e为cd的中点，则=考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：先根据两个向量的数量积的定义，求出的值，利用，=（ + ）（ ）= 进行运算求值解答：解：由题意得 =21cos60=1，=（ + ）（ ）=12=，故答案为：点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用12椭圆c：（ab0）的右焦点为f，直线y=x与椭圆c交于a、b两点，且afbf，则椭圆c的离心率为1考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由可解得点a、b坐标，进而得到向量的坐标，由afbf，得，把b2=a2c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围解答：解：由，得（3a2+b2）x2=a2b2，解得x=，分别代入y=x得y=，所以a（），b（），则，由afbf，得，即，即（*），把b2=a2c2代入（*）式并整理得4a2c2c4=4a2（a2c2），两边同除以a4并整理得e48e2+4=0，解得，所以e=1，故答案为：1点评：本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题13已知奇函数f（x）=5x+sinx+c，x（1，1），如果f（1x）+f（1x2）0，则实数x的取值范围为（1，）考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由于函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，求出c=0，再由导数判断f（x）在定义域内为单调递增函数，所以f（1x）+f（1x2）0f（1x）f（1x2），由奇函数和单调递增，进行求解即可解答：解：奇函数f（x）=5x+sinx+c，x（1，1），则f（0）=0，即有c=0，则f（x）=5x+sinx，f（1x）+f（1x2）0f（1x）f（1x2）=f（x21），又f（x）=5+cosx0，f（x）为增函数，11xx211，解得：x2且x1或x2且x，解得，1x故答案为：（1，）点评：此题考查了利用函数的单调性及奇偶性解不等式，还考查了运算能力及集合的交集14已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4考点：基本不等式；简单线性规划的应用 专题：计算题分析：首先分析题目由已知x0，y0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b2 代入已知条件，化简为函数求最值解答：解：考察基本不等式x+2y=8x（2y）8（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）320即（x+2y4）（x+2y+8）0，又x+2y0，所以x+2y4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意附加题部分：一、选做题，本题包括21、22、23、24四题，每题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选4-1：几何证明选讲21选修41：几何证明选讲如图，已知ab、cd是圆o的两条弦，且ab是线段cd的垂直平分线，已知，求线段ac的长度考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题分析：连接bc设ab，cd相交于点e，判断出ab是圆的直径设ae=x，则eb=6x，在直角三角形acb中，由射影定理得ce2=aeeb，得出关于x的方程并解出即可解答：解：连接bc设ab，cd相交于点e，设ae=x，ab是线段cd的垂直平分线，ab是圆的直径，acb=90则eb=6x，由射影定理得ce2=aeeb，即有x（6x）=5，解得x=1（舍）或x=5ac2=aeab=56=30，即点评：本题考查与圆有关的比例线段，要善于寻找有关线段的数量关系，结合相关性质、定理求解二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知，其中a，b，xr若满足，且f（x）的导函数f（x）的图象关于直线对称（）求a，b的值；（）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数恒成立问题；数量积的坐标表达式 专题：计算题分析：（i）由已知中，我们可以求出函数的解析式，及导函数的解析式（含参数a，b），结合已知中，导函数f（x）的图象关于直线对称，构造关于a，b的方程组，解方程组，即可求出a，b的值（ii）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，即f（x）=log2k有解，求出函数f（x）在区间上的值域b，再根据log2kb，构造关于k的对数方程，解方程即可求出答案解答：解：（）=由得，f（x）=asin2x+bcos2x，又f（x）的图象关于直线对称，即由、得，（）由（）得=，f（x）又f（x）+log2k=0有解，即f（x）=log2k有解，3log2k0，解得，即点评：本题考查的知识点是正弦型函数y=asin（x+）的解析式的求法，函数恒成立问题，数量积的坐标表达形式（1）的关键是根据已知条件，构造关于a，b的方程组，（2）的关键是求出函数f（x）在区间上的值域b16如图，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd=2ab，平面pad底面abcd，paade和f分别是cd和pc的中点，求证：（）pa底面abcd；（）be平面pad；（）平面bef平面pcd考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；立体几何分析：（）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得pa平面abcd（）根据已知条件判断abed为平行四边形，故有bead，再利用直线和平面平行的判定定理证得be平面pad（）先证明abed为矩形，可得becd 现证cd平面pad，可得cdpd，再由三角形中位线的性质可得efpd，从而证得 cdef 结合利用直线和平面垂直的判定定理证得cd平面bef，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面bef平面pcd解答：解：（）paad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，由平面和平面垂直的性质定理可得pa平面abcd（）abcd，abad，cd=2ab，e和f分别是cd和pc的中点，故四边形abed为平行四边形，故有bead又ad平面pad，be不在平面pad内，故有be平面pad（）平行四边形abed中，由abad可得，abed为矩形，故有becd 由pa平面abcd，可得paab，再由abad可得ab平面pad，cd平面pad，故有cdpd再由e、f分别为cd和pc的中点，可得efpd，cdef 而ef和be是平面bef内的两条相交直线，故有cd平面bef由于cd平面pcd，平面bef平面pcd点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题17如图，现要在边长为100m的正方形abcd内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均小于10m（1）求x的取值范围；（运算中取1.4）（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）根据题目中的不等关系列出关于x的不等式组，求解即可；（2）建立“环岛”的整体造价y与x的关系，然后利用导数求出y取最小值时x的取值即可解答：解：（1）由题意可知，解得，又由x210，解可得14x14，即9x14（2）记“环岛”的整体造价为y元则由题意得，=令，则=4x由f（x）=0得，x=10或x=15当x=10时，y取最小值答：当x=10m时，可使“环岛”的整体造价最低点评：本题主要考查不等关系列不等式，以及导数在函数最值问题中的应用属于中档题18（16分）已知c过点p（1，1），且与m：（x+2）2+（y+2）2=r2（r0）关于直线x+y+2=0对称（）求c的方程；（）设q为c上的一个动点，求的最小值；（）过点p作两条相异直线分别与c相交于a，b，且直线pa和直线pb的倾斜角互补，o为坐标原点，试判断直线op和ab是否平行？请说明理由考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：计算题；压轴题分析：（）设圆心的坐标，利用对称的特征：点与对称点连线的中点在对称轴上；点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于1，求出圆心坐标，又c过点p（1，1），可得半径，从而写出c方程（）设q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值（）设出直线pa和直线pb的方程，将它们分别与c的方程联立方程组，并化为关于x的一元二次方程，由x=1一定是该方程的解，可求得a，b的横坐标（用k表示的），化简直线ab的斜率，将此斜率与直线op的斜率作对比，得出结论解答：解：（）设圆心c（a，b），则，解得则圆c的方程为x2+y2=r2，将点p的坐标代入得r2=2，故圆c的方程为x2+y2=2（）设q（x，y），则x2+y2=2，=x2+y2+x+y4=x+y2，令x=cos，y=sin，=cos+sin2=2sin（+）2，（+）=2k时，2sin（+）=2，所以的最小值为22=4 （）由题意知，直线pa和直线pb的斜率存在，且互为相反数，故可设pa：y1=k（x1），pb：y1=k（x1），由，得（1+k2）x2+2k（1k）x+（1k）22=0因为点p的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得同理，所以=kop ，所以，直线ab和op一定平行点评：本题考查圆的标准方程的求法，两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用19（16分）已知数列an满足a1=2，前n项和为sn，（）若数列bn满足bn=a2n+a2n+1（n1），试求数列bn前n项和tn；（）若数列cn满足cn=a2n，试判断cn是否为等比数列，并说明理由；（）当时，问是否存在nn*，使得（s2n+110）c2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由考点：等比关系的确定；数列的求和 专题：计算题分析：（1）由已知中bn=a2n+a2n+1（n1），结合可得数列是一个等差数列，求出其通项公式后，进一步可得数列bn前n项和tn；（）当p=时，我们易得数列cn是一个等比数列，但是当时，数列cn不为等比数列，根据等比数列的定义，代入易验证结论（iii）根据（i）、（ii）的结论，我们可以根据（s2n+110）c2n=1，构造一个关于n的方程，利用导数法，我们可以求出方程的根，即可得到结论解答：解：（）据题意得bn=a2n+a2n+1=a2na2n22n=4n，所以bn成等差数列，故tn=2n22n（）当时，数列cn成等比数列；当时，数列cn不为等比数列理由如下：因为cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p（a2n4n）+2n=pcn4pn+2n，所以，故当时，数列cn是首项为1，公比为等比数列；当时，数列cn不成等比数列（）当时，因为s2n+1=a1+b1+b2+bn=2n22n+2（n1）（s2n+110）c2n=1，4n2+4n+16=4n，设f（x）=4x4x24x16（x2），则g（x）=f（x）=4xln48x4，g（x）=（ln4）24x80（x2），且g（2）=f（2）0，f（x）在，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系 专题：分类讨论；导数的综合应用分析：（1）f（x）在（1，+）上为减函数，等价于f（x）0在（1，+）上恒成立，进而转化为f（x）max0，根据二次函数的性质可得f（x）max；（2）命题“若x1，x2，使f（x1）f（x2）+a成立”等价于“当x时，有f（x）minf（x）max+a”，由（1）易求f（x）max+a，从而问题等价于“当x时，有f（x）min”，分a，a两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a时可求得f（x）的值域为，再按（i）a0，（ii）a0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+）上为减函数，故f（x）=a0在（1，+）上恒成立，又f（x）=a=+a=，故当，即x=e2时，所以0，于是a，故a的最小值为（2）命题“若x1，x2，使f（x1）f（x2）+a成立”等价于“当x时，有f（x）minf（x）max+a”，由（1），当x时，f（x）max=，所以f（x）max+a=，问题等价于：“当x时，有f（x）min”，当a时，由（1），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；当a时，由于在上为增函数，故f（x）的值域为，即（i）若a0，即a0，f（x）0在上恒成立，故f（x）在上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=eaee，不合题意；（ii）若a0，即0a，由f（x）的单调性和值域知，唯一，使f（x0）=0，且满足：当x（e，x0）时，f（x）0，f（x）为减函数；当x时，f（x）0，f（x）为增函数；所以，所以a，与0a矛盾，不合题意；综上，得a点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力选修42：矩阵与变换22已知矩阵m=的一个特征值是3，求直线x2y3=0在m作用下的直线方程考点：特征值、特征向量的应用 专题：计算题分析：根据矩阵m=的一个特征值是3可求出a的值，然后设直线x2y3=0上任意一点（x，y）在m作用下对应的点为（x，y），根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标用未知的坐标表示，代入已知直线的方程，得到结果解答：解：因为矩阵m=的一个特征值是3设f（）=（2）（a）1=0则（32）（a）1=0，解得a=2m=设直线x2y3=0上任意一点（x，y）在m作用下对应的点为（x，y），则有=，整理得即代入x2y3=0，整理得4x5y9=0故所求直线方程为4x5y9=0点评：本题主要考查了特征值、特征向量的应用以及矩阵的变换，是一个基础题，本题解题的关键是得到两个点的坐标之间的关系，注意数字的运算选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程是（是参数）若以o为极点、x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线c的极坐标方程考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程 专题：直线与圆分析：求得圆c的直角坐标方程为 x2+（y1）2=1，把x=cos y=sin 代入化简可得曲线c的极坐标方程解答：解：求得圆c的直角坐标方程为 x2+（y1）2=1，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆把x=cos y=sin 代入化简可得 （cos）2+（sin1）2=1，即 =2sin点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程，把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，属于基础题选修4-5：不等式选讲24已知关于x的不等式|ax1|+|axa|1的解集为r，求正实数a的取值范围考点：绝对值不等式 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：利用|ax1|+|axa|a1|1即可求得正实数a的取值范围解答：解：|ax1|+|axa|a1|，原不等式的解集为r等价于|a1|1，解得a2或a0又a0，a2，正实数a的取值范围为2，+）点评：本题考查绝对值不等式，|ax1|+|axa|a1|是转化的关键，考查运算能力，属于中档题第25题、第26题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25如图，在正四棱锥pabcd中，已知，点m为pa中点，求直线bm与平面pad所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角 专题：计算题；空间角分析：建立空间直角坐标系，求出平面pad