高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教B版选修22.ppt

2 3数学归纳法 第二章推理与证明 学习目标1 了解数学归纳法的原理 2 掌握用数学归纳法证明等式 不等式等简单的数学命题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点数学归纳法 在学校 我们经常会看到这样的一种现象 排成一排的自行车 如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了 那么整排自行车就会倒下 思考1 试想要使整排自行车倒下 需要具备哪几个条件 答案 答案 1 第一辆自行车倒下 2 任意相邻的两辆自行车 前一辆倒下导致后一辆一定倒下 思考2 利用这种思想方法能解决哪类数学问题 答案 答案一些与正整数n有关的问题 1 数学归纳法一个与自然数相关的命题 如果 当n取时命题成立 在假设当n k k n 且k n0 时命题成立的前提下 推出当n 时命题也成立 那么可以断定 这个命题对n取的所有正整数成立 梳理 第一个值n0 k 1 第一个值后面 2 数学归纳法的框图表示 题型探究 类型一用数学归纳法证明等式 证明 2 假设当n k时 等式成立 即当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可得对于任意的n n 等式都成立 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时 关键在于先 看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时 等式两边会增加多少项 再 两凑 将n k 1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式 凑假设 然后利用归纳假设 经过恒等变形 得到结论所需的形式 凑结论 反思与感悟 证明 左边 右边 等式成立 假设当n k k n k 1 时 等式成立 当n k 1时 当n k 1时 等式也成立 由 可知 对一切n n 等式成立 类型二用数学归纳法证明不等式 证明 即n 1时不等式成立 假设当n k k 1 k n 时不等式成立 那么当n k 1时 所以当n k 1时 不等式成立 1 验证第一个n值时 要注意n0不一定为1 若n k k为正整数 则n0 k 1 2 证明不等式的第二步中 从n k到n k 1的推导过程中 一定要用到归纳假设 不应用归纳假设的证明不是数学归纳法 因为缺少归纳假设 反思与感悟 3 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 常用数学归纳法证明 4 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立得n k 1时也成立 主要方法有比较法 分析法 综合法 放缩法等 证明 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 2 左边 右边 不等式成立 则当n k 1时 2 假设当n k k 1且k n 时 不等式成立 当n k 1时 不等式成立 由 1 2 可知 原不等式对任意n n 都成立 解答 类型三归纳 猜想 证明 例3已知数列 an 中 a2 a 2 a为常数 sn是 an 的前n项和 且sn是nan与na的等差中项 1 求a1 a3 解由已知2sn nan na n an a 当n 1时 s1 a1 所以2a1 a1 a 即a1 a 当n 3时 s3 a1 a2 a3 所以有2 a1 a2 a3 3 a3 a 因为a2 a 2 a1 a 所以a3 a 4 解答 2 猜想an的表达式 并用数学归纳法加以证明 解由a1 a a2 a 2 a3 a 4 猜想 an a 2 n 1 证明 当n 1时 左边 右边 等式成立 当n 2时 由a2 a 2知 等式也成立 假设当n k k 2 时 等式成立 即ak a 2 k 1 那么当n k 1时 所以2ak 1 ak 1 a k 1 ak a k 所以 k 1 ak 1 kak a 将ak a 2 k 1 代入 得 所以当n k 1时 等式也成立 由 知 对任意n n 等式an a 2 n 1 都成立 反思与感悟 1 归纳 猜想 证明 的解题步骤 2 归纳法的作用归纳法是一种推理方法 数学归纳法是一种证明方法 归纳法帮助我们提出猜想 而数学归纳法的作用是证明猜想 观察 猜想 证明 是解答与自然数有关命题的有效途径 解答 跟踪训练3设a 0 f x 令a1 1 an 1 f an n n 1 写出a2 a3 a4的值 并猜想 an 的通项公式 解因为a1 1 an 1 f an 解答 2 用数学归纳法证明你的结论 解 易知当n 1时 结论成立 假设当n k k 1 k n 时 猜想成立 则当n k 1时 即当n k 1时 猜想也成立 当堂训练 1 若命题a n n n 在n k k n 时命题成立 则有n k 1时命题成立 现知命题对n n0 n0 n 时命题成立 则有a 命题对所有正整数都成立b 命题对小于n0的正整数不成立 对大于或等于n0的正整数都成立c 命题对小于n0的正整数成立与否不能确定 对大于或等于n0的正整数都成立d 以上说法都不正确 解析由已知得n n0 n0 n 时命题成立 则有n n0 1时命题成立 在n n0 1时命题成立的前提下 又可推得n n0 1 1时命题也成立 依此类推 可知选c 答案 2 3 4 5 1 解析 2 用数学归纳法证明 1 a a2 a2n 1 a 1 在验证n 1时 左端计算所得项为a 1 ab 1 a a2c 1 a a2 a3d 1 a a2 a3 a4 答案 2 3 4 5 1 解析将n 1代入a2n 1得a3 故选c 解析 3 已知1 2 3 3 32 4 33 n 3n 1 3n na b c对一切n n 都成立 那么a b c的值为 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 4 用数学归纳法证明在第二步证明从n k到n k 1不等式成立时 左边增加的项数为 2k 解析左边增加的项数为2k 1 2k 2k 答案 解析 解答 2 3 4 5 1 5 请观察以下三个式子 归纳出一般的结论 并用数学归纳法证明该结论 2 3 4 5 1 解结论 1 3 2 4 3 5 n n 2 证明 当n 1时 左边 3 右边 3 所以命题成立 假设当n k k 1 k n 时 命题成立 则当n k 1时 2 3 4 5 1 1 3 2 4 k k 2 k 1 k 3 2 3 4 5 1 所以当n k 1时 命题成立 由 知 命题成立 规律与方法 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点 1 验证是基础