立足重庆促进课改--2014年高考数学重庆卷试题特点述评.pdf

高中版高中版 2014 年 9 月 考试 研究 考卷解析 考试 研究 考卷解析 立足重庆促进课改 2014年高考数学重庆卷试题特点述评 筅重庆市教育科学研究院张晓斌 今年是重庆高中新课程实施后的第二次高考 在去 年的基础上有哪些变化和特点 如何更好地命制出一份 符合重庆实际的高质量的高考数学试卷 这些都有待我 们全面分析今年的高考数学试卷 找出带有规律性的特 点和趋势 一 试题的特点 1 试题范围符合重庆实际 本次考试严格依据 普通高中数学课程标准 实 验 来制定重庆卷数学学科考试说明 文科的命题范围 是必修和选修系列1的内容 理科的命题范围是必修和 选修系列2的内容 其中文理科在三角恒等变换上不要 求引出积化和差 和差化积 半角公式等 不考统计案例 中的独立性检验 2 2列联表 实际推断原理与假设检 验 聚类分析等内容 理科不考定积分与微积分基本定 理的内容 选修系列4只考几何证明选讲 坐标系与参数 方程和不等式选讲 且不等式选讲中只要求绝对值的有 关内容 这三个专题每个专题命制一道填空题 解答时 学生三选二 2 文理科试题体现了较大差异 本次试题充分考虑了文理科学生的数学实际差异 虽然文科试题难度整体比理科试题难度低 但都符合文 理科学生各自的实际水准 试卷中文理科没有完全相同 的题目 只有3道姊妹题 且都是立几和解几的内容 即 文理科第7题 文科第20题与理科第19题 文理科第21 题 如文理科第7题是完全相同的某几何体的三视图背 景 区别在于文科求几何体的体积 理科求几何体的表 面积 这样对理科学生运算能力的要求就要高一些 又 如文科第20题与理科第19题都是大前提基本相同的立 体几何题 差异在于理科有条件MP AP 而文科没有此 条件 文科第1问是线面垂直的证明 第2问是在条件 MP AP下求体积 而理科第1问是求线段的长 第2问是 求二面角 这样理科的运算量较大 再如文理科第21题 的所有条件和要解决的两个小问都是基本相同的 只不 过第2问文科是存在性问题 求圆的方程 而理科是求圆 的半径 这样文科作为最后的压轴题就多了要求出圆心 的坐标 才能写出圆的方程 总之 整体拉大了文理科试 题的差异 既体现了个性 也体现了共性 3 试卷中基础试题居多 整体难度有所下降 今年数学试题相对于去年试题整体难度有所下降 没有出现去年试题中要求过高的三角恒等变换技巧和 竞赛味过浓的试题 突出了基础知识和基本技能的考 查 整套试题中高低档题区分明显 常规常见的基础试 题居多 如文科选择题1 9题 填空题11 14题 理科选择 题1 8题 所有填空题都是基础知识的直接运用 同时强 调重视基础的综合运用 每个题涉及的基础知识不是单 一的知识点 至少有两个知识点以上 如文理科最简单 的第1题就涉及复数的概念 复数的运算和复数的几何 意义等知识点的简单综合 又如文理科填空题第一题就 是集合的表示法 交集的意义和补集概念的简单结合 如理科第4题 已知向量a k 3 b 1 4 c 2 1 且 2a 3b c 则实数k 是一道非常基 本的基础题 利用向量的坐标运算先把2a 3b求出 然后 再用向量垂直的充要条件的数量积计算公式即可解决 这样的基本题目在文理科试卷中还有许多 不胜枚举 不管怎样 今年的数学试题紧扣重庆考试说明 不偏不 怪 不脱离教材 题面叙述平易近人 突出了对数学 双 基 的考查 对此 试题难度控制是较为理想且合理的 广大考生也是能够接受的 应该说今年数学试题的难度 区分度是今后高考数学试题在难度上的一个参照 同时 对下届高三数学复习备考也是很有指导意义的 4 注重初高中数学知识与方法的衔接 新课程高中数学有许多内容与初中数学紧密相联 是在初中数学内容的基础上进行拓展与加深的 因此 高考中出一些基本上能用初中学过的知识 方法就可解 答的题目 并注意在不同知识单元交汇处命题 初高中 数学串通一气 通篇试卷浑然一体 融会贯通 这对学生 28 高中版高中版 2014 年 9 月 考试 研究 考卷解析 考试 研究 考卷解析 从知识结构上完整地把握中学数学 具有极强的导向 作用 如文理科第7题 某几何体的三视图如图1所示 则 该几何体的体积 文科 和表面积 理科 为 新课 程初中数学要求学生会画能判断简单物体的三视图 并 会根据三视图描述简单的几何体 总之 几何体不是很 复杂 也不用求几何体的体积与表面积等 新课程高中 数学在此基础上要求学生能对更复杂的空间图形与其 三视图进行相互转换 并要求了解基本几何体的表面积 和体积的计算公式 这对高中学生提出了更高的要求 本题由三视图可知 该几何体是一个底面为直角三角形 的直三棱柱的一部分 如图2所示 其中 BAC 90 侧面 ACC1A1是矩形 其余两个侧面是直角梯形 由于AC AB 平面ABC 平面ACC1A1 所以AB 平面ACC1A1 然 后把几何体看成是由一个三棱锥B1 ABC和四棱锥B1 ACC1A1组成 利用棱锥的体积计算公式即可得到体积 又该几何体是由下底面Rt ABC 上底面等腰 A1B1C1 三个侧面即矩形ACC1A1 梯形ABB1A1和梯形BCC1B1所组 成 再用面积计算公式就可获得该几何体的表面积 这 样命题就把初中数学与高中数学相关知识融为一体 朴 实无华 给学生似曾相识之感 A1 C1 B1 5 C A B 3 5 4 图 2 5 4 2 正视图 3 左视图俯视图 图 1 5 重视体现课改理念的新增内容和提高要求内容 的考查 新课标教材增加了幂函数 函数与方程 算法初步 合情推理 三视图 空间直角坐标系 空间向量 几何概 型 茎叶图 回归的基本思想与方法 最小二乘法的思 想 全称量词与存在量词 参数方程与极坐标等方面的 新内容 文科还增加了三角函数 指数对数函数的导数 和导数的四则运算法则等 这些内容是现代数学的重要 基础知识 提供了应用十分广泛而有效的数学工具 如 理科第3题考查了变量相关性的概念和回归直线方程 文理科第5题考查了算法初步中程序框图的循环结构 文理科第6题考查了与全称量词和存在量词相关的内 容 文理科第7题考查了三视图的内容 文科第10题考查 了函数的零点 文科第15题考查了几何概型的实际应 用 理科第15题考查了参数方程与极坐标的内容 文科 第19题就涉及了对数的导数和导数的四则运算法则的 运用 理科第19题考查了学生能否运用空间向量来解决 立体几何问题 理科第22题考查了归纳合情推理 演绎 推理和数学归纳法 新课标也对某些传统内容进行了加强与提高要求 如Venn图的应用 分段函数要求能简单应用 函数的单 调性 函数与方程 函数模型及其应用 三角函数的实际 应用 一元二次不等式背景和应用 加强了与函数 方程 的联系 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划 问题 数列与函数的关系 等差数列与一次函数的关系 等比数列与指数函数的关系 离散型随机变量及其分布 列的概念 离散型随机变量的期望值 方差 要求通过使 利润最大 用料最省 效率最高等优化问题 体会导数在 解决实际问题中的作用等 这些内容在本次考试也有重 要体现 但往往都是比较难的一些题目 如理科第22题 设a1 1 an 1 a2 n 2an 2 摇 姨 b n N 若b 1 求a2 a3的值及数列 an 的通项公式 若b 1 问 是否存在实数c使得a2n c a2n 1对所 有n N 成立 证明你的结论 本题表面上看是一道递推数列与不等式的综合性 探究性题目 实质上第 2 问要运用函数思想来解决数 列中的问题 把函数的单调性与数学归纳法有机结合才 能突破 充分体现了新课程对数列与函数的关系 以及 函数单调性的高要求 这种用函数观点审视数列与不等 式的问题 观点高 难度大 因此学生得分不易 6 突出重点知识重点考查 重点知识是支撑知识体系的主要内容 高考时必须 保持较高的比例 并达到必要的深度 以构成数学试卷 的主体 今年试题特别对重点知识 函数与导数 数列与 不等式 解析几何 三角 统计与概率 立体几何等进行 了重点考查 如函数与导数的内容文科占22分 理科第 12题和第20题共占17分 但理科第6题涉及指数函数的 性质 第16题涉及分段函数及图像 第22题涉及函数的 单调性 数列与不等式文科第9题 6题和19题涉及 理科 第16题 22题 6题 10题 20题涉及 解析几何内容文理 科都占22分 三角函数与解三角形内容文理科都占18 分 统计与概率内容文科占23分 理科占18分 立体几何 内容文科占17分 理科占18分 这些题目数学味较浓 淡 化非数学成分 体现了对数量关系和空间形式的要求 突出了对数学本质的考查 不刻意追求知识覆盖面 力 求从整体的高度去设计试题 以重点知识为核心 努力 在几个知识层面的交汇处命题 以检验学生能否形成一 个有序的网络化知识体系 并从中提取相关的信息 灵 活地解决问题 如文科第15题 某校早上8 00开始上课 假设该校 的学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每 人在该时间段的任何时刻到校是等可能的 则小张比 小王至少早5分钟到校的概率为 用数字作 答 本题源于课本 表面上看属于几何概型 实际上是 平面区域和几何概型相结合的问题 由题意可知有两个 29 高中版高中版 2014 年 9 月 考试 研究 考卷解析 考试 研究 考卷解析 变量 因此是与面积有关的几何 概型 如图3建立平面直角坐标 系 分别设小张到校的时间为x 小王到校的时间为y 则x y满足 x y 0 x 20 0 y 20 那么小张和小王到校的情况可 以用图3中的正方形ABCD表示 而小张比小王至少早5分钟到校可以用不等式表示 即 A x y 0 x 20 0 y 20 y x 5 也即图中阴影 直角三角形DEF 所以小张比小王至少早5分钟到校的 概率为P A S DEF S正方形OBCD 1 2 15 15 20 20 9 32 7 优化知识学习过程 强化理解性学习 今年不少题目起点低 入手容易深入难 分步设防 多种维度 多题把关 符合学生的认识规律和学习特点 有利于大多数学生能够正常发挥出水平 获得自己较为 满意的成绩 这是今年高考文理科数学试题的一个最大 亮点 可以看到所有解答题都有这样的特征 重在考查 知识的发生发展过程 而不是考查学生死记结论性知识 来解题 重视对数学本原意义的理解性学习 优化学生 知识的学习过程 这为广大中学师生指引了一个非常正 确的教与学的方向 如理科第20题 已知函数f x ae2x be 2x cx a b c R 的导函数f x 为偶函数 且曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线的斜率为4 c 确定a b的值 若c 3 判断f x 的单调性 若f x 有极值 求c的取值范围 本题第一 二问是常规常见的 起点也不高 学生容 易入手 但是第三问暗藏杀机 有相当的难度 充分体现 了入手容易深入难的命题理念 遵循了学生的认知规律 和学习特点 要求学生能优化学习过程 合理安排解答 顺序和答题时间分配 从本题平均5 49分可以看到 学生 主要靠第一 二问得分 第三问的讨论既不全面又不深 入 失分较多 第三问的解法如下 由 知 f x 2e2x 2e 2x c 而 2e2x 2e 2x 22e2x 2e 2x 摇 姨 4 当x 0时等号成立 下面分三种情况进行 讨论 当c0 此时 f x 无极值 当c 4时 对任意x 0 f x 2e2x 2e 2x c 0 此时 f x 无极值 当c 4时 令e2x t 注意到方程2t 2 t c 0有两根t1 2 c c2 16 摇 姨 4 0 即f x 0有两个根x1 1 2 lnt1或x2 1 2 lnt2 当x1 x x2时 f x x2时 f x 0 从而 f x 在x x2处取得极小值 综上 若f x 有极值 则c取值范围为 4 又如理科第10题在把第一个条件sin2A sin A B C sin C A B 1 2 化成sinAsinBsinC 1 8 的过程中 将角 适当变形转化为利用三角基本公式进行不断化简 这实 质上是让学生推导和积互化的三角公式 不是要求学生 记住和积互化的三角公式进行解答 这也是课程标准和 教材希望能看到这样做 而且去年高考有两个三角题都 是这样做的 引导师生不仅关注知识的应用 更为重要 的是关注知识的发生发展过程 这才是学生数学学习的 一个完整过程 在知识发生处命题 命题者可谓煞费苦 心 矫正平时教学中的偏差 真正落实素质教育 8 注重通性通法和基本数学能力的考查 注重通性通法 淡化特殊技巧是中学数学教学几十 年来所坚持的基本教学原则 也是高考数学命题一贯坚 持的方向 今年高考数学不少题目切入点多 入口面宽 解法多样 给各种不同思维层次的学生作答创造了条 件 提供了表现的机会 从而能有效地区分不同的数学 能力水平 应该说一道题目如果只能用唯一方法才能解 决 这样的题目不适宜作为考题 数学思想与方法是数 学知识在更高层次上的抽象和概括 它蕴含在数学知识 发生 发展和应用的过程中 它的掌握与运用也是形成 学生基本数学能力的重要根基 新课程标准提出了以学 生发展为本的课程理念 高中数学课程应注重提高学生 的数学思维能力 这是数学教育的基本目标之一 还要 更加注重培养学生发现 提出 分析和解决问题 包括简 单的实际问题 的能力 以及数学表达和交流的能力 发 展独立获取数学知识的能力 高考数学一直以来坚持以 能力立意 命题 注意考查思维 运算 应用等几方面的 D y 20 y x 5 C F E O 20 B x 图 3 30 高中版高中版 2014 年 9 月 考试 研究 考卷解析 考试 研究 考卷解析 能力 着重考查学生的理解 判断 分析 转化的能力 新 课程特别重视传统教学中淡化的合情推理能力 应用意 识和创新意识的考查 如文科第9题 若log4 3a 4b log2ab 摇 姨 则a b的最 小值是 本题由条件log4 3a 4b log2ab 摇 姨得a 0 b 0 把此 条件化简得3a 4b ab 即 3 b 4 a 1 这样就转化为我们平 时经常做的熟悉题目 切入点多 其解决的方法有三种 方法1 a b a b 3 b 4 a 姨姨 7 3b a 4a b 7 43 摇 姨 方法2 因为a 4b b 3 所以a b 4b b 3 b 4 b 3 12 b 3 b 7 12 b 3 b 3 7 43 摇 姨 方法3 三角代换 设 3 b cos2 4 a sin2 0 2 则b 3 cos2 a 4 sin2 所以a b 4 sin2 3 cos2 3 cos2 sin2 cos2 14 2cos2 1 cos22 再转化为关于cos2 的二次方 程即可获得答案 上述第二种方法把二元变为一元的思想 应该说是 大多数学生最容易想到的方法 也是非常自然的想法 二 几点改进建议 1 适度把控全卷难易 合理调整试卷结构 综观近年来重庆与各省市的高考数学全卷的难度 情况 理科全卷的难度控制在0 55 0 60之间 文科全卷 的难度控制在0 50 0 55之间较为恰当 今年重庆文科数 学难度可能会实现上述目标 但理科数学难度还可降低 一点 才能实现上述目标 只不过理科数学第17题三角 函数解答题平均8 41分 第19题立体几何解答题平均 5 97分 它们与往年对应位置的解答题得分情况进行比 较 略为偏低一点 约在2分左右 若它们再适当降低一 点难度 今年得分情况会更好一些 2 多考点想 少考点算 这历来都是高考命题所倡导的 而不是在运算复杂 程度和技巧上设置障碍 如对立体几何和解析几何内容 的考查主要集中在常规图形上 重点放在对图形位置关 系的识别 想象 运动变换 数形结合 几何意义与性质 推理和运用上 而不是设置复杂图形 复杂计算 几何意 义不明显 刁钻的变形技巧等来难为学生 可是今年重 庆理科数学的个别题目算起来真是让人心烦 看起来讨 厌 如理科第17题三角函数的第二问 方法学生都知道 全是二次根式运算 还有18题概率统计题运算量也不 小 19题立体几何题本来是一个起点低 入手宽 思路清 的好题 结果是学生做对不容易 没有直接告知锥体的 侧棱 需要先计算 两个法