高中数学 第三单元 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用课件 新人教B版选修11.ppt

第三章导数及其应用 3 3 3导数的实际应用 1 能利用导数解决实际问题 2 提高综合运用导数知识解题的能力 培养化归与转化意识 学习目标 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点生活中的优化问题 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3 解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程 优化问题 数学建模 题型探究 类型一几何中的最值问题 命题角度1平面几何中的最值问题例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场 如图 圆形广场的圆心为o 半径为100m 并与北京路一边所在直线l相切于点m 点a为上半圆弧上一点 过点a作l的垂线 垂足为点b 市园林局计划在 abm内进行绿化 设 abm的面积为s 单位 m2 aon 单位 弧度 1 将s表示为 的函数 解答 bm aosin 100sin ab mo aocos 100 100cos 0 5000 sin sin cos 0 2 当绿化面积s最大时 试确定点a的位置 并求最大面积 解答 s 5000 2cos2 cos 1 5000 2cos 1 cos 1 当 变化时 s s的变化情况如下表 此时ab 150m 即点a到北京路一边l的距离为150m 平面图形中的最值问题一般涉及线段 三角形 四边形等图形 主要研究与面积相关的最值问题 一般将面积用变量表示出来后求导数 求极值 从而求最值 反思与感悟 跟踪训练1如图所示 在二次函数f x 4x x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形abcd 求这个矩形面积的最大值 解答 设点b的坐标为 x 0 且0 x 2 f x 4x x2图象的对称轴为x 2 点c的坐标为 4 x 0 bc 4 2x ba f x 4x x2 矩形面积为y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 命题角度2立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得abcd四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb xcm 1 若广告商要求包装盒侧面积s最大 则x应取何值 解答 当且仅当x 30 x 即x 15时 等号成立 所以若广告商要求包装盒侧面积s最大 则x 15 2 若广告商要求包装盒容积v最大 则x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 解答 1 立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积 体积 并在此基础上解决与实际相关的问题 2 解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式 如果已知图形是由简单几何体组合而成 则要分析其组合关系 将图形进行拆分或组合 以便简化求值过程 反思与感悟 跟踪训练2周长为20cm的矩形 绕一条边旋转成一个圆柱 则圆柱体积的最大值为 cm3 答案 解析 设矩形的长为xcm 则宽为 10 x cm 0 x 10 由题意可知 圆柱体积为v x2 10 x 10 x2 x3 v 20 x 3 x2 类型二实际生活中的最值问题 解答 所以a 2 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解答 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系有 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 跟踪训练3某集团为了获得更大的收益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 百万元 可增加销售额 t2 5t 百万元 0 t 3 1 若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获得的收益最大 解答 设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 当t 2时 f t 取得最大值4 即当投入2百万元的广告费时 该公司由此获得的收益最大 解答 解答 设隔热层厚度为xcm 又c 0 8 所以k 40 而隔热层建造费用为c1 x 6x 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解答 当00 故x 5为f x 的极小值点也为最小值点 答当隔热层修建5cm厚时 总费用达到最小值为70万元 反思与感悟 1 用料最省 成本最低问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 2 利用导数的方法解决实际问题 当在定义区间内只有一个点使f x 0时 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道在这个点取得最大 小 值 跟踪训练4现有一批货物由海上从a地运往b地 已知轮船的最大航行速度为35海里 时 a地至b地之间的航行距离约为500海里 每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比 比例系数为0 6 其余费用为每小时960元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度x 海里 时 的函数 解答 2 为了使全程运输成本最小 轮船应以多大速度行驶 解答 令y 0 解得x 40或x 40 舍去 因为函数的定义域为 0 35 所以函数在定义域内没有极值点 又当0 x 35时 y 0 答为了使全程运输成本最小 轮船应以35海里 时的速度行驶 当堂训练 1 2 3 4 5 x 0 y x2 81 9 x 9 x 令y 0 解得x 9 又当x 0 9 时 y 0 x 9 时 y 0 当x 9时函数取最大值 故选c 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 当t 6 8 时 y 0 当t 8 9 时 y 0 故当t 8时 y取极大值也为最大值 1 2 3 4 5 3 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为2 1 则该长方体的最大体积为a 2m3b 3m3c 4m3d 5m3 答案 解析 1 2 3 4 5 从而v x 18x 18x2 18x 1 x 令v x 0 解得x 1或x 0 舍去 1 2 3 4 5 故在x 1处v x 取得极大值 并且这个极大值就是v x 的最大值 从而最大体积为v v 1 9 12 6 13 3 m3 4 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 元 1 2 3 4 5 答案 解析 160 当x 2时 ymin 160 元 5 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x 单位 元 0 x 21 的平方成正比 已知当商品单价降低2元时 每星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 1 2 3 4 5 设商品降价x元 则每星期多卖的商品数为kx2 若记商品在一个星期的获利为f x 则有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 由已知条件 得24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 21 解答 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 1 2 3 4 5 根据 1 f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解答 故当x 12时 f x 取得极大值 因为f 0 9072 f 12 11664 所以当定价为30 12 18 元 时 才能使一个星期的商品销售利润最大 规律与方法 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际