江苏省射阳县特庸中学中考数学复习 几何中线段和的最小值与定值问题.doc

几何中线段和的最小值与定值问题 近年来，中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题，也是难点之一。学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。 所谓“典型题例”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。下面就“线段和的最值与定值”问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。 一、关于线段和的最小值 源命题（北师大版七年级下册p228 第七章习题7.3“问题解决”第2 题）： 如图1 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区a、b提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从a、b 到它的距离之和最短？ 本题的解答是：作出点b 的轴对称点b1，连接ab1 交直线l于点p，则点p为所求的奶站位置。 利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例： 【关联题1】（2008 年湖北荆门市中考题） 如图2，菱形abcd 的两条对角线分别长6 和8，点p是对角线ac 上的一个动点，点m、n 分别是边ab、bc 的中点，则pm+pn 的最小值是_ 析解：利用菱形的对称性，在ad 上找出点m 关于ac 的对称点m（即ad 的中点），连结mn交ac 于p，则pm+pn 的最小值为线段mn 的长，而m、n 分别为边ad、bc 的中点，故mn 的长等于菱形的边长5。 【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，mn 是o的直径，mn=2，点a 在o 上，amn=30，b 为弧an 的中点，p是直径mn 上一动点，则pa+pb 的最小值为（ ） 析解：连结oa，由amn=30得aon=60，取点b 关于mn 的对称点b，连结ob、ab，ab交mn 于点p，则ab的长为pa+pb 的最小值，且易知aob=90，即aob为等腰rt，故。 【关联题3】（2008 年湖北黄石市中考题） 如图4，在等腰abc 中，abc=120，点p 是底边ac 上一个动点，m、n 分别是ab、bc 的中点，若pm+pn 的最小值为2，则abc 的周长是（ ） 析解：把等腰abc 沿ac 翻折可得一菱形，由上面【关联题1】的解答可知，pm+pn 的最小值就是菱形的边ab 的长，故ab=2，由ab=bc=2，abc=120易求得 ，因此abc 的周长是( )。 【关联题4】（威海市2009 年中考题） 如图5，在直角坐标系中，点a，b，c 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过a，b，c 三点的抛物线的对称轴为直线l，d 为对称轴上l 一动点，(1)求抛物线的解析式； (2)求当ad+cd 最小时点d 的坐标； (3) 以点a 为圆心，以ad 为半径作a，证明：当ad+cd 最小时，直线bd 与a 相切。 写出直线bd 与a 相切时，d 点的另一个坐标。 析解：（1）可设y=a(x+1)(x-3)，再代入点c 坐标，即可求得y=-x2+2x+3。 （2）利用点a、b 关于直线l：x=1 对称，连结bc 交l 于d，则此时ad+cd 取得最小值；设l与x轴交点为e，由bedboc 可求得de=2，bd=2姨2 =ad，所以d 的坐标为(1，2)。 （3）如图6,连结ad，由点a、b、d、e 的坐标易知ade 和bde 均为等腰rt，故ade=bde=45所以adb=90，所以直线bd 与a 相切。 由对称性知点d 的另一个坐标是（1，-2）。 上述源命题还可作进一步引申： 【引申题】小明在某景区游玩，他打算从景点a 到河边（直线l）走一段（长度为已知线段a）再到景点b，怎么走最近？ 析解：如图7，本题的关键是确定直线l 上的两点d、e，因de=a 为定长，故只需ae+bd 为最小即可；作线段acl且ac=a，作点c 关于直线l 的轴对称点c，连接cb 交直线l 于点d，在直线l 上截取de=a，连接ae，则小明应走的路线是aeeddb。理由是：连接cd，则cd=ae=cd，因de=a 为定长， 故只须ae+bd(=cd+bd)最小即可。 【关联题1】已知平面直角坐标系内两点a（2，-3），b（4，-1）,(1)若c（a，0），d（a+3，0）,是x 轴上的两个动点，则当a=_时，四边形abcd的周长最短。 （2）设m、n 分别为x 轴和y 轴上的动点，是否存在这样的点m（m，0），n（0，n）, 使四边形abmn 的周长最短？若存在，请求出m、n 的值；若不存在，请说明理由。 析解：（1）如图8，本题中ab 和cd（a+3-a=3）均为定长，故只需ac+bd 取最小值即可； 平移点a 到a1，使aa1=cd=3，作点a1关于x 轴的对称点a2，连结a2b 交x 轴于d，作aca1d 交x轴于点c，由上述“引申题”结论知此时ac+bd 取得最小值；求得直线a2b 的解析式为y=4x-17，可得 （2）如图9，本题中ab 为定长，分别作点a、b 关于y轴、x 轴点对称点a1、b1，连接a1b1 交x 轴于m，交y轴于n，则根据上述“源命题”的结论，m、n 为所求的点；易得直线a1b1的解析式为，令y=0 得 二、关于线段和为定值问题 关于线段和为定值问题，可由一个较经典的源命题进行引申发散。 源命题：（来自马复主编讲堂中考冲刺p123）等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。如图，已知点p 是等腰abc 的底边bc 上一点，pfab 于f，pgac 于g，bdac 于d；求证：pf+pg=bd。 本题的证明主要有“截长补短”法和“面积法”，略证如下： 略证一：如图10，作pebd 于e，则四边形pedg 是矩形，所以pg=ed；易证pbfbpe，所以pf=be，所以pf+pg=bd。 略证二：如图11，连结ap，点p 到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，则有sabp+sacp=sabc，即12abr1+12acr2= 12ach，所以r1+r2=h（定值）。 利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例： 【关联题1】如图12 在矩形abcd 中，对角线ac、bd 交于点o，点p 为bc 边上一动点，过点p 作pebd 于e，pfac 于f，ab=3,bc=4，求pe+pf的值。 析解：依矩形性质可知obc 为等腰，p 是其底边上一点，作chbd 于h，应用源命题结论得pe+pf=ch=2.4。 【关联题2】（2009 年佳木斯市中考题）如图13，将矩形纸片abcd 沿其对角线ac 折叠，使点b 落到点b的位置，ab与cd交于点e。 （1）试找出一个与aed 全等的三角形，并加以证明； （2）若ab=8，de=3，p为线段ac 上任意一点，pgae 于g，phec 于h。试求pg+ph 的值，并说明理由。 析解：（1）aedceb (证明略)；（2）由（1）知ae=ce，即aec 为等腰，且adcd 于d，应用源命题结论可得pg+ph=ad， 因为ab=cd=8，de=3， 所以ce=ae=5，所以ad=4=pg+ph。 三、理解与应用