江西乐安一中高二数学 29棱柱培优教案.doc

棱 柱 基础知识 概念与分类 棱柱的性质 棱柱 性质 直棱柱的性质 常见的四棱柱性质 直棱柱的直观图学习指导 1.为什么要学习棱柱？在前面第一单元中，我们研究了空间的直线、平面位置关系，其中平行与垂直关系的判定和性质是中心内容，角与距离的证明和计算是进行位置关系定量研究的主要问题，并且培养了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力，如何将所学到的知识熟练掌握以及灵活运用呢？我们在第二单元中借助一些简单几何体，通过研究体的性质，能够对常见的几何体有比较全面的认识，在此基础上加深对前面所学知识的理解和掌握，并会应用.棱柱就是同学们所接触的第一个几何体.2.如何判定一个几何体是棱柱？要紧紧扣住定义去判定，不能说有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱.如图7-3，这是由两个平行六面体垒起来的，有两个面相互平行，其余各面是平行四边形，但它不是棱柱.3.直平行六面体、长方体、直四棱柱、正四棱柱、正方体之间有什么关系？根据课本中的定义来看，它们之间的关系是：直四棱柱直平行六面体长方体正四棱柱正方体.4如何求棱柱的侧面积、表面积和体积？棱柱的侧面积=所有侧面面积的和直棱柱的侧面积=底面多边形周长侧棱长（高）棱柱的表面积=侧面积+上、下底面面积棱柱的体积=底面积高例题精析 例1.平行六面体abcd-a1b1c1d1，底面abcd是菱形，且a1b=a1d.求证：（1）对角面aa1c1c截面a1bd；（2）对角面d1dbb1是矩形.分析由已知条件底面abcd是菱形，可得bdac，故只要证bd平面ac1即可.证明（1）平行六面体的底面abcd的对角线交于o，连结ao.底面abcd是菱形,acbd,且o为bd中点a1d=a1b,a1obd,aca1o=o,bd对角面a1acc1.bd面a1bd.对角面aa1c1c截面a1bd. (2)由(1)可知bd面a1acc1.cc1面a1acc1 bdcc1,平行六面体中cc1bb1,bdbb1.对角面d1dbb1是矩形.解题后的点拨在前面第一单元中,我们学习了空间的直线和平面的位置关系的判定和性质定理,在这一单元中的简单几何体的习题中,同学们要学会将所学到的定理运用到几何体中,提高识图能力,提高分析问题、解决问题的能力,这就要求同学不仅要对第一单元的定理记熟记牢,还要将简单几何体的性质记熟记牢,共同运用,达到解题、证题运用自如的地步.例2.在三棱柱abc-a1b1c1中,ab=a,bc=ca=aa1=a,a1在底面abc的射影o在ac上，（1）求ab与侧面ac1所成的角;(2)若o恰是ac的中点,求此三棱柱的侧面积.分析求线面成角,关键要找出斜线在平面的射影,找出平面的垂线.求三棱柱的侧面积,可分别求出各侧面面积再求和.解(1)a1o底面abc,bc面abc. a1obc,ab=a, bc=ac=a,bcac,aca1o=o,bc面a1acc1,bac为ab与侧面ac1所成的角,bac=45,ab与侧面ac1所成的角为45.(2)o为ac的中点,aa1=ac=a, ao=,a1o= =bc面a1c，bccc1侧面b1bcc1为矩形.s =过o作odab于d,连结a1d.a1o面abca1dab(三垂线定理)od=aosin45=a1d=s侧=解题后的点拨在第一单元中所学到有关角和距离的概念,到几何体中求时,仍然要遵循其定义,按照作图证明求值的步骤去做.例3.已知直三棱柱abc-a1b1c1,侧棱长为2,底面abc中,b=90,ab=1,bc=,d是侧棱cc1上一点,且bd与底面所成角为30.(1)求点d到ab所在直线的距离;(2)求面a1bd与面bdc1b1所成二面角的度数.分析在空间求点到直线的距离,关键是确定垂足的位置.由直三棱柱的侧面和底面垂直的性质,得到ab侧面b1c,ab侧面b1c中的直线bd.则bd的长就是d到ab的距离.求二面角的度数,首先要确定二面角的平面角,由a1b1ab,可知a1b1侧面b1c,二面角棱bd在侧面b1c内,过b1作bd的垂线于e,连结a1与垂足e,则面a1b1ebd,bda1e,a1eb1即为二面角的平面角. 图7-6.解(1)直三棱柱abc-a1b1c1,cc1底面abc.bc为bd在底面的射影,dbc=30.bc=bd=2.侧面b1c底面abc,b=90,ab侧面b1c,bd面b1c,abbd.bd即为d到ab的距离,长为2.(2)在侧面b1c内,过b1作b1ebd,垂足为e,连结a1e.abbd,aba1b1,a1b1bd,a1b1b1e=b1,bd面a1b1e,bda1e,a1eb1即为二面角的平面角.在rtb1eb中,bb1=2,b1bd=60,b1e=bb1sin60=.在rta1b1e中,a1b1=1,tana1eb1=a1eb=30.面a1bd与面bdc1b1所成的二面角的度数为30.解题后的点拨求点到直线的距离,寻求垂足是个难点,利用线面垂直的性质定理找出线线垂直得垂足,是一种转化求法.本题也可以用三垂线定理,得到点到线的距离.巩固提高一.选择题.1.下列命题中正确的是( )(a) 有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱;(b) 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;(c) 底面是正多边形的棱柱是正棱柱;(d) 长方体是直平行六面体. 2.长方体的高等于h,底面积等于s,过相对棱的截面面积等于s,则此长方体的侧面积等于( )(a)(b)(c)(d)3.设一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形,则它的体积为( )(a)(b) 4(c) 6(d) 8 4.直三棱柱abc-a1b1c1的底面为等腰直角abc,c=90,且ac=bc=aa1,则ab1与bc1所成的角为( )(a)30(b)45(c)60(d)90 5.在过长方体的一个顶点的三条棱上各取一点(但不能取该顶点),则经过这三点的截面是( )(a)锐角三角形(b)直角三角形(c)钝角三角形(d)不一定是三角形6.长方体的一条对角线与一个顶点处的三个面所成的角分别是,则有( ) (a) (b) (c) (d)二.填空题: 7.正六棱柱的高为5cm,最长的对角线为13cm,它的侧面积为 ,全面积为 . 8.正方体abcd-a1b1c1d1中,棱长为a, p为棱aa1的中点,q为棱bb1上任意一点,则pq+qc的最小值是 . 9.直平行六面体的各棱长都是a,底面平行四边形有一个角为60,则它的体积是 .10. (92上海考题)如图7-7,直平行六面体a1c的上底面abcd为菱形,bad=60,侧面为正方形. e、f分别是a1b1、aa1的中点,m是ac与bd的交点,则ef与b1m所成角的大小为 .(用反三角函数表示) 11.长方体的体积为8,全面积为28,且长,宽,高成等比数列,则长方体的对角线长等于 . 三.解答题:12.(91三南考题)如图7-8,直三棱柱abc-a1b1c1,acb=90,bac=30, bc=1,aa1=, m是cc1的中点,求证: a1mab1. 13.平行六面体的一个面是有一个角a为60的菱形,侧棱和这个面所成的角为60,已知对角面aa1c1c垂直这个平面,求证:另一个对角面bb1d1d与对角面aa1c1c的面积比为2:3.14.在斜三棱柱abc-a1b1c1中,二面角b-aa1-c,为120,棱aa1与棱bb1、cc1的距离分别为16cm、14cm，若aa1=20cm,求三棱柱abc-a1b1c1的侧面积.15.已知:斜三棱柱abc-a1b1c1的一个侧面aa1c1c是矩形,ac的长等于ab与a1b1的距离,ab=2a1a,求三棱柱各侧面之间的二面角的大小.16.在单位正方体abcd-a1b1c1d1中,a1m= (1)求证: mn是a1b和bd1的公垂线; (2)求mn的长.自我反馈 一.选择题:1.d. (a)中的两个侧面如是不相邻的两个侧面,则不能证出侧棱与底面垂直,因而不是直棱柱, (b)、(c)同(a),均不能证出侧棱与底面垂直,不是直棱柱.2.c.设长方体的底面的长为a宽为b,由已知,则(a+b)2=2s+,s侧=2(a+b)h=2h=2.3.b. 设正四棱柱底面边长为a,高为h, v=a2h=4.4.d.如图7-9,连结b1c,直棱柱abc-a1b1c1,且accb,ac面b1c.bc=bb1,cbb1c1为正方形,b1cbc1.b1c为ab1在面b1c的射影.由三垂线定理,bc1ab1.5.a.设在三条棱长各取一点,与顶点的距离为a, b, c,不妨设abc,则所截截面为三角形,边长即为,显然最长边为,求其所对角的余弦值,利用余弦定理,.最大角为锐角. 6.d.设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,对角线长为,则有 . 二.填空题:7.180cm2,（180+108）cm2.设正六棱柱的底面边长为a cm,由已知,a=6.s侧=.s全=s侧+2s底=180+8.a.将正方体侧面a1b和侧面b1c展开到同一平面内,当p、q、c三点共线时，pq+qc最小.最小值为9.底面平行四边形的面积为v=10.连结ab1,efab1,ab1m即为ef与b1m所成的角.bb1上底面ac,bm为b1m在面ac的射影,又上底面ac为菱形,acbm.则acb1m.在rtamb1中,am=ab, ab1=ab,11.设长,宽,高为a,b,c,对角线长为a,则有 由,得即或, 三.解答题:12.证明:连结ac1b1m,acb=90,在直三棱柱abc-a1b1c1中,则b1c1a1c1b1c1面a1c,a1m面a1c中.b1c1a1m如图7-11,将侧面a1acc1单独拿出研究.证明a1mac1.由已知可得.a1c1=,cc1=,c1m=,在rta1c1m中,tan1= 在rtacc1中,tan2=,1=2.a1mac1 a1m面ac1b1,ab面ac1b1.a1mab1.13.证明:如图7-12.在对角面ac1内,作aea1c1于e, 对角面ac1底面a1c1,ae底面a1c1, aa1e=60,ae=aa1底面a1b1c1d1是菱形,a1c1b1d1,又ae底面a1c1aa1b1d1,aa1b1bb1bb1d1.b1bdd1是矩形.设底面边长为a,b1a1d1=60,b1d1=a.a1c1=a.=14.解:如图7-13,过a作adbb1于d,作aecc1于e,连结de.aa1bb1cc1adaa1,aeaa1dae为b-aa1-c的二面角的平面角.dae=120,且ad=16cm,ae=14cm. 在dae中,由余弦定理, de=s侧=直截面面积侧棱长 =(ad+ae+de)aa1 =1120cm2.15.如图,作adbb1于d,连结cd. acbc,accc1, ac平面bcc1b1,而cd平面bcc1b1, accd. 又cd为斜线ad在平面bcc1b1上的射影, 由三垂线定理的逆定理得cdbb1, rtacd所在平面是侧棱的垂截面, 即acd的三个内角分别是三棱柱各侧面所成二面角的平面角. 作b1eab于e, 又ad=2ac, 在中, 三棱柱各侧面所组成的二面角的平面角分别为16.(1)在a1b1上取点p,使连结pm,pn,则pmb1b, pm平面a1c1b1d1,pna1o1, 在a1b1上取点q,使a1q=连结qn,qm, 则a1b平面qmn, a1bmn, 又b1d1a1c1, o1d1pn,面mn在底面a1b1c1d1上的射影为pn. b1d1mn, mn是a1b和b1d1的公垂线, (2)pm平面a1c1d1, pmpn, 在rtmnp中,走向高考1（94全国理）如图7-14，已知a1b1c1-abc是正三棱柱，d是ac中点，（1）证明：ab1平面dbc1；（2）假设ab1bc1，求以bc1为棱，dbc1与cbc1为面的二面角的度数. 2. (98全国理)如图7-15,在直四棱柱a1b1c1d1-abcd中,当底面四边形abcd满足条件 时,有a1cb1d1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)3. (98全国理)已知斜三棱柱abc-a1b1c1的侧面与底面abc垂直,abc=90, bc=2,ac=2,且aa1a1c,aa1=a1c.(图7-16)(i)求侧棱a1a与底面abc所成角的大小.(ii)求侧面a1abb1与底面abc所成二面角的大小. 解答:1.证明:(1)a1b1c1-abc是正三棱柱. 四边形b1bcc1是矩形.连结b1c交bc1于e,则b1e=ec.连结de.在ab1c中, ad=dc，deab1，de面dbc1，ab1面dbc1，ab1面dbc1.(2)作dfbc,垂足为f,则df面b1bcc1,连结ef,则ef是ed在平面b1bcc1上的射影.ab1bc1,由(1)知ab1de,debc1,则bc1ef,def是二面角的平面角.设ac=1,则dc=abc是正三角形,在 rtdcf中,df=dcsinc=, cf=dccosc=取bc中点g.eb=ecegbc在rtbef中，ef2=bfgf，又bf=bc-fc=，gf=，ef2=，ef=tandef=.def=45.二面角为45.2.acbd.或任何能推导出这个条件的其他条件.如:abcd是正方形,菱形等.3.解:(i)如图7-16,作a1dac,垂足为d.由面a1acc1面abc,得a1d面abc.a1ad为a1a与面abc所成的角.aa1a1c,aa1=a1c,a1ad=45为所求.(ii)作deab,垂足为e,连a1e,则由a1d面abc,得a1eab,a1ed是面a1abb1与面abc所成二面角的平面角.由已知,abbc,得edbc.又d是ac的中点,bc=2,ac=2,de=1,ad=a1d=,tana1ed=a1ed=60.解析1注意棱柱的定义中包含着的性质含义：底面相互平行，侧棱相互平行