江苏省镇江市外国语学校高二数学上学期期初试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省镇江市外国语学校高二（上）期初数学试卷一填空题：（共14小题，每题5分，共70分）1过点（2，3），且斜率为2的直线l的截距式方程为2设是两个不共线的向量，实数x，y满足，则x+y=3已知平面向量，若，则x=4设向量与的夹角为，且，则cos=5求值=6函数f（x）=cos2xcosx+1在上的值域为7在abc中，a=6，b=7，c=8，则abc的面积等于8点p（2，1）关于直线x+y3=0对称点的坐标是9已知an为等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那a3+a5=10等差数列an中，a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于11数列an满足a1+a2+an=2n+5，nn*，则an=12x+3y2=0，则3x+27y+1的最小值为13若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为14与x轴切于负半轴，圆心在直线y=3x上，且被直线xy=0截得的弦长为的圆的方程为二解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且与共线，求2sin（+b）4cos（b）的值16在直角坐标系中，已知射线oa：xy=0（x0），ob：x+y=0（x0），过点p（1，0）作直线分别交射线oa，ob于点a，b（1）当ab中点为p时，求直线ab的方程；（2）当ab中点在直线x2y=0上时，求直线ab的方程17已知等比数列an的前项和为sn=+b，且a1=1（1）求a，b的值及数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和tn18某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？19在直角坐标系xoy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于a，b两点，aob的内切圆为m（1）如果m半径为1，l与m切于点，求直线l的方程；（2）如果m半径为1，证明当aob的面积、周长最小时，此时aob为同一三角形；（3）如果l的方程为，p为m上任一点，求pa2+pb2+po2的最值20设数列an的前n项和为sn已知a1=a，an+1=sn+3n，nn*由（）设bn=sn3n，求数列bn的通项公式；（）若an+1an，nn*，求a的取值范围2015-2016学年江苏省镇江市外国语学校高二（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一填空题：（共14小题，每题5分，共70分）1过点（2，3），且斜率为2的直线l的截距式方程为+=1【考点】直线的截距式方程【专题】直线与圆【分析】利用点斜式写出直线的方程，再化为截距式方程即可【解答】解：过点（2，3）且斜率为2的直线方程为：y3=2（x2），整理，得2xy=1，它的截距式方程为+=1故答案为： +=1【点评】本题考查了直线方程的求法问题，解题时应化成截距式方程，是基础题目2设是两个不共线的向量，实数x，y满足，则x+y=9【考点】向量加减混合运算及其几何意义【专题】平面向量及应用【分析】根据两向量相等，对应的系数相等，列出方程组，求出x、y的值即可【解答】解：根据向量相等的定义，得，解得x=6，y=3；x+y=9故答案为：9【点评】本题考查了平面向量的相等的概念与应用问题，是基础题目3已知平面向量，若，则x=1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】利用向量垂直数量积为0的性质求解【解答】解：平面向量，=（1，2x）（3，x）=3+（2x）x=0，解得x=3或x=1x0，x=1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意向量的坐标运算及向量垂直的性质的合理运用4设向量与的夹角为，且，则cos=【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【分析】先求出，然后用数量积求解即可【解答】解：设向量与的夹角为，且，则cos=故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积，是基础题5求值=【考点】两角和与差的余弦函数【专题】计算题【分析】把所求式子提取2后，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把原式化为一个角的正弦函数，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果【解答】解： =2（cos15+sin15）=2sin（30+15）=2sin45=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，原式提取2是本题的突破点，熟练运用公式，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键6函数f（x）=cos2xcosx+1在上的值域为【考点】三角函数的最值【专题】三角函数的求值【分析】利用余弦的倍角公式，将函数转化，利用二次函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：y=cos2x2cosx+1=2cos2x2cosx=2（cosx）2，x，cosx当cosx=时，y取得最小值，当cosx=时，y取得最大值，故y，即函数的值域为，故答案为：【点评】本题主要考查函数的值域的计算，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，本题也可以使用换元法7在abc中，a=6，b=7，c=8，则abc的面积等于【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】根据已知，由余弦定理可得cosa的值，从而可求sina的值，代入三角形面积公式即可得解【解答】解：由余弦定理可得：cosa=，sina=，sabc=bcsina=故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数关系式，三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于基础题8点p（2，1）关于直线x+y3=0对称点的坐标是（2，5）【考点】两点间距离公式的应用【专题】直线与圆【分析】设出对称点的坐标，利用点的对称的关系建立方程关系进行求解即可【解答】解：设对称点的坐标为（x，y），则满足，即，解得，即对称点的坐标为（2，5），故答案为：（2，5）【点评】本题主要考查点的对称的应用，根据对称关系建立方程是解决本题的关键9已知an为等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那a3+a5=5【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的性质分别把a2a4和a4a6转化为和，化为完全平方式后再由等比数列的各项为负值求a3+a5【解答】解：因为an为等比数列，所以，则a2a4+2a3a5+a4a6=，又an0，所以a3+a5=5故答案为5【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题10等差数列an中，a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于180【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】由a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，由等差数列的性质可得a1+a20=18，再由前n项和公式求解【解答】解：由a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，得得a1+a20=18所以s20=180故答案为：180【点评】本题主要考查等差数列中项性质的推广及前n项和公式11数列an满足a1+a2+an=2n+5，nn*，则an=【考点】数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】利用递推公式即可求解【解答】解：当n=1时，可得，即a1=14当n2时，两式相减可得，当n=1时，a1=14不适合上式故故答案为：【点评】本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，要注意对n=1的检验12x+3y2=0，则3x+27y+1的最小值为7【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】将x用y表示出来，代入，化简整理后用基本不等式求最小值【解答】解：由x+3y2=0得x=23y代入3x+27y+1=323y+27y+1=+27y+17当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故应填7【点评】考查基本不等式求最值，本题 要通过观察将其转化为积为最值 的形式，才可求最小值13若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为0，）【考点】直线的倾斜角【专题】直线与圆【分析】由直线的斜率范围，得到倾斜角的正切值的范围，利用正切函数的单调性并结合倾斜角的范围，最后确定倾斜角的具体范围【解答】解：设直线的倾斜角为，则0，），由1k，即1tan，当0tan，时，0，；当1tan0时，），0，）；故答案为0，）【点评】本题考查倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的范围，正切函数在0，）、（，）上都是单调增函数14与x轴切于负半轴，圆心在直线y=3x上，且被直线xy=0截得的弦长为的圆的方程为（x+1）2+（y+3）2=9【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】根据题意，设圆心为c（a，b），算出点c到直线xy=0的距离，根据垂径定理建立方程，由于所求的圆与x轴相切，所以r2=b2，又因为所求圆心在直线3xy=0上，则3ab=0，即可得到所求圆的方程【解答】解：设所求的圆的方程是（xa）2+（yb）2=r2，则圆心（a，b）到直线xy=0的距离为，所以（）2+7=r2，即2r2=（ab）2+14由于所求的圆与x轴相切，所以r2=b2又因为所求圆心在直线3xy=0上，则3ab=0联立，解得a=1，b=3，r2=9或a=1，b=3，r2=9因为与x轴切于负半轴，所有所求的圆的方程是（x+1）2+（y+3）2=9故答案为：（x+1）2+（y+3）2=9【点评】本题给出圆满足的条件，求圆的方程着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题二解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且与共线，求2sin（+b）4cos（b）的值【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】平面向量及应用【分析】利用向量共线定理、余弦定理即可得出【解答】解：与共线，c（ac）（ab）（a+b）=0，化为a2+c2b2=ac，由余弦定理可得：cosb=，b（0，），2sin（+b）4cos（b）=2sinb4cosb=4=2【点评】本题考查了向量共线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16在直角坐标系中，已知射线oa：xy=0（x0），ob：x+y=0（x0），过点p（1，0）作直线分别交射线oa，ob于点a，b（1）当ab中点为p时，求直线ab的方程；（2）当ab中点在直线x2y=0上时，求直线ab的方程【考点】待定系数法求直线方程【专题】综合题；直线与圆【分析】（1）根据a在射线oa上，设a（a，a），根据p为线段ab中点，利用中点坐标公式变形出b坐标，代入射线ob解析式求出a的值，确定出a与b坐标，即可求出直线ab解析式；（2）求出ab的中点坐标为（，），由ab的中点在直线x2y=0上，得2=0，由此能求出直线ab的方程【解答】解：（1）设a（a，a），a、b的中点为p，b（2a，a），将b代入射线ob解析式得：（2a）+3（a）=0，解得：a=1，a（1，1），b（3，1），则直线ab为y=（1）（x1）；（2）设直线ab的方程为：y=k（x1），设a（x1，y1），b（x2，y2），由，得，由，得，ab的中点坐标为（，），ab的中点在直线x2y=0上，2=0，解得k=，直线ab的方程为：3x（3）y3=0【点评】此题考查了点到直线的距离公式，线段中点坐标公式，以及两直线的交点坐标，熟练掌握公式是解本题的关键17已知等比数列an的前项和为sn=+b，且a1=1（1）求a，b的值及数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由题意可得b+a=1，a+b=0，再由等比数列的通项公式，即可得到；（2）求出bn=n2n1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到【解答】解：（1）由sn=+b，且a1=1，可得b+a=1，a+b=0，解得a=2，b=2，即有an=a1qn1=；（2）bn=n2n1，即有前n项和tn=1+22+322+423+n2n1，2tn=2+222+323+424+n2n，得：tn=1+2+22+23+2n1n2n=n2n，tn=（n1）2n+1【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题18某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用；等差数列的前n项和【专题】计算题；应用题【分析】（1）由已知中某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万，根据总盈利=总收入总投入，结合等差数列的前n项和公式，即可得到总盈利y关于年数n的函数表达式进而根据二次函数的性质，得到结论（2）根据（1）中总盈利y关于年数n的函数表达式，根据年平均利润为，结合基本不等式，即可得到年平均利润最大值，及对应的时间【解答】解：（1）设船捕捞n年后的总盈利为y万元，则y=50n9812n+4=2（n10）2+102所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元（2）年平均利润为=2（n+）+4028+40=12当且仅当n=，即n=7时，上式取等号所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式在最值问题中的应用，等差数列的前n项和，其中熟练掌握二次函数的性质，基本不等式等是解答函数最值类问题的关键19在直角坐标系xoy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于a，b两点，aob的内切圆为m（1）如果m半径为1，l与m切于点，求直线l的方程；（2）如果m半径为1，证明当aob的面积、周长最小时，此时aob为同一三角形；（3）如果l的方程为，p为m上任一点，求pa2+pb2+po2的最值【考点】直线和圆的方程的应用；圆的切线方程【专题】计算题【分析】（1）先求得圆心与切点连线的斜率再由两者互为负倒数求得进而求得直线l的方程；（2）设a（a，0），b（0，b），（a2，b2），直线ab的方程为：bx+ayab=0圆心到该直线的距离为，整理得（a2）（b2）=2，有ab2（a+b）+2=0，再由基本不等式得，三角形面积，周长取得最值的条件一致所以aob为同一三角形（3）l的方程为，解得，p（m，n）为圆上任一点， =又因为（m1）2+（n1）2=1，m2+n2=2（m+n）1，所以代入上式求解即可【解答】解：（1），（2）设a（a，0），b（0，b），（a2，b2），l：bx+ayab=0.，（a2）（b2）=2，ab2（a+b）+2=0，当且仅