高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性课件 新人教B版选修22.pptVIP

1 3 1利用导数判断函数的单调性 第一章 1 3导数的应用 学习目标1 理解导数与函数的单调性的关系 2 掌握利用导数判断函数单调性的方法 3 能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点函数的单调性与其导数 观察下面四个函数的图象 回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系 答案 答案 1 在区间 内 y 1 0 y是增函数 2 在区间 0 内 y 2x0 y是增函数 3 在区间 内 y 3x2 0 y是增函数 4 在区间 0 0 内 y 0 y是减函数 利用导数判断函数单调性的法则 1 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是增函数 a b 为f x 的单调增区间 2 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是减函数 a b 为f x 的单调减区间 梳理 特别提醒 1 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是函数f x 在某个区间上递增 或递减 的充分条件 2 在区间 a b 内可导的函数f x 在区间 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立且f x 在区间 a b 的任意子区间内都不恒等于0 3 特别地 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内是常数函数 题型探究 例1证明 函数在区间上是单调减函数 证明 类型一判断函数的单调性 cosx 0 sinx 0 xcosx sinx 0 关于利用导数证明函数单调性的问题 1 首先考虑函数的定义域 所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 2 若f x 或 0 则f x 为单调递增 或递减 函数 但要特别注意 若f x 为单调递增 或递减 函数 则f x 或 0 反思与感悟 证明 又0 x e lnx lne 1 类型二利用导数求函数的单调区间 解答 例2求f x 3x2 2lnx的单调区间 命题角度1不含参数的函数求单调区间 解f x 3x2 2lnx的定义域为 0 求函数y f x 的单调区间的步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 3 解不等式f x 0 函数在解集所表示的定义域内为增函数 4 解不等式f x 0 函数在解集所表示的定义域内为减函数 反思与感悟 跟踪训练2函数f x x2 2x ex x r 的单调减区间为 答案 解析 解析由f x x2 4x 2 ex 0 即x2 4x 2 0 解答 例3讨论函数f x ax2 x a 1 lnx a 0 的单调性 命题角度2含参数的函数求单调区间 解函数f x 的定义域为 0 由f x 0 得x 1 由f x 0 得0 x 1 f x 在 0 1 内为减函数 在 1 内为增函数 由f x 0 得x 1 由f x 0 得0 x 1 f x 在 0 1 内为减函数 在 1 内为增函数 综上所述 当a 0时 f x 在 0 1 内为减函数 在 1 内为增函数 1 讨论参数要全面 做到不重不漏 2 解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简 也可转化为二次不等式求解 反思与感悟 跟踪训练3设函数f x ex ax 2 求f x 的单调区间 解答 解f x 的定义域为 f x ex a 若a 0 则f x 0 所以f x 在 上是增函数 若a 0 则当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 上是减函数 在 lna 上是增函数 综上所述 当a 0时 函数f x 在 上是增函数 当a 0时 f x 在 lna 上是减函数 在 lna 上是增函数 类型三已知函数的单调性求参数的范围 例4若函数f x x3 x2 mx 1是r上的单调函数 求实数m的取值范围 解答 解f x 3x2 2x m 由于f x 是r上的单调函数 所以f x 0或f x 0恒成立 由于导函数的二次项系数3 0 所以只能有f x 0恒成立 方法一由上述讨论可知要使f x 0恒成立 只需使方程3x2 2x m 0的判别式 4 12m 0 方法二3x2 2x m 0恒成立 即m 3x2 2x恒成立 已知f x 在区间 a b 上的单调性 求参数范围的方法 1 利用集合的包含关系处理 f x 在 a b 上是单调 减 函数 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 利用不等式的恒成立处理 f x 在 a b 上是单调增 减 函数 则f x 0 f x 0 在 a b 上恒成立 注意验证等号对有限个x成立 反思与感悟 跟踪训练4 1 已知函数f x 在 2 内是单调减函数 则实数a的取值范围为 答案 解析 由函数f x 在 2 内是单调减函数 得f x 0在 2 内恒成立 2 若函数f x ax3 x2 x 5的单调减区间是 求实数a的值 解答 解因为f x 3ax2 2x 1 且函数f x ax3 x2 x 5的单调减区间是 所以3ax2 2x 1 0的解集为 代入可得a 1 当堂训练 1 已知函数y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的图象可能是图中的 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由函数y f x 的图象的增减变化趋势判断函数y f x 的正 负情况如下表 2 3 4 5 1 由表可知函数y f x 的图象 当x 1 b 时 在x轴下方 当x b a 时 在x轴上方 当x a 1 时 在x轴下方 故选c 2 函数f x 3 x lnx的单调递增区间是 答案 2 3 4 5 1 解析 解析f x lnx 1 令f x 0 2 3 4 5 1 3 下列函数中 在 0 内为增函数的是a y sin2xb y xexc y x3 xd y x ln 1 x 答案 解析 解析y xex 则y ex xex ex 1 x 在 0 上恒大于0 4 已知f x x3 ax2 x 1在r上是单调函数 则实数a的取值范围是 2 3 4 5 1 答案 解析 解析f x 3x2 2ax 1 由题意知在r上f x 0恒成立 则 2a 2 4 3 1 0 5 试求函数f x kx lnx的单调区间 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 解函数f x kx lnx的定义域为 0 当k 0时 kx 1 0 f x 0 则f x 在 0 上单调递减 2 3 4 5 1 综上所述 当k 0时 f x 的单调递减区间为 0 规律与方法