江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习 空间角的突破方略专题检测（含解析）.doc

30空间角的突破方略1(2014课标全国改编)直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为_答案解析方法一由于bca90，三棱柱为直三棱柱，且bccacc1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得a(0,0,0)，b(2,2,0)，m(1,1,2)，n(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)cos，.方法二如图(2)，取bc的中点d，连结mn，nd，ad，由于mn綊b1c1綊bd，因此有nd綊bm，则nd与na所成的角即为异面直线bm与an所成的角设bc2，则bmnd，an，ad，因此cosand.2在正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd所成的角的正弦值是_答案解析建立空间直角坐标系如图所示设正方体的棱长为1，直线bc1与平面a1bd所成的角为，则d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面a1bd的一个法向量，则令z1，则x1，y1.n(1,1,1)，sin |cosn，|.3如图，过正方形abcd的顶点a，引pa平面abcd.若paba，则平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是_答案45解析如图，取pd中点e，连结ae，则ae平面pcd，故二面角的平面角ape45.4.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，aa12，acbc1，则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是_答案解析以c为坐标原点，ca、cb、cc1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，a1(1,0,2)，b(0,1,0)，a(1，0,0)，c(0,0,0)，则(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.5在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd平面abcd，abpda.点e为侧棱pc的中点，又作dfpb交pb于点f，则pb与平面efd所成角为_答案90解析建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，d为坐标原点，则p(0,0，a)，b(a，a,0)，e(0，)故(a，a，a)，所以00，所以pbde，由已知dfpb，且dfded，所以pb平面efd，所以pb与平面efd所成角为90.6在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中点，e，f分别是cc1，ad的中点，那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于_答案解析以d为原点，分别以da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，f(1,0,0)，d1(0,0,2)，o(1,1,0)，e(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.7如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_答案60解析以bc，ba，bb1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，ef和bc1所成的角为60.8(2014苏州调研)在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，则d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系dxyz，则d1(0,0,1)，c1(0,2,1)，a1(1,0,1)，b(1,2,0)，所以(0,2,0)，(1,2,0)，(0,2，1)，设平面a1bc1的一个法向量为n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，设d1c1与平面a1bc1所成角为，则sin |cos，n|.9.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是棱cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成角的大小是_答案90解析方法一连结md1，易证dd1mcdn，则ndmdd1m，ndmd1mddd1md1md90，即dnd1m，又a1d1平面dc1，a1d1dn，dn平面a1d1m.a1m平面a1d1m，a1mdn.即a1m与dn所成的角为90.方法二(空间向量法)以d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x，y，z轴，设正方体边长为2，则d(0,0,0)，n(0,2,1)，m(0,1,0)，a1(2,0,2)，(0,2,1)，(2，1,2)，cos，0，a1m与dn的夹角为90.10正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_答案30解析如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面pac的一个法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.11如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc90，平面pad底面abcd，e为ad的中点，m是棱pc的中点，papd2，bcad1，cd.(1)求证：pe平面abcd；(2)求直线bm与平面abcd所成角的正切值；(3)求直线bm与cd所成角的余弦值(1)证明因为papd，e为ad的中点，所以pead.又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，所以pe平面abcd.(2)解连结ec，设ec的中点为h，连结mh，hb，如图因为m是pc的中点，h是ec的中点，所以mhpe.由(1)，知pe平面abcd，所以mh平面abcd，所以hb是bm在平面abcd内的射影所以mbh为直线bm与平面abcd所成的角因为adbc，bcad，e为ad的中点，adc90，所以四边形bcde为矩形，所以ec2，hbec1.又mhpe，所以在mhb中，tanmbh.所以直线bm与平面abcd所成角的正切值为.(3)解由(2)，知cdbe，所以直线bm与cd所成角为直线bm与be的夹角连结me，在rtmhe中，me，同理求得bm，又becd，所以在meb中，cosmbe，所以直线bm与cd所成角的余弦值为.12.在如图所示的几何体中，四边形abcd是菱形，adnm是矩形，平面adnm平面abcd，dab60，ad2，am1，e是ab的中点(1)求证：an平面mec；(2)在线段am上是否存在点p，使二面角pecd的大小为？若存在，求出ap的长；若不存在，请说明理由(1)证明由已知，mnadbc，连结bn，设cm与bn交于f，连结ef，如图所示又mnadbc，所以四边形bcnm是平行四边形，f是bn的中点又e是ab的中点，所以anef.因为ef平面mec，an平面mec，所以an平面mec.(2)解如图所示，假设在线段am上存在点p，使二面角pecd的大小为.延长da，ce交于点q，过a作aheq于h，连结ph.因为四边形adnm是矩形，平面adnm平面abcd，所以ma平面abcd，又