第三章 静定梁与静定刚架.ppt

第3章静定梁与静定刚架 目的要求 熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的绘制方法 熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征 掌握绘制弯矩图的技巧 掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点 能恰当选取隔离体和平衡方程计算静定结构的内力 重点 截面法 微分关系的应用 简支梁叠加法 难点 简支梁叠加法 绘制弯矩图的技巧 3 1单跨静定梁 1 反力常见的单跨静定梁有简支梁 伸臂梁和悬臂梁三种 如图3 1 a b c 所示 其支座反力都只有三个 可取全梁为隔离体 由三个平衡条件求出 图3 2 内力 截面法是将结构沿所求内力的截面截开 取截面任一侧的部分为隔离体 由平衡条件计算截面内力的一种基本方法 1 内力正负号规定轴力以拉力为正 剪力以绕隔离体有顺时针转动趋势者为正 弯矩以使梁的下侧纤维受拉者为正 如图3 2 b 所示 2 梁的内力与截面一侧外力的关系1 轴力的数值等于截面一侧的所有外力 包括荷载和反力 沿截面法线方向的投影代数和 2 剪力的数值等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和 3 弯矩的数值等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和 图3 2 M Q N图正负号规定 弯矩M 对梁而言 使杆件上凹者为正 也即下侧纤维受拉为正 反之为负 一般情况下作内力图时 规定弯矩图纵标画在受拉一侧 不标注正负号 剪力Q 使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正 反之为负 轴力N 拉为正 压为负 剪力图和轴力图可绘在杆轴的任意一侧 但必须标注正负号 在荷载连续分布的直杆段内 取微段dx为隔离体 如图3 3所示 若荷载以向下为正 x轴以向右为正 则可由微段的平衡条件得出微分关系式 3 利用微分关系作内力图 表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图 内力图常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置 此坐标轴常称为基线 而用垂直于杆轴线的坐标 亦称竖标 表示内力的数值而绘出的 弯矩图要画在杆件的受拉侧 不标注正负号 剪力图和轴力图将正值的竖标绘在基线的上方 同时要标注正负号 绘内力图的基本方法是先写出内力方程 即以变量x表示任意截面的位置并由截面法写出所求内力与x之间的函数关系式 然后由方程作图 但通常采用的是利用微分关系来作内力图的方法 1 荷载与内力之间的微分关系 3 1 图3 3 由上述微分关系的几何意义可得出以下对应关系 1 在均布荷载作用的梁段 q x q 常数 FS图为斜直线 M图为二次抛物线 其凸向与q的指向相同 在FS 0处 弯矩图将产生极值 2 内力图形的形状与荷载之间的关系 当梁同时受几个荷载作用时 用叠加法作弯矩图很方便 此时可不必求出支座反力 如要作图3 4所示简支梁的弯矩图 可先绘出梁两端力偶MA MB和集中力F分别作用时的弯矩图 再将两图的竖标叠加 即可求得所求的弯矩图 如图3 4所示 3 在集中力F作用处 FS图有突变 突变值等于F 弯矩图在该处出现尖角 且尖角的方向与F的指向相同 在FS图变号处 M图中出现极值 4 用叠加法作弯矩图 2 无荷载的梁段 q x 0 FS 常数 FS图为矩形 当FS 0时 FS图与基线重合 弯矩图为斜直线 4 在集中力偶Me作用处 FS图无变化 M图有突变 突变值等于力偶Me的大小 叠加原理 几个力对杆件的作用效果 等于每一个力单独作用效果的总和 图3 4 上述叠加法对直杆的任何区段都是适用的 只需将直杆段的两端弯矩求出并连以直线 虚线 然后在此直线上再叠加相应简支梁在荷载下的弯矩图 这种方法称为区段叠加法或简支梁叠加法 也简称叠加法 实际作图时 先将两端弯矩MA MB绘出并联以直线 如图中虚线所示 再以此虚线为基线绘出简支梁在荷载F作用下的弯矩图 值得注意的是竖标Fab l仍应沿竖向量取 而不是从垂直于虚线的方向量取 最后所得的图线与水平基线之间的图形即为叠加后所得的弯矩图 1 简支梁的弯矩图叠加法 直杆段弯矩图的区段叠加法 弯矩图叠加的实质 指弯矩竖标的叠加 而不是图形的简单叠加 当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时 叠加后是两个竖标绝对值相减 弯矩竖标画在绝对值大的一侧 当两个竖标在基线同一侧时 则叠加后是两个竖标绝对值相加 竖标画在同侧 b 将所连直线作为新的基线 叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图 直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法 其步骤是 a 计算直杆区段两端的最后弯矩值 以杆轴为基线画出这两个值的竖标 并将两竖标连一直线 练习 利用上述关系作弯矩图 剪力图 练习 利用上述关系作弯矩图 剪力图 5 叠加法作弯矩图 注意 是竖标相加 不是图形的简单拼合 练习 2 求控制截面的内力 分段 定点 5 绘制内力图的一般步骤 1 求支座反力 3 连线 利用微分关系 将各控制截面之间内力图的形状绘出 所谓控制截面是指集中力和集中力偶作用的两侧截面 均布荷载的起点及终点等外力不连续点所在的截面 用截面法求出控制截面的内力值后在内力图的基线上用竖标标出 几种典型弯矩图和剪力图 1 集中荷载作用点M图有一夹角 荷载向下夹角亦向下 Q图有一突变 荷载向下突变亦向下 2 集中力矩作用点M图有一突变 力矩为顺时针向下突变 Q图没有变化 3 均布荷载作用段M图为抛物线 荷载向下曲线亦向下凸 Q图为斜直线 荷载向下直线由左向右下斜 4kN m 4kN m 4kN m 2kN m 4kN m 4kN m 6kN m 4kN m 2kN m 1 集中荷载作用下 2 集中力偶作用下 3 叠加得弯矩图 1 悬臂段分布荷载作用下 2 跨中集中力偶作用下 3 叠加得弯矩图 应熟记常用单跨梁的弯矩图 解 1 求支座反力 MB 0 FA 16kN MA 0 FB 40kN 校核 Fy 16 40 8 8 4 16 02 绘FS图 1 求控制截面的FS值 FSAR FSCL 16kN FSCR FSD 8kN FSGL FSBR 16kN FSBL FSE 24kN 例3 1试作图3 5 a 所示梁的内力图 2 求出上述各控制截面的剪力后 按微分关系联线即可绘出FS图 如图3 5 b 所示 3 绘M图 1 求控制截面的M值MA 0 MC 16 1 16kN m MD 16 2 8 1 24kN m MG 0 MB 16 1 16kN mMFR 16 2 40 1 8kN mMFL 16 2 40 1 40 32kN mME 16 3 40 2 40 8kN m 图3 5 2 根据微分关系 可绘出M图如图3 4 c 所示 在均布荷载作用区段DE 剪力图有变号处 在FS 0处对应截面M值应有极值 必须求出 欲求M的最大值 可由图3 5 b 中求出截面所在位置x值 由得 x 1m 取AI段为隔离体 由 MI 0 可得 MI 16 3 8 2 8 1 1 2 28kN m 分段叠加法作弯矩图的方法 1 选定外力的不连续点 集中力作用点 集中力偶作用点 分布荷载的始点和终点 为控制截面 首先计算控制截面的弯矩值 2 分段求作弯矩图 当控制截面间无荷载时 弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线 当控制截面间存在荷载时 弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值 例3 2 利用叠加法求作图示梁结构的内力图 分析 该梁为简支梁 弯矩控制截面为 C D F G叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值 解 1 先计算支座反力 2 求控制截面弯矩值 取AC部分为隔离体 可计算得 取GB部分为隔离体 可计算得 kN kN 26 7 8 30 M图 kN m Q图 kN 2 均布荷载段 q 常数 Q图为斜直线 M图为抛物线 且凸向与荷载指向相同 1 无荷载分布段 q 0 Q图为水平线 M图为斜直线 3 集中力作用处 Q图有突变 且突变量等于力值 M图有尖点 且指向与荷载相同 4 集中力偶作用处 M图有突变 且突变量等于力偶值 Q图无变化 3 2多跨静定梁 1 多跨静定梁的组成多跨静定梁是由若干根梁用铰相联 并通过若干支座与基础相联而组成的静定结构 图3 7 a 为用于公路桥的多跨静定梁 其计算简图如图3 7 b 所示 从几何组成看 多跨静定梁各部分可分为基本部分和附属部分 如上述多跨静定梁中的AB和CD部分均直接用三根链杆与基础相联 它们不依赖于其他部分的存在而能独立维持几何不变性 称为基本部分 而BC梁必须依赖AB CD部分才能维持几何不变 必须依赖其他部分才能维持几何不变的部分 称为附属部分 为了清晰地表示各部分之间的支承关系 可将基本部分画在下层 而将附属部分画在上层 这样得到的图形称为层叠图 如图3 7 c 所示 图3 7 练习 区分基本部分和附属部分并画出关系图 2 多跨静定梁的传力关系从受力分析看 当荷载作用在基本部分上时 该部分能将荷载直接传向地基 而当荷载作用在附属部分上时 则必须通过基本部分才能传向地基 故当荷载作用在基本部分上时 只有该部分受力 附属部分不受力 而当荷载作用在附属部分上时 除该部分受力外 基本部分也受力 3 多跨静定梁的计算步骤由上述传力关系可知 计算多跨静定梁的顺序应该是先附属部分 后基本部分 即由最上层的附属部分开始 利用平衡条件求出约束反力后 将其反向作用在基本部上 如图3 7 c 所示 这样便把多跨静定梁拆成了若干根单跨梁 按单跨梁作内力图的方法 即可得到多跨静定梁的内力图 从而可避免解联立方程 例3 3作图3 10 a 所示多跨静定梁的内力图 解 1 画层叠图 ABC与DEF部分为基本部分 CD部分为附属部分 将附属部分画在上层 基本部分画在下层 得到图3 10 b 所示的层叠图 2 求反力 先求附属部分BC的反力 将其反向作用在基本部分上 然后再求基本部分的反力 如图3 10 c 所示 3 作内力图 首先求出各单跨梁控制截面的M FS值 然后按微分关系联线 也可用叠加法作弯矩图 其内力图如图3 10 d e 所示 图3 10 例3 3如图3 11 a 所示为一两跨静定梁 承受均布荷载q 试确定铰D的位置 使梁内正 负弯矩峰值相等 解 1 画层叠图 如图3 11 b 所示 2 求各单跨梁的反力 由本题题意可看出 只需求出FDy便可得出铰D的位置 设铰D距B支座的距离为x 由 MA 0 可得出FDy q l x 2 如图3 11 c 所示 3 绘M图 如图3 11 d 所示 从图中可以看出 全梁的最大正弯矩发生在AD梁跨中截面 其值为q l x 2 8 最大负弯矩发生在B支座处 其值为q l x x 2 qx2 2 依题意 令正负弯矩峰值相等 即可得x 0 172l铰D的位置确定后 可作出弯矩图 如图3 11 e 所示 正负弯矩的峰值为0 0857ql2 图3 11 与简支梁相比 弯矩较小而且均匀 从分析过程看 附属部分上若无外力 其上也无内力 如果改用两个跨度为l的简支梁 弯矩图如图3 11 f 所示 比较可知 多跨静定梁的弯矩峰值比两跨简支梁的要小 是简支梁的68 6 一般而言 在荷载与跨度总长相同的情况下 多跨静定梁与一系列简支梁相比 材料用料较省 但由于有中间铰 使得构造上要复杂一些 例3 4 试作图3 12所示多跨静定梁的内力图 并求出各支座的反力 解 按一般步骤是先求出各支座反力及铰结处的约束力 然后作梁的剪力图和弯矩图 但是 如果能熟练地应用弯矩图的形状特征以及叠加法 则在某些情况下也可以不计算反力而首先绘出弯矩图 有了弯矩图 剪力图即可根据微分关系或平衡条件求得 对于弯矩图为直线的区段 可利用弯矩图的斜率来求剪力 如CE段梁的剪力值为至于剪力的正负号 看按以下方法确定 若弯矩图是从基线顺时针方向转的 以小于90 的转角 则剪力为正 反之为负 据此可知 应为正 对于弯矩图为曲线的区段 可利用杆段的平衡条件来求得其两端剪力 例如BC段梁 取BC梁为隔离体 由和可分别求得剪力图作出后 可由结点平衡来求支座反力 取结点为隔离体 由可得 图3 12 3 3静定平面刚架 1 刚架的组成及其特征刚架是由直杆组成的具有刚结点的结构 静定平面刚架常见的形式有悬臂刚架 如图3 13所示站台雨棚 简支刚架 如图3 14所示渡槽 及三铰刚架 如图3 15所示屋架 等 图3 13图3 14图3 15 静定刚架的分类 当刚架受力变形时 汇交于该结点的各杆端的夹角保持不变 这种结点称为刚结点 具有刚结点是刚架的特点 从变形角度看 在刚结点处各杆不能发生相对转动 从受力角度看 刚结点可以承受和传递弯矩 因而在刚架中弯矩是其主要的内力 2 刚架的内力计算支座反力的计算当刚架与地基之间是按两刚片规则组成时 支座反力有三个 可取整个刚架为隔离体 由平衡条件求出反力 当刚架与地基之间是按三刚片规则组成时 支座反力有四个 除三个整体平衡方程外 还可利用中间铰处弯矩为零的条件建立一个补充方程 从而可求出四个支座反力 而当刚架是由基本部分和附属部分组成时 应先计算附属部分的反力 再计算基本部分的反力 2 刚架中各杆的杆端内力刚架中控制截面大多即是各杆的杆端截面 故作内力图时 首先要用截面法求出各杆端内力 在刚架中 剪力和轴力的正负号规定与梁相同 剪力图和轴力图可绘在杆件的任一侧 但必须注明正负号 弯矩则不规定正负号 但弯矩图应绘在杆件的受拉侧而不注正负号 为了明确地表示刚架上不同截面的内力 尤其是区分汇交于同一结点的各杆端截面的内力而不致于混淆 在内力符号后引用两个下标 第一个下标表示内力所在的截面 第二个下标表示该截面所属杆件的另一端 例如MAB表示AB杆A端截面的杆端弯矩 FSCA表示AC杆C端截面的剪力 1 单体刚架 联合结构 的支座反力 约束力 计算 方法 切断两个刚片之间的约束 取一个刚片为隔离体 假定约束力的方向 由隔离体的平衡建立三个平衡方程 解 例3 5 试作图3 16 a 所示刚架的内力图 解 1 求支座反力 Fx 0 5 FBx 0 FBx 5kN 负号表示与FBx的假设方向相反 即向左 MB 0 4 FAy 5 2 16 4 2 8 1 0 FAy 27 5kN 同理 由 MA 0 得 FBy 44 5kN 校核 Fy 27 5 44 5 16 4 8 0故知反力计算无误 图3 16 2 绘内力图 1 作M图 求各杆端弯矩 控制截面的弯矩 MAE MEA MEC 0 MCE 5 2 10kN m 左侧受拉 MCD 5 2 10kN m 上侧受拉 MDC 8 1 5 4 28kN m 上侧受拉 MDB 5 4 20kN m 右侧受拉 MDF 8 1 8kN m 上侧受拉 MBD MFD 0求得上述各控制截面的弯矩后 对无荷杆段 直接联线即可得弯矩图 对受均布荷载的区段 将杆端弯矩联以虚直线后 再叠加上相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图 如CD杆中点的弯矩为 16 42 8 10 28 2 13kN m 下侧受拉 整个刚架的弯矩图如图3 16 b 所示 2 作FS图及FN图 作剪力图时同样应逐杆考虑 根据荷载和已求出的反力 用截面法求得各控制截面 杆端 的剪力如下 FSAE FSEA 0 FSEC 5kN FSCD 27 5kN FSDC 8 44 5 36 5kN FSDF FSFD 8kN FSBD FSDB 5kN据此 可绘出剪力图 如图3 16 d 所示 用同样的方法可绘出轴力图 如图3 16 c 所示 在CD杆剪力为零处 弯矩图有极值 一般应求出 由图3 16 d 可知解得 x 1 72m故有 MG 27 5 1 72 5 2 16 1 722 2 13 6kN m 3 校核内力图作出后 应进行校核 可取刚架的任一部分为隔离体 看其是否满足平衡条件 一般取刚结点为隔离体进行分析 如取结点D为隔离体 有 Fx 5 5 0 Fy 44 5 36 5 8 0 MD 8 20 28 0可见 结点D的三个平衡条件均能满足 对其他刚结点 也可按同样的方法进行校核 读者可自行校核结点C的平衡条件是否满足 注意 刚结点弯矩平衡 2 三铰刚架 三铰结构 的支座反力 约束力 计算 例1 求图示刚架的支座反力 方法 取两次隔离体 每个隔离体包含一或两个刚片 建立六个平衡方程求解 双截面法 解 1 取整体为隔离体 2 取右部分为隔离体 例2 求图示刚架的支座反力和约束力 解 1 取整体为隔离体 2 取右部分为隔离体 3 取整体为隔离体 例3 6试作图3 17 a 所示三铰刚架的内力图 解 1 求支座反力 本题计算特点 1 反力计算 2 斜杆内力计算及内力图取整体为隔离体 由 MB 0 得 FAy 6 6 9 12 27kN 由 MA 0 得 FBy 6 6 3 12 9kN 由 Fx 0 得 FAx FBx再取刚架右半部分为隔离体 由 MC 0 得FBx 9 6 9 6kN 故知 FAx 6kN 校核 Fy 27 9 6 6 0 可知反力计算无误 2 作弯矩图 首先求出各杆端弯矩 画在受拉侧并联以直线 再叠加同跨度简支梁在荷载作用下的弯矩图 现以斜杆DC为例说明弯矩图的作法 MDC 6 6 36kN m 外侧受拉 MCD 0 DC杆中点弯矩为 36 2 6 62 8 9kN m 内侧受拉 内侧最大弯矩所在截面由剪力图确定 其值为11 9kN m M图如图3 17 b 所示 3 作剪力图 取竖杆AD和BE为隔离体 由平衡条件可得FSDA FSAD 6kN FSEB FSBE 6kN但对于斜杆CD和CE 可分别取这两杆为隔离体 如图3 17 c d 所示 对杆件两端截面中心取矩即可求出杆件两端剪力 FSDC 36 6 6 3 6 71 21 5kNFSCD 36 6 6 3 6 71 10 7kNFSCE FSEC 36 6 71 5 37kNFS图如图3 17 e 所示 图3 17 4 作轴力图 仍取AD和BE两杆为隔离体 利用平衡条件即可求出杆端轴力为FNDA FNAD 27kN FNEB FNBE 9kN对于两斜杆的轴力 则可取刚结点为隔离体 由平衡条件求出 例如 取结点D为隔离体 如图3 17 g 所示 由 Fx 0 得 FNDC 17 5kNFNCD的计算是取CD杆为隔离体 如图3 17 c 所示 沿轴线DC方向列投影方程 FNCD 1 41kN同理可求出斜杆CE的杆端轴力 隔离体图如图3 17 g 所示 FNCE FNEC 9 39kN轴力图如图3 17 f 所示 凡只有两杆汇交的刚结点 若结点上无外力偶作用 则两杆端弯矩大小相等且同侧受拉 即同使刚架外侧或同使刚架内侧受拉 3 复合刚架 主从结构 的支座反力 约束力 计算 方法 先算附属部分 后算基本部分 计算顺序与几何组成顺序相反 解 1 取附属部分 2 取基本部分 3 4少求或不求反力绘制弯矩图 1 掌握基本技巧 1 悬臂部分和简支部分的弯矩图可直接绘出 2 充分利用弯矩图的形状特征 铰处弯矩为零 无荷直杆段弯矩图为直线 剪力相同区段弯矩图斜率相同等 3 刚结点处的力矩平衡条件 4 叠加法做弯矩图 5 对称性的利用 2