江苏省镇江市丹阳高中高二数学上学期期中试卷（实验班含解析）.doc

2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二（上）期中数学试卷（实验班）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合a=1，0，1，b=0，1，2，则ab=2若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为3函数f（x）=12sin2x的最小正周期为4已知向量与的夹角是120，且满足，则|=5直线ax+2y+6=0与直线x+（a1）y+（a21）=0平行，则a=6下列说法正确的序号有（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合（2）m，n为异面直线，过空间任意一点p，一定能作一条直线l与m，n都垂直（3）m，n为异面直线，过空间任意一点p，一定能作一条直线l与m，n都相交（4）m，n为异面直线，过空间任意一点p，一定存在与直线m，n都平行的平面7已知函数f（x）=mx2+lnx2x在定义域内是增函数，则实数m范围为8若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项，则称此圆锥为“完美圆锥”，已知一完美圆锥的侧面积为2，则这个圆锥的高为9已知方程cos2x+4sinxa=0有解，则a的取值范围是10已知椭圆的左焦点为f，c与过原点的直线相交于a，b两点，连接af、bf，若|ab|=10，|af|=6，cosabf=，则c的离心率e=11等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为sn，若log3an（s4m+1）=9，则+的最小值是12已知圆c：（x3）2+（y4）2=1和两点a（m，0），b（m，0）（m0），若圆c上存在点p，使得apb=90，则m的取值范围是13已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x1，3时，f（x）=lnx，若在区间，3内，函数g（x）=f（x）ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是14若实数a0，b1且，则2a+2b+1的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在直角坐标系xoy中，以原点o为圆心作一个单位圆，角和角的终边与单位圆分别交于a、b两点，且|=若0，0，sin=（1）求aob的面积；（2）求sin的值16已知四棱锥sabcd的底面abcd是边长为2的正方形，侧面sab是等边三角形，侧面scd是以cd为斜边的直角三角形，e为cd的中点，m为sb的中点（1）求证：cm平面sae；（2）求证：se平面sab；（3）求三棱锥saed的体积17（文科）已知数列an的前n项的和为sn，点p（n，sn）（nn*）在函数f（x）=x2+7x的图象上（）求数列an的通项公式及sn的最大值；（）令bn=（nn*），求数列nbn的前n项的和tn；（）设cn=，数列cn的前n项的和为rn，求使不等式rn对一切nn*都成立的最大正整数k的值18为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽19椭圆=1（ab0）的离心率为，左焦点f到右准线l的距离为10，圆g：（x1）2+y2=1（1）求椭圆的方程；（2）若p是椭圆上任意一点，过点p作圆g的切线，切点为q，过点p作右准线l的垂线，垂足为h，求的取值范围；（3）是否存在以椭圆上的点m为圆心的圆m，使得过圆m上任意一点n作圆g的切线（切点为t）都满足？若存在，请求出圆m的方程；若不存在，请说明理由20已知函数f（x）=lnx+a（x1）2，其中ar（1）若f（x）在x=e处的切线斜率为1，求a；（2）若a0，g（x）=f（x）x+1，求g（x）在区间1，2的最小值；（3）令h（x）=f（x）ax2，对y=h（x）上任意不同的两点，a（x1，y1），b（x2，y2）直线ab的斜率为k，若x1+x2+k0恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二（上）期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合a=1，0，1，b=0，1，2，则ab=0，1【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】利用交集的性质求解【解答】解：集合a=1，0，1，b=0，1，2，ab=0，1故答案为：0，1【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用2若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】因x21得x1或x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知“xa”可以推出“x21”，反之不成立由此可求出a的最大值【解答】解：因x21得x1或x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知“xa”可以推出“x21”，反之不成立则a的最大值为1故答案为1【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答3函数f（x）=12sin2x的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦【专题】计算题【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期【解答】解：f（x）=12sin2x=cos2x函数最小正周期t=故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法考查了三角函数的基础的知识的应用4已知向量与的夹角是120，且满足，则|=2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】向量法；平面向量及应用【分析】由题意可得向量的模长，由夹角公式可得【解答】解：向量与的夹角是120，且满足，|=，又，|cos120=，解得|=2故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积和夹角，属基础题5直线ax+2y+6=0与直线x+（a1）y+（a21）=0平行，则a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】计算题【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得a的值【解答】解：直线ax+2y+6=0与直线x+（a1）y+（a21）=0平行，解得 a=1，故答案为1【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题6下列说法正确的序号有（2）（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合（2）m，n为异面直线，过空间任意一点p，一定能作一条直线l与m，n都垂直（3）m，n为异面直线，过空间任意一点p，一定能作一条直线l与m，n都相交（4）m，n为异面直线，过空间任意一点p，一定存在与直线m，n都平行的平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】在（1）中，如果两个平面有共线的三个公共点，则这两个平面相交；在（2）中，一定能作一条且只能作一条直线l与m，n都垂直；在（3）和（4）举出反例，能得到（3）和（4）都不正确【解答】解：（1）如果两个平面有不共线的三个公共点，则这两个平面重合，故（1）错误（2）m，n为异面直线，过空间任意一点p，一定能作一条且只能作一条直线l与m，n都垂直，故（2）正确（3）过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点p在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论，故（3）错误；（4）过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点p在这个与直线n平行的平面内时，不满足结论，故（4）错误故答案为：（2）【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用7已知函数f（x）=mx2+lnx2x在定义域内是增函数，则实数m范围为【考点】函数单调性的性质【专题】计算题【分析】求出f（x）=2mx+2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f（x）大于等于0，分离参数求最值，即可得到m的范围【解答】解：求导函数，可得f（x）=2mx+2，x0，函数f（x）=mx2+lnx2x在定义域内是增函数，所以f（x）0成立，所以2mx+20，x0时恒成立，所以，所以2m1所以m时，函数f（x）在定义域内是增函数故答案为【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题8若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项，则称此圆锥为“完美圆锥”，已知一完美圆锥的侧面积为2，则这个圆锥的高为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题；函数思想；待定系数法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】设出圆锥的底面半径高、母线，由题意列出关系，求出圆锥的高即可【解答】解：设出圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，由题意可知：h2=lr，并且2rl=2，h2=2，h=，故答案为：【点评】本题考查旋转体的侧面积，等比中项的知识，是基础题9已知方程cos2x+4sinxa=0有解，则a的取值范围是4，4【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】已知方程利用同角三角函数间基本关系化简表示出a，根据方程有解，利用二次函数的性质即可确定出a的范围【解答】解：方程cos2x+4sinxa=0，变形得：1sin2x+4sinxa=0，即a=sin2x+4sinx+1=（sinx2）2+5，1sinx1，4（sinx2）2+54，则a的取值范围为4，4故答案为：4，4【点评】此题考查了的同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键10已知椭圆的左焦点为f，c与过原点的直线相交于a，b两点，连接af、bf，若|ab|=10，|af|=6，cosabf=，则c的离心率e=【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆右焦点为f，连接af、bf，可得四边形afbf为平行四边形，得|af|=|bf|=6abf中利用余弦定理算出|bf|=8，从而得到|af|2+|bf|2=|ab|2，得afb=90，所以c=|of|=|ab|=5根据椭圆的定义得到2a=|bf|+|bf|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆c的离心率【解答】解：设椭圆的右焦点为f，连接af、bfab与ff互相平分，四边形afbf为平行四边形，可得|af|=|bf|=6abf中，|ab|=10，|af|=6，cosabf=，由余弦定理|af|2=|ab|2+|bf|22|ab|bf|cosabf，可得62=102+|bf|2210|bf|，解之得|bf|=8由此可得，2a=|bf|+|bf|=14，得a=7abf中，|af|2+|bf|2=100=|ab|2afb=90，可得|of|=|ab|=5，即c=5因此，椭圆c的离心率e=故答案为：【点评】本题给出椭圆经过中心的弦ab与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题11等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为sn，若log3an（s4m+1）=9，则+的最小值是2.5【考点】等比数列的通项公式；基本不等式【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】根据等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为sn，可得an=23n1；sn=3n1，由log3an（s4m+1）=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论【解答】解：等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为sn，an=23n1；sn=3n1，log3an（s4m+1）=9，（n1）+4m=9，n+4m=10，+=（n+4m）（+）=（17+）（17+8）=2.5，当且仅当m=n=2时取等号，+的最小值是2.5故答案为：2.5【点评】本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=3，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键，属于中档题12已知圆c：（x3）2+（y4）2=1和两点a（m，0），b（m，0）（m0），若圆c上存在点p，使得apb=90，则m的取值范围是4，6【考点】圆的标准方程【专题】计算题；直线与圆【分析】c：（x3）2+（y4）2=1的圆心c（3，4），半径r=1，设p（a，b）在圆c上，则=（a+m，b），=（am，b），由已知得m2=a2+b2=|op|2，m的最值即为|op|的最值【解答】解：圆c：（x3）2+（y4）2=1的圆心c（3，4），半径r=1，设p（a，b）在圆c上，则=（a+m，b），=（am，b），apb=90，=（a+m）（am）+b2=0，m2=a2+b2=|op|2，m的最大值即为|op|的最大值，等于|oc|+r=5+1=6最小值为51=4，m的取值范围是4，6故答案为：4，6【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用13已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x1，3时，f（x）=lnx，若在区间，3内，函数g（x）=f（x）ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是，）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】根据已知即可求得f（x）在，1上的解析式为f（x）=lnx，从而可画出f（x）在上的图象，而容易知道g（x）与x轴交点个数便是y=f（x）与y=ax交点个数通过图象可以看出直线y=ax在其与f（x）=lnx的切点和曲线y=f（x）的右端点之间，从而分别求出相切时a的值和经过右端点时a的值即可【解答】解：设x，则1，3；根据条件；g（x）与x轴有三个不同的交点即表示函数y=f（x）和函数y=ax有三个不同交点，如图所示：由图可看出当直线y=ax与曲线f（x）=lnx，x1，3，相切时直线y=ax和曲线y=f（x）有两个公共点；若直线y=ax再向下旋转便有三个交点，直到y=ax经过曲线y=f（x）的右端点，再向下旋转便成了两个交点；设切点为（x0，lnx0），又，；此时lnx0=1，x0=e；此时a=；y=f（x）的右端点坐标为（3，ln3）；直线y=ax经过右端点时，a=；实数a的取值范围是故答案为：）【点评】考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系14若实数a0，b1且，则2a+2b+1的取值范围为7，9【考点】有理数指数幂的化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由已知得（2a1）2=2b（42b）0，从而得到1b2，由此能求出2a+2b+1的取值范围【解答】解：实数a0，b1且，（2a）2+（2b）2=22a+42b1，（2a1）2=2b（42b）0，42b0，解得1b2，42b+18，（2a1）2=2b（42b）0，b=1时，2a=3，2a+2b+1=7，b=2时，2a=1，2a+2b+1=9，72a+2b+19，2a+2b+1的取值范围为7，9故答案为：7，9【点评】本题考查有理数指数幂代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的运算法则的合理运用二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在直角坐标系xoy中，以原点o为圆心作一个单位圆，角和角的终边与单位圆分别交于a、b两点，且|=若0，0，sin=（1）求aob的面积；（2）求sin的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形；平面向量及应用【分析】（1）根据题意设出，利用向量法则根据表示出，利用向量模的定义列出关系式，整理后利用两角和与差的余弦函数公式即可求出cos（）的值，由与的范围求出的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（），由三角形面积公式即可得解（2）可先求cos的值，所求式子变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）根据题意设=（cos，sin），=（cos，sin），=（coscos，sinsin），|2=（coscos）2+（sinsin）2=，即22（coscos+sinsin）=，cos（）=coscos+sinsin=；0，0，0，sinaob=sin（）=，又|oa|=1，|ob|=1，saob=|oa|ob|sinaob=（2）sin=，cos=，则sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，考查了平面向量的运算，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题16已知四棱锥sabcd的底面abcd是边长为2的正方形，侧面sab是等边三角形，侧面scd是以cd为斜边的直角三角形，e为cd的中点，m为sb的中点（1）求证：cm平面sae；（2）求证：se平面sab；（3）求三棱锥saed的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离【分析】（1）取sa的中点n，连接mnasb中利用中位线定理，证出mnab且mn=ab，而正方形abcd中e为cd中点，可得ceab且ce=ab，从而得到cenm为平行四边形，得cmen最后用线面平行的判定定理，即可证出cm平面sae；（2）rtscd中，e为斜边中点，可得se=cd=1esa中算出se2+sa2=5=ae2，从而得到essa，同理esb中证出essb，结合sa、sb是平面sab内的相交直线，可证出se平面sab（3）根据正方形的性质可得saed=sabe，从而得到vsaed=vsaeb=vesab，由（2）得se是三棱锥esab的高，从而算出vesab=，由此即可得到vsaed=vesab=【解答】解：（1）取sa的中点n，连接mn，enm为sb的中点，n为sa的中点，mnab，且mn=ab，又e是cd的中点，ceab，且ce=ab，mnce，且mn=ce，四边形cenm为平行四边形，cmen，又en平面sae，cm平面sae，cm平面sae（2）侧面scd为直角三角形，csd=90，e为cd的中点，se=cd=1，又sa=ab=2，ae=，se2+sa2=5=ae2，可得essa，同理可证essb，sasb=s，sa、sb平面sab，se平面sab（3）根据题意，得vsaed=vsaeb=vesab，se平面sab，可得se是三棱锥esab的高vesab=ssabse=因此，三棱锥saed的体积为vsaed=vesab=【点评】本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题17（文科）已知数列an的前n项的和为sn，点p（n，sn）（nn*）在函数f（x）=x2+7x的图象上（）求数列an的通项公式及sn的最大值；（）令bn=（nn*），求数列nbn的前n项的和tn；（）设cn=，数列cn的前n项的和为rn，求使不等式rn对一切nn*都成立的最大正整数k的值【考点】数列的求和；数列的函数特性【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由于点p（n，sn）（nn）在函数f（x）=x2+7x的图象上可得sn利用当n2时，an=snsn1，当n=1时，a1=s1，即可得出an再利用二次函数的单调性即可得出sn的最值；（2）利用“错位相减法”即可得出；（3）利用“裂项求和”得出rn，求出其最小值即可【解答】解：（1）点p（n，sn）（nn）在函数f（x）=x2+7x的图象上，当n2时，an=snsn1=2n+8当n=1时，a1=s1=6满足上式，an=2n+8又=，且nn*当n=3或4时，sn取得最大值12（2）由题意知数列nbn的前n项的和为，相减得，（3）由（1）得=易知rn在nn*上单调递增，rn的最小值为不等式对一切nn*都成立，则，即k19所以最大正整数k的值为18【点评】本题考查了利用“当n2时，an=snsn1，当n=1时，a1=s1”得出an、二次函数的单调性、“错位相减法”、“裂项求和”、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题18为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽【考点】函数最值的应用【专题】应用题；导数的综合应用【分析】（1）建立坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p0）由已知点p（2，2）在抛物线上，推导出抛物线的方程，可得梯形apqb面积，利用导数可得结论（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点m（t， t2），t0则函数在点m的切线方程为yt2=t（xt），由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为m时，可使用权所挖土的土方量最少【解答】解：（1）建立如图的坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p0）由已知点p（2，2）在抛物线上，得p=1，抛物线的方程为x2=2y，设a（t， t2），则此时梯形apqb面积为s（t）=（2t+4）（2t2），s（t）=，t=，t（0，），s（t）0，t（，2），s（t）0t=，smax（t）=，新水渠底宽为m时，所填土的土方量最少；（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图，设切点m（t， t2），t0则函数在点m的切线方程为yt2=t（xt），令y=0，y=2，得a（t，0），b（，2），此时梯形oabc的面积为s（t）=（t+）2=t+2，当且仅当t=时，等号成立，此时|oa|=，设计改挖后的水渠的底宽为m时，土方量最少【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数知识、基本不等式的合理运用19椭圆=1（ab0）的离心率为，左焦点f到右准线l的距离为10，圆g：（x1）2+y2=1（1）求椭圆的方程；（2）若p是椭圆上任意一点，过点p作圆g的切线，切点为q，过点p作右准线l的垂线，垂足为h，求的取值范围；（3）是否存在以椭圆上的点m为圆心的圆m，使得过圆m上任意一点n作圆g的切线（切点为t）都满足？若存在，请求出圆m的方程；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】压轴题；探究型；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可得，解方程组得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）圆g：（x1）2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上，把转化为含椭圆离心率与ph的式子，求出ph的范围可得答案；（3）设圆m：（xm）2+（yn）2=r2（r0）满足条件，n（x，y），可知点（m，n）满足，化圆的方程为一般式，由得x2+y26x1=0，代入圆的方程可得2（m3）x+2nym2n21+r2=0对圆m上点n（x，y）恒成立，由系数为0求得m，n，r的值，验证满足后可得答案【解答】解：（1）由题意可得，解得a=3，c=1，b2=a2c2=8则椭圆方程为；（2）圆g：（x1）2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上，e=，ph=6，12， ，则；（3）设圆m：（xm）2+（yn）2=r2（r0）满足条件，n（x，y），其中