江苏省金湖县实验中学八年级数学上册《平行四边形（复习）》教案.doc

平行四边形【学习内容】一. 知识结构： 二. 具体知识点的梳理： 1. 平行四边形： （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）性质： 平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。 平行四边形的对角线互相平分。 （3）识别方法： 用定义识别。（从边看） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（从边看） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（从边看） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（从角看） 对角线互相平分的四边形是平行四边形。（从对角线看） （4）平行四边形的知识运用包括三个方面： 直接用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段、证明角相等、互补、证明线段相等或倍分。 判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行。 先判定一个四边形是平行四边形，再用平行四边形的性质去解决某问题。 2. 矩形： （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）性质： 矩形的四个内角都是直角。 矩形的对角线相等且互相平分。 除上面两条以外，它还有平行四边形的一切性质。 （3）矩形的识别方法： 有一个角是直角的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 有三个角是直角的四边形。 3. 菱形： （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）性质： 菱形的四条边都相等。 菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。 菱形的面积底高对角线乘积的一半。 它还拥有平行四边形的一切性质。 （3）判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四边都相等的四边形是菱形。 4. 正方形： （1）定义： 有一个角是直角的菱形是正方形。 有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）性质： 它拥有四边形、平行四边形、菱形、矩形的一切性质。 正方形的一条对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形。 两条对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。 （3）判定方法： 一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形。 一组邻边相等的矩形是正方形。 一个角是直角的菱形是正方形。 既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 4. 梯形 （1）定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。 （2）等腰梯形的性质： 等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。【典型例题】 例1. 如图1，在平行四边形abcd中，对角线ac21cm，beac，垂足为e，且be5cm，ad7cm，试求ad与bc之间的距离。 分析：此题看似无法求解，但注意观察告知ad之长，又求ad与bc之间距离，而adad与bc间的距离s平行四边形abcd，因而我们可以想到用面积法求解。只需找到平行四边形的另外一种面积表示方法即可。 解： 例2. 如图2，在平行四边形abcd中，aebd于e，cfbd于f，四边形aecf是平行四边形吗？ 分析：这里aebd，cfbd，可知ae/cf，但要说明四边形aecf是平行四边形，还需aecf。 解：四边形aecf是平行四边形，因为 aecf 刚才已证明ae/cf 故四边形aecf是平行四边形。 例3. 如图3，在平行四边形abcd中对角线ac、bd相交于点o，m、n、p、q分别是oa、ob、oc、od的中点，试说明四边形mnpq是平行四边形。 分析：此题中中点较多，而且还与角平分线有关，故可以思考从角平分线互相平分的角度入手进行说明。 解：在平行四边形abcd中，db、ac是对角线，而m、n、p、q分别是oa、ob、oc、od的中点 同理oqon 即在四边形mnpq中，其对角线互相平分，因此四边形pqmn是平行四边形。 例4. 如图4，d、e、f分别在三角形abc的边bc、ab、ac上，且de/af，deaf，g在fd的延长线上，dgdf，试说明ag和ed互相平分。 分析：要说明两条线段互相平分，最好的方法之一是说明这两条线段为一个平行四边形的对角线，从而将问题转化为平行四边形的识别问题了。 解： 故四边形deaf是平行四边形 所以ae/df，aedf 又dgdf，故aedg 而ae/df，故ae/dg 所以四边形aedg是平行四边形 故其对角线ed、ag互相平分。 例5. 如图5，在平行四边形abcd中，ab2bc，m为ab的中点，说明cmdm。 分析：dmcm，直接证明较有困难，但观察题目中有ab2bc，m是中点，可使我们想到过m作mn/ad，从而得到菱形，从菱形的对角线垂直入手。 解：过m作mn/ad交dc于n，连结an 故四边形amnd是菱形，于是an与dm是互相垂直的。 又由于nc/am，ncam 故四边形ncam是平行四边形 于是mc/an 例6. 已知：如图6，mn/pq，同旁内角的平分线ab、cb和ad、cd分别相交于点b、d，猜想ac和bd之间的关系，为什么？ 分析：初从图形看，ac可能与bd相等，而题目中有很多的角平分线，故可以得到很多的垂直关系，故可以想象从证明四边形是矩形，从矩形入手。 解： 于是四边形abcd是矩形，ac和bd相等。 例7. 如图7，在abc中，acb90，bac，abc的平分线相交于点o，odac，oebc，垂足分别为d、e，试说明四边形cdoe为正方形。 分析：先说明四边形是矩形，由于角平分线较多，且有距离，故可知用角平分线的性质即可求解。 解： 故四边形odec是矩形 于是odof，ofoe（角平分线上的点到角两边距离相等） odoe 于是四边形odec是正方形 例8. 如图8，梯形abcd，e为一腰ab的中点，ad/bc，dece，试说明cdbcad。 分析：梯形abcd，e为一腰ab的中点，将aed绕点e旋转到bef的位置，拼成dfc把问题转化于三角形中解决。 解： 故efed，adbf 故cdcf 而cffbcbadbc 故cdadbc 本课小结： 1. 本课详细整理了几个特殊图形及平行四边形的性质，并且还将其识别方法罗列出来，请同学们在做题时针对不同的题目作恰当的选择。 2. 在图形的性质和图形的识别中，要注意清楚逻辑关系，不要在进行识别时用了图形的性质。 3. 本课有的例题中引了辅助线，辅助线的作法有多种，只要能帮助解决问题，而且能迅速解决问题，都是最好的方法。【模拟试题】 1. 如图，平行四边形abcd中，e在ac上，ae2ec，f在ab上，bf2af，如果，则的面积是？ 2. 如图，在平行四边形abcd中，g是cd上一点，bg交ad的延长线于点e，afcg，。 （1）试说明dfbg。 （2）求的度数。 3. 如图，平行四边形abcd中，ae、bf分别平分，试确定四边形abef是菱形。 4. 如图，将平行四边形abcd沿ac折叠，点b落在处，交dc于点m，求证：折叠后重合的部分是等腰三角形。 5. 如图，矩形abcd中，垂足为m，an平分，交mc的延长线于点e，请问acce吗？为什么？【试题答案】 1. 解： 2. 解：（1）在平行四边形abcd中，dc/ab，dcab 又gcaf 故四边形dgb