高中数学 第二章 平面向量 4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示课件 北师大版必修4.ppt

4 1平面向量的坐标表示4 2平面向量线性运算的坐标表示 学习目标1 了解平面向量的正交分解 掌握向量的坐标表示 2 掌握两个向量和 差及数乘向量的坐标运算法则 3 正确理解向量坐标的概念 要把点的坐标与向量的坐标区分开来 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一平面向量的正交分解 思考 如果向量a与b的夹角是90 则称向量a与b垂直 记作a b 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底 答案 答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底 把一个向量分解为的向量 叫作把向量正交分解 梳理 两个互相垂直 知识点二平面向量的坐标表示 思考1 如图 向量i j是两个互相垂直的单位向量 向量a与i的夹角是30 且 a 4 以向量i j为基底 如何表示向量a 答案 答案a 2i 2j 思考2 在平面直角坐标系内 给定点a的坐标为a 1 1 则a点位置确定了吗 给定向量a的坐标为a 1 1 则向量a的位置确定了吗 答案 答案对于a点 若给定坐标为a 1 1 则a点位置确定 对于向量a 给定a的坐标为a 1 1 此时给出了a的方向和大小 但因为向量的位置由起点和终点确定 且向量可以任意平移 因此a的位置还与其起点有关 所以不确定 思考3 设向量 1 1 o为坐标原点 若将向量平移到 则的坐标是多少 a点坐标是多少 答案 答案向量的坐标为 1 1 a点坐标为a 1 1 1 平面向量的坐标 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个i j作为基底 对于平面内的任意向量a 由平面向量基本定理可知 有且只有一对实数x y 使得a xi yj 我们把实数对 x y 叫作向量a的坐标 记作a x y 在平面直角坐标平面中 i 1 0 j 0 1 0 0 0 梳理 单位向量 2 点的坐标与向量坐标的区别和联系 知识点三平面向量的坐标运算 思考 设i j是分别与x轴 y轴同向的两个单位向量 若设a x1 y1 b x2 y2 则a x1i y1j b x2i y2j 根据向量的线性运算性质 向量a b a b a r 如何分别用基底i j表示 答案 答案a b x1 x2 i y1 y2 j a b x1 x2 i y1 y2 j a x1i y1j 设a x1 y1 b x2 y2 a x1 y1 b x2 y2 梳理 题型探究 类型一平面向量的坐标表示 例1如图 在平面直角坐标系xoy中 oa 4 ab 3 aox 45 oab 105 a b 四边形oabc为平行四边形 解答 1 求向量a b的坐标 解作am x轴于点m 则om oa cos45 am oa sin45 aoc 180 105 75 aoy 45 coy 30 又 oc ab 3 2 求向量的坐标 解答 3 求点b的坐标 解答 在表示点 向量的坐标时 可利用向量的相等 加减法运算等求坐标 也可以利用向量 点的坐标的定义求坐标 一般利用不等式思想求解 即把问题条件转化为关于参数的不等式 组 再解不等式 组 就可以求得参数的取值范围 反思与感悟 跟踪训练1已知边长为2的正三角形abc 顶点a在坐标原点 ab边在x轴上 点c在第一象限 d为ac的中点 分别求向量 的坐标 解如图 正三角形abc的边长为2 则顶点a 0 0 b 2 0 c 2cos60 2sin60 解答 例2已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 设 a b c 1 求3a b 3c 类型二平面向量的坐标运算 解答 解由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 求满足a mb nc的实数m n的值 解答 解 mb nc 6m n 3m 8n a 5 5 向量坐标运算的方法 1 若已知向量的坐标 则直接应用两个向量和 差及向量数乘的运算法则进行 2 若已知有向线段两端点的坐标 则可先求出向量的坐标 然后再进行向量的坐标运算 3 向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 反思与感悟 解答 跟踪训练2已知a 1 2 b 2 1 求 1 2a 3b 解2a 3b 2 1 2 3 2 1 2 4 6 3 4 7 2 a 3b 解a 3b 1 2 3 2 1 1 2 6 3 7 1 例3已知点a 2 3 b 5 4 c 7 10 若 r 试求当 为何值时 1 点p在第一 三象限的角平分线上 类型三平面向量坐标运算的应用 解答 解设点p的坐标为 x y 若点p在第一 三象限的角平分线上 则5 5 4 7 2 点p在第三象限内 解答 当 1 时 点p在第三象限内 1 待定系数法是最基本的数学方法之一 实质是先将未知量设出来 建立方程 组 求出未知数的值 是待定系数法的基本形式 也是方程思想的一种基本应用 2 坐标形式下向量相等的条件 相等向量的对应坐标相等 对应坐标相等的向量是相等向量 由此可建立相等关系求某些参数的值 反思与感悟 跟踪训练3已知向量a 2 1 b 1 2 若ma nb 9 8 m n r 则m n的值为 解析 a 2 1 b 1 2 ma nb 2m n m 2n 9 8 3 故m n 2 5 3 答案 解析 当堂训练 1 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b等于a 7 3 b 7 7 c 1 7 d 1 3 2 3 4 5 1 答案 2 3 4 5 1 答案 解析 3 已知四边形abcd的三个顶点a 0 2 b 1 2 c 3 1 且 2 则顶点d的坐标为 答案 2 3 4 5 1 解析 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知点a 0 1 b 3 2 向量 4 3 则向量等于a 7 4 b 7 4 c 1 4 d 1 4 2 3 4 5 1 5 如图 在6 6的方格纸中 若起点和终点均在格点的向量a b c满足c xa yb x y r 则x y 答案 解析 2 3 4 5 1 解析建立如图所示的平面直角坐标系 设小方格的边长为1 则可得a 1 2 b 2 3 c 3 4 规律与方法 1 向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量 是向量坐标表示的理论依据 向量的坐标表示 沟通了向量 数 与 形 的特征 使向量运算完全代数化 2 要区分向量终点的坐标与向量的坐标 由于向量的