高中数学 第一章 计数原理 2 排列 第2课时 排列的应用课件 北师大版选修23.pptVIP

第2课时排列的应用 第一章 2排列 学习目标1 进一步加深对排列概念的理解 2 掌握几种有限制条件的排列 能应用排列数公式解决简单的实际问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点排列及其应用 1 排列数公式 n m n m n 叫做n的阶乘 另外 我们规定0 2 应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 n n 1 n 2 n m 1 n n 1 n 2 2 1 n 1 题型探究 例1 1 有7本不同的书 从中选3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的送法 类型一无限制条件的排列问题 解答 解从7本不同的书中选3本送给3名同学 相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列 所以共有 7 6 5 210 种 不同的送法 2 有7种不同的书 要买3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的送法 解从7种不同的书中买3本书 这3本书并不要求都不相同 根据分步乘法计数原理 共有7 7 7 343 种 不同的送法 典型的排列问题 用排列数计算其排列方法数 若不是排列问题 需用分步乘法计数原理求其方法种数 排列的概念很清楚 要从 n个不同的元素中取出m个元素 即在排列问题中元素不能重复选取 而在用分步乘法计数原理解决的问题中 元素可以重复选取 反思与感悟 跟踪训练1某信号兵用红 黄 蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号 每次可以任挂1面 2面或3面 并且不同的顺序表示不同的信号 则一共可以表示多少种不同的信号 解答 解第1类 挂1面旗表示信号 有种不同的方法 第2类 挂2面旗表示信号 有种不同的方法 第3类 挂3面旗表示信号 有种不同的方法 根据分类加法计数原理 得可以表示的信号共有 3 3 2 3 2 1 15 种 命题角度1元素 相邻 与 不相邻 问题 解答 解 相邻问题捆绑法 男生必须站在一起 即把3名男生进行全排列 有种排法 女生必须站在一起 即把4名女生进行全排列 有种排法 全体男生 女生各看作一个元素全排列有种排法 由分步乘法计数原理知共有 288 种 排法 类型二排队问题 例23名男生 4名女生 这7个人站成一排在下列情况下 各有多少种不同的站法 1 男 女各站在一起 3 男生不能排在一起 解 不相邻问题插空法 先排女生有种排法 把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中 有种排法 故有 1440 种 不同的排法 2 男生必须排在一起 解答 解 捆绑法 把所有男生看作一个元素 与4名女生组成5个元素全排列 故有 720 种 不同的排法 4 男生互不相邻 且女生也互不相邻 解先排男生有种排法 让女生插空 有 144 种 不同的排法 处理元素 相邻 不相邻 问题应遵循 先整体 后局部 的原则 元素相邻问题 一般用 捆绑法 先把相邻的若干个元素 捆绑 为一个大元素与其余元素全排列 然后再松绑 将这若干个元素内部全排列 元素不相邻问题 一般用 插空法 先将不相邻元素以外的 普通 元素全排列 然后在 普通 元素之间及两端插入不相邻元素 反思与感悟 跟踪训练2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单 1 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 解答 解先排歌唱节目有种 歌唱节目之间以及两端共有6个空位 从中选4个放入舞蹈节目 共有种方法 所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 43200 种 方法 2 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种 解先排舞蹈节目有种方法 在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位 恰好供5个歌唱节目放入 所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 2880 种 方法 3 5个歌唱节目中a b必须相邻 c d e也必须相邻 则排列的方法有多少种 解答 解将ab捆绑一起 cde也捆绑一起 应用捆绑法共有 8640 种 方法 解甲 乙 丙自左向右的顺序保持不变 即甲 乙 丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的 故有 840 种 不同的排法 命题角度2定序问题 解答 解甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半 故有 2520 种 不同的排法 例37人站成一排 1 甲必须在乙的前面 不一定相邻 则有多少种不同的排列方法 2 甲 乙 丙三人自左向右的顺序不变 不一定相邻 则有多少种不同的排列方法 反思与感悟 跟踪训练37名师生排成一排照相 其中老师1人 女生2人 男生4人 若4名男生的身高都不等 按从高到低的顺序站 有多少种不同的站法 解答 解7人全排列中 4名男生不考虑身高顺序的站法有种 而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法 所以共有 420 种 不同的站法 命题角度3特殊元素与特殊位置问题 解答 例4从包括甲 乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列 求解下列问题 1 甲不在首位的排法有多少种 解方法一把同学作为研究对象 第一类 不含甲 此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上 有种 第二类 含有甲 甲不在首位 先从4个位置中选出1个放甲 再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上 有种排法 根据分步乘法计数原理 含有甲时共有4 种排法 由分类加法计数原理 共有 2160 种 排法 方法二把位置作为研究对象 第一步 从甲以外的6名同学中选1名排在首位 有种方法 第二步 从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上 有种方法 由分步乘法计数原理 可得共有 2160 种 排法 方法三 间接法 即先不考虑限制条件 从7名同学中选出5名进行排列 然后把不满足条件的排列去掉 不考虑甲不在首位的要求 总的可能情况有种 甲在首位的情况有种 所以符合要求的排法有 2160 种 解答 解把位置作为研究对象 先满足特殊位置 第一步 从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上 有种方法 第二步 从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上 有种方法 根据分步乘法计数原理 有 1800 种 方法 2 甲既不在首位 又不在末位的排法有多少种 解用间接法 总的可能情况是种 减去甲在首位的种 再减去乙在末位的种 注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次 所以还需补回一次种 所以共有 1860 种 排法 解答 解把位置作为研究对象 第一步 从甲 乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置 有种方法 第二步 从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上 有种方法 根据分步乘法计数原理 共有 1200 种 方法 3 甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种 4 甲不在首位 同时乙不在末位的排法有多少种 反思与感悟 在 与 不在 排列问题解题原则及方法 1 原则 解 在 与 不在 的有限制条件的排列问题时 可以从元素入手也可以从位置入手 原则是谁特殊谁优先 2 方法 从元素入手时 先给特殊元素安排位置 再把其他元素安排在其他位置上 从位置入手时 先安排特殊位置 再安排其他位置 提醒 解题时 或从元素考虑 或从位置考虑 都要贯彻到底 不能一会考虑元素 一会考虑位置 造成分类 分步混乱 导致解题错误 跟踪训练4某一天的课程表要排入政治 语文 数学 物理 体育 美术共六节课 如果第一节不排体育 最后一节不排数学 那么共有多少种不同的排课程表的方法 解答 解6门课总的排法是 其中不符合要求的可分为体育排在第一节 有种排法 数学排在最后一节 有种排法 但这两种方法 都包括体育排在第一节 数学排在最后一节 这种情况有种排法 因此符合条件的排法有 504 种 类型三数字排列问题 解答 例5用0 1 2 3 4 5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 1 能被5整除的五位数 解答 2 能被3整除的五位数 3 若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列 an 则240135是第几项 解答 即240135是数列的第193项 数字排列问题是排列问题的重要题型 解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析 找出解题的思路 常见附加条件有 1 首位不能为0 2 有无重复数字 3 奇偶数 4 某数的倍数 5 大于 或小于 某数 反思与感悟 跟踪训练5 1 由数字0 1 2 3 4 5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有多少个 解答 解第一类 首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数 第一步 把1 3 5三个数排列在奇数位上 有种方法 第二步 把0 2 4三个数排列在偶数位上 有种方法 根据分步乘法计数原理 可得首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有 36 个 第二类 首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数 第一步 把1 3 5三个数排列在偶数位上 有种方法 第二步 把0 2 4三个数排列在奇数位上 有种方法 根据分步乘法计数原理 可得首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有 24 个 根据分类加法计数原理可得满足条件的六位数共有36 24 60 个 解第一类 当数字 1 在首位时 其他数字不受限制 其排列方法有种 所以当数字 1 在首位时 满足条件的六位数共有 120 个 第二类 当数字 1 不在首位时 根据数字 1 只能在奇数位上 数字 1 的位置只能在千位或十位 有2种选择 数字 0 不能在首位 有4种选择 其他数字不受条件限制 其排列方法有种 所以当数字 1 不在首位时 满足条件的六位数共有2 4 192 个 根据分类加法计数原理 可得满足条件的六位数共有120 192 312 个 2 由0 1 2 3 4 5六个数字组成的六位数中 数字1排在奇数位上的数有多少个 注 本题中提到的 奇数位 按从最高位开始从左到右依次为奇数位 偶数位来理解 解答 当堂训练 2 3 4 5 1 1 6位选手依次演讲 其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲 则不同的演讲次序共有a 240种b 360种c 480种d 720种 解析 解析第一步 排甲 共有种不同的排法 答案 2 3 4 1 2 有6道选择题 答案分别为a b c d d d 在安排题目顺序时 要求3道选d的题目任意两道不相邻 则不同的排列方法种数为a 72b 144c 288d 36 答案 解析 解析先排a b c 则种数为 6 把选d的三题插入到四个间隔中 则种数为 24 则不同的排序方法种数为6 24 144 5 2 3 4 1 3 计划在某画廊展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 4幅油画 5幅国画 排成一列陈列 要求同一种画必须连在一起 并且水彩画不能放在两端 那么不同的陈列方式的种数为 答案 解析 解析先把每种品种的画看作一个整体 而水彩画只能放在中间 则油画与国画放在两端有种放法 再考虑4幅油画本身排放有种方法 5幅国画本身排放有种方法 故不同的陈列法有种方法 5 2 3 4 1 4 从6名短跑运动员中选出4人参加4 100m接力赛 甲不能跑第一棒和第四棒 问共有 种参赛方案 答案 240 解析 5 2 3 4 1 解析方法一从人 元素 的角度考虑 优先考虑甲 分以下两类 第1类 甲不参赛 有种参赛方案 第2类 甲参赛 可优先将甲安排在第二棒或第三棒 有2种方法 然后安排其他3棒 有种方法 此时有种参赛方案 由分类加法计数原理可知 甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 240 种 5 2 3 4 1 方法二从位置 元素 的角度考虑 优先考虑第一棒和第四棒 则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人 有种方法 其余两棒