高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 极大值与极小值（一）课件 苏教版选修22.ppt

1 3 2极大值与极小值 一 第1章1 3导数在研究函数中的应用 学习目标1 了解函数极值的概念 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一函数的极值点和极值 观察y f x 的图象 指出其极大值点和极小值点及极值 答案 答案极大值点为e g i 极大值为f e f g f i 极小值点为d f h 极小值为f d f f f h 思考2 导数为0的点一定是极值点吗 答案 答案不一定 如f x x3 尽管由f x 3x2 0 得出x 0 但f x 在r上是单调递增的 不满足在x 0的左 右两侧符号相反 故x 0不是f x x3的极值点 1 极小值点与极小值若函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 而且在点x a附近的左侧f x 0 就把点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 2 极大值点与极大值若函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 而且在点x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 就把点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 3 极大值点 极小值点统称为极值点 极大值 极小值统称为 梳理 0 0 极值 知识点二函数极值的求法与步骤 1 求函数y f x 的极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧函数单调递增 即f x 0 在x0的右侧函数单调递减 即f x 0 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左侧函数单调递减 即f x 0 在x0的右侧函数单调递增 即f x 0 那么f x0 是 极大值 极小值 2 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义域 求导数f x 2 求方程的根 3 列表 4 利用f x 与f x 随x的变化情况表 根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 f x 0 题型探究 命题角度1不含参数的函数求极值例1求下列函数的极值 并画出函数的草图 1 f x x2 1 3 1 解答 类型一求函数的极值点和极值 解f x 6x x2 1 2 6x x 1 2 x 1 2 令f x 0 解得x1 1 x2 0 x3 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 当x 0时 f x 有极小值0 函数的草图如图所示 解答 令f x 0 解得x e 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 函数的草图如图所示 1 讨论函数的性质时 要树立定义域优先的原则 2 求可导函数f x 的极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 观察f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个方程根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个方程根处取得极小值 注意 f x 无意义的点也要讨论 可先求出f x 0的根和f x 无意义的点 这些点都称为可疑点 再用定义去判断 反思与感悟 跟踪训练1求下列函数的极值 1 y 2x3 6x2 18x 3 解答 解函数的定义域为r y 6x2 12x 18 6 x 3 x 1 令y 0 得x 3或x 1 当x变化时 y y的变化情况如下表 从上表中可以看出 当x 3时 函数取得极大值 且y极大值 57 当x 1时 函数取得极小值 且y极小值 7 解函数的定义域为 0 0 令y 0 得x 2或x 2 当x 2时 y 0 当 2 x 0时 y 0 即x 2时 y取得极大值 且极大值为 8 当0 x 2时 y 0 当x 2时 y 0 即x 2时 y取得极小值 且极小值为8 解答 命题角度2含参数的函数求极值例2设函数f x 2x3 3 a 1 x2 1 其中a 1 1 求f x 的单调区间 解答 解由已知 得f x 6x x a 1 令f x 0 解得x1 0 x2 a 1 当a 1时 f x 6x2 f x 在 上单调递增 当a 1时 f x 6x x a 1 列表如下 从上表可知 函数f x 在 0 上单调递增 在 0 a 1 上单调递减 在 a 1 上单调递增 2 讨论f x 的极值 解由 1 知 当a 1时 函数f x 没有极值 当a 1时 函数在x 0处取得极大值1 在x a 1处取得极小值1 a 1 3 解答 含参数的函数求极值应从f x 0的两根x1 x2相等与否入手进行 反思与感悟 跟踪训练2已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 因而f 1 1 f 1 1 所以曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 解答 2 求函数f x 的极值 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 令f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 解答 例3 1 已知函数f x x3 3ax2 bx a2在x 1处有极值0 求a b的值 类型二已知函数极值求参数 解答 解 f x 3x2 6ax b 且函数f x 在x 1处有极值0 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 此时函数f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 时 f x 0 此时f x 为增函数 当x 3 1 时 f x 0 此时f x 为增函数 故f x 在x 1时取得极小值 a 2 b 9 2 若函数f x x3 x2 ax 1有极值点 求a的取值范围 解f x x2 2x a 由题意 方程x2 2x a 0有两个不等的实数根 所以 4 4a 0 解得a 1 解答 引申探究1 若本例 2 中函数的极大值点是 1 求a的值 解f x x2 2x a 由题意得f 1 1 2 a 0 解得a 3 则f x x2 2x 3 经验证可知 f x 在x 1处取得极大值 解答 2 若本例 2 中函数f x 有两个极值点 均为正值 求a的取值范围 解由题意 方程x2 2x a 0有两个不等正根 解答 解得0 a 1 故a的取值范围是 0 1 已知函数极值的情况 逆向应用 确定函数的解析式时 应注意两点 1 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须验证根的合理性 反思与感悟 跟踪训练3 1 函数f x x3 ax2 bx c的图象如图所示 且与直线y 0在原点处相切 函数的极小值为 4 求a b c的值 解答 解 函数图象过原点 c 0 即f x x3 ax2 bx f x 3x2 2ax b 又函数f x 的图象与直线y 0在原点处相切 f 0 0 解得b 0 f x 3x2 2ax x 3x 2a a 3 b c 0 求函数的递减区间 解答 解由 知 f x x3 3x2 且f x 3x x 2 由f x 0 得3x x 2 0 0 x 2 函数f x 的递减区间是 0 2 解答 当00 当x 1时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 函数f x 在x 1处取得极大值 当堂训练 1 函数f x x3 15x2 33x 6的单调减区间为 答案 2 3 4 5 1 1 11 2 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则关于函数f x 的极值点的说法中 正确的为 填序号 无极大值点 有四个极小值点 有三个极大值点 两个极小值点 有两个极大值点 两个极小值点 有四个极大值点 无极小值点 答案 2 3 4 5 1 解析 解析在x x0的两侧 f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 f x 的符号由负变正 则f x0 是极小值 由图象易知有两个极大值点 两个极小值点 3 已知函数f x x3 ax2 3x 9在x 3处取得极值 则a 2 3 4 5 1 答案 解析 5 解析由题意 得f 3 3 3 2 2a 3 3 0 所以a 5 4 已知曲线f x x3 ax2 bx 1在点 1 f 1 处的切线斜率为3 且x 是y f x 的极值点 则a b 2 3 4 5 1 答案 解析 2 解析f x 3x2 2ax b 5 已知函数f x ax2 blnx在x 1处有极值 1 求a b的值 2 3 4 5 1 解答 2 判断f x 的单调区间 并求极值 2 3 4 5 1 解答 又f x 的定义域为 0 令f x 0 解得x 1 列表如下 2 3 4 5 1 f x 的单调减区间为 0 1 单调增区间为 1 规律与