高中数学 第一章 常用逻辑用语 1 命题课件 北师大版选修11.ppt

第一章常用逻辑用语 1命题 学习目标1 理解命题的概念及命题的构成 会判断一个命题的真假 2 理解四种命题及其关系 掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一命题的概念 给出下列语句 若直线a b 则直线a和直线b无公共点 3 6 7 偶函数的图像关于y轴对称 5能被4整除 请你找出上述语句的特点 上述语句有两个特点 都是陈述句 能够判断真假 答案 梳理 1 定义可以 用文字或符号表述的语句叫作命题 2 分类 真命题 的语句叫作真命题 假命题 的语句叫作假命题 判断真假 判断为真 判断为假 思考1 知识点二命题的形式 你能把 内错角相等 写成 若 则 的形式吗 若两个角为内错角 则这两个角相等 答案 思考2 内错角相等 是命题吗 如果是命题 是真命题还是假命题 是命题 是假命题 答案 梳理 命题的形式 若p 则q 其中命题的条件是p 结论是q 由p能推出q 则为真命题 能举一反例即可确定为假命题 思考 知识点三四种命题的概念 给出以下四个命题 1 当x 2时 x2 3x 2 0 2 若x2 3x 2 0 则x 2 3 若x 2 则x2 3x 2 0 4 若x2 3x 2 0 则x 2 你能说出命题 1 与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗 答案 命题 1 的条件和结论与命题 2 的条件和结论恰好互换了 命题 1 的条件与结论恰好是命题 3 条件的否定和结论的否定 命题 1 的条件和结论恰好是命题 4 结论的否定和条件的否定 梳理 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件 那么把这两个命题叫作 如果是另一个命题条件的否定和结论的否定 那么把这两个命题叫作 如果是另一个命题结论的否定和条件的否定 那么把这两个命题叫作 把第一个叫作原命题时 另三个可分别称为原命题的逆命题 否命题 逆否命题 互逆命题 互否命题 互为逆否命题 思考1 知识点四四种命题的关系及其真假判断 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系 原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系 原命题的逆命题与其否命题呢 互逆 互否 互为逆否 答案 思考2 如果原命题是真命题 它的逆命题是真命题吗 它的否命题呢 它的逆否命题呢 原命题为真 其逆命题不一定为真 其否命题不一定为真 其逆否命题一定是真命题 答案 梳理 1 四种命题的相互关系 2 在原命题的逆命题 否命题 逆否命题中 一定与原命题真假性相同的是 3 两个命题互为逆命题或互为否命题时 它们的真假性 逆否命题 没有关系 互逆 逆否 题型探究 例1下列语句 1 是无限循环小数 2 x2 3x 2 0 3 当x 4时 2x 0 4 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 5 一个数不是合数就是素数 6 作 abc a b c 7 二次函数的图像太美了 8 4是集合 1 2 3 中的元素 其中是命题的是 填序号 答案 解析 类型一命题的概念 1 3 5 8 本题主要考查命题的判断 判断依据 一是陈述句 二是看能否判断真假 1 是命题 能判断真假 2 不是命题 因为语句中含有变量x 在没给变量x赋值前 我们无法判断语句的真假 3 是命题 4 不是命题 因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断 5 是命题 6 不是命题 7 不是命题 8 是命题 故答案为 1 3 5 8 一般地 判定一个语句是不是命题 要先判断这个语句是不是陈述句 再看能不能判断真假 其流程图如图 反思与感悟 跟踪训练1下列语句中 是命题的为 红豆生南国 作射线ab 中国领土不可侵犯 当x 1时 x2 3x 2 0 答案 解析 和 都不是陈述句 根据命题定义可知 是命题 命题角度1四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断它们的真假 1 若m n 0 则方程mx2 x n 0有实数根 类型二四种命题及其相互关系 解答 逆命题 若方程mx2 x n 0有实数根 则m n 0 假命题 否命题 若m n 0 则方程mx2 x n 0没有实数根 假命题 逆否命题 若方程mx2 x n 0没有实数根 则m n 0 真命题 2 弦的垂直平分线经过圆心 且平分弦所对的弧 解答 逆命题 若一条直线经过圆心 且平分弦所对的弧 则这条直线是弦的垂直平分线 真命题 否命题 若一条直线不是弦的垂直平分线 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧 真命题 逆否命题 若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧 则这条直线不是弦的垂直平分线 真命题 3 若m 0或n 0 则m n 0 解答 逆命题 若m n 0 则m 0或n 0 真命题 否命题 若m 0且n 0 则m n 0 真命题 逆否命题 若m n 0 则m 0且n 0 假命题 4 在 abc中 若a b 则 a b 解答 逆命题 在 abc中 若 a b 则a b 真命题 否命题 在 abc中 若a b 则 a b 真命题 逆否命题 在 abc中 若 a b 则a b 真命题 四种命题的转换方法 1 交换原命题的条件和结论 所得命题是原命题的逆命题 2 同时否定原命题的条件和结论 所得命题是原命题的否命题 3 交换原命题的条件和结论 并且同时否定 所得命题是原命题的逆否命题 反思与感悟 跟踪训练2命题 若函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 则loga20 a 1 在其定义域内不是减函数b 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内不是减函数c 若loga20 a 1 在其定义域内是减函数d 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 答案 解析 直接根据逆否命题的定义 将其条件与结论进行否定 再互换 值得注意的是 是减函数 的否定不能写成 是增函数 而应写成不是减函数 命题角度2四种命题的相互关系例3若命题p 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题为q 命题q的逆命题为r 则r与p的逆命题的关系是a 互为逆命题b 互为否命题c 互为逆否命题d 同一命题 答案 解析 已知命题p 若x y 0 则x y互为相反数 命题p的否命题q为 若x y 0 则x y不互为相反数 命题q的逆命题r为 若x y不互为相反数 则x y 0 r是p的逆否命题 r是p的逆命题的否命题 故选b 1 判断四种命题之间四种关系的两种方法 利用四种命题的定义判断 巧用 逆 否 两字进行判断 如 逆命题 与 逆否命题 中不同有 否 一个字 是互否关系 而 逆命题 与 否命题 中不同有 逆 否 二字 其关系为逆否关系 2 要判断四种命题的真假 首先 要熟悉四种命题的相互关系 注意它们之间的相互性 其次 利用其他知识判断真假时 一定要对有关知识熟练掌握 反思与感悟 跟踪训练3有下列四个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题 一个实数不是正数就是负数 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 同位角相等 的逆命题 其中真命题的个数是 答案 解析 1 若x y 0 则x y不是相反数 是真命题 实数0既不是正数 也不是负数 所以原命题是假命题 若x 3 则x2 x 6 0 解不等式x2 x 6 0可得 2 x 3 而x 4 3不是不等式的解 故是假命题 相等的角是同位角 是假命题 例4判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 则a 1 的逆否命题的真假 类型三等价命题的应用 解答 方法一原命题的逆否命题 已知a x为实数 若a 1 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为 判断如下 抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 令x2 2a 1 x a2 2 0 则 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 因为a 1 所以4a 7 0 即关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为 故此命题为真命题 方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假 因为关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 所以 2a 1 2 4 a2 2 0 即4a 7 0 解得a 1 所以原命题为真 故其逆否命题为真 引申探究判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为r 则a 的逆否命题的真假 解答 先判断原命题的真假如下 因为a x为实数 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为r 且抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 所以 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 0 所以a 所以原命题是真命题 因为互为逆否命题的两个命题同真同假 所以原命题的逆否命题为真命题 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性 即互为逆否命题的两个命题具有等价性 所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时 可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题 反思与感悟 跟踪训练4证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 的逆否命题为 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 a 2b 1 a2 4b2 2a 1 2b 1 2 4b2 2 2b 1 1 4b2 1 4b 4b2 4b 2 1 0 命题 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 为真命题 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知 结论正确 当堂训练 1 下列语句是命题的是a 2014是一个大数b 若两条直线平行 则这两条直线没有公共点c 对数函数是增函数吗d a 15 2 3 4 5 1 a d不能判断真假 不是命题 b能够判断真假而且是陈述句 是命题 c是疑问句 不是命题 答案 解析 2 命题 垂直于同一条直线的两个平面平行 的条件是a 两个平面b 一条直线c 垂直d 两个平面垂直于同一条直线 只要分清命题中的条件和结论即可 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 命题 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是a 若f x 是偶函数 则f x 是偶函数b 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数c 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数d 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 否命题是既否定条件又否定结论 因此否命题应为 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 答案 解析 2 3 4 5 1 4 命题 若a b 则ac2 bc2 a b c r 与它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为a 0b 2c 3d 4 命题 若a b 则ac2 bc2 a b c r 是假命题 则其逆否命题是假命题 该命题的逆命题为 若ac2 bc2 则a b a b c r 是真命题 则其否命题是真命题 故选b 答案 解析 2 3 4 5 1 5 给出以下命题 若x2 y2 0 则x y不全为零 的否命题 正多边形都相似 的逆命题 若m 0 则x2 x m 0有实根 的逆否命题 其中为真命题的是 否命题是 若x2 y2 0 则x y全为零 真命题 逆命题是 若两个多边形相似 则这两个多边形为正多边形 假命题 1 4m 当m 0时 0 x2 x m 0有实根 即原命题为真 逆否命题为真 答案 解