高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教B版选修12.pptVIP

2 1 1合情推理 第二章 2 1合情推理与演绎推理 学习目标1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一归纳推理 思考 1 铜 铁 铝 金 银等金属都能导电 猜想 一切金属都能导电 2 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 以上属于什么推理 答案 答案属于归纳推理 符合归纳推理的定义特征 即由部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 梳理 1 定义 根据一类事物的具有某种性质 推出该类事物的都具有这种性质的推理 叫做归纳推理 简称归纳 2 特征 由到 由到 部分对象 所有对象 部分 整体 个别 一般 科学家对火星进行研究 发现火星与地球有许多类似的特征 1 火星也是绕太阳公转 绕轴自转的行星 2 有大气层 在一年中也有季节更替 3 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等 由此 科学家猜想 火星上也可能有生命存在 他们使用了什么样的推理 知识点二类比推理 思考 答案类比推理 答案 梳理根据两类不同事物之间具有某些类似 或一致 性 推测其中一类事物具有另一类事物类似 或相同 的性质的推理 叫类比推理 简称类比 答案区别 归纳推理是由特殊到一般的推理 而类比推理是由特殊到特殊的推理 联系 在前提为真时 归纳推理与类比推理的结论都可真可假 知识点三合情推理 思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系 答案 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗 思考2 答案归纳推理的结论超出了前提所界定的范围 其前提和结论之间的联系不是必然性的 结论不一定正确 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征 推测正在被研究中的事物的特征 所以类比推理的结果具有猜测性 不一定正确 答案 梳理 1 定义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过 再进行 然后提出 的推理 我们把它们统称为合情推理 简言之 合情推理就是 合乎情理 的推理 2 推理的过程 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 题型探究 命题角度1数 式中的归纳推理例1 1 观察下列等式 类型一归纳推理 据此规律 第n个等式可为 答案 解析 解析等式左边的特征 第1个有2项 第2个有4项 第3个有6项 且正负交错 故第n个等式左边有2n项且正负交错 第1个有1项 第2个有2项 第3个有3项 故第n个等式右边有n项 且由前几个等式的规律不难发现 2 已知f x 设f1 x f x fn x fn 1 fn 1 x n 1 且n n 则f3 x 的表达式为 猜想fn x n n 的表达式为 答案 解析 又 fn x fn 1 fn 1 x 引申探究在本例 2 中 若把 fn x fn 1 fn 1 x 改为 fn x f fn 1 x 其他条件不变 试猜想fn x n n 的表达式 解答 又 fn x f fn 1 x 1 已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形成的特征 提炼出等式 或不等式 的综合特点 运用归纳推理得出一般结论 2 数列中的归纳推理 在数列问题中 常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和 根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式 反思与感悟 答案 解析 2 观察下列等式 答案 解析 命题角度2图形中的归纳推理例2如图 第n个图形是由正n 2边形 扩展 而来 n 1 2 3 则第n个图形中顶点的个数为 a n 1 n 2 b n 2 n 3 c n2d n 答案 解析 解析由已知中的图形我们可以得到 当n 1时 顶点共有12 3 4 个 当n 2时 顶点共有20 4 5 个 当n 3时 顶点共有30 5 6 个 当n 4时 顶点共有42 6 7 个 则第n个图形共有顶点 n 2 n 3 个 故选b 图形中归纳推理的特点及思路 1 从图形的数量规律入手 找到数值变化与数量的关系 2 从图形结构变化规律入手 找到图形的结构每发生一次变化后 与上一次比较 数值发生了怎样的变化 反思与感悟 跟踪训练2黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第n个图案中黑色地面砖的块数是 5n 1 解析观察图案知 从第一个图案起 每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6 公差为5的等差数列 从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6 n 1 5 5n 1 答案 解析 命题角度1数列中的类比推理例3设等差数列 an 的前n项和为sn 则s4 s8 s4 s12 s8 s16 s12成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项积为tn 则t4 成等比数列 类型二类比推理 答案 解析 解析由于等差数列与等比数列具有类比性 且等差数列与和差有关 等比数列与积商有关 因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时 类比等比数列为依次每4项的积成等比数列 下面证明该结论的正确性 设等比数列 bn 的公比为q 首项为b1 已知等差数列与等比数列有类似的性质 在类比过程中也有一些规律 如下表所示的部分结论 其中d q分别是公差和公比 反思与感悟 跟踪训练3若数列 an n n 是等差数列 则有数列bn n n 也是等差数列 类比上述性质 相应地 若数列 cn 是等比数列 且cn 0 则有数列dn n n 也是等比数列 答案 解析 解析数列 an n n 是等差数列 类比猜想 若数列 cn 是各项均为正数的等比数列 命题角度2几何中的类比推理例4如图 在rt abc中 c 90 设a b c分别表示三条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 解答 解如题图 在rt abc中 c 90 设a b c分别表示3条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类似地 如图所示 在四面体p def中 pdf pde edf 90 设s1 s2 s3和s分别表示 pdf pde edf和 pef的面积 相对于直角三角形的两条直角边a b和1条斜边c 图中的四面体有3个 直角面 s1 s2 s3和1个 斜面 s 1 类比推理的一般步骤 反思与感悟 2 中学阶段常见的类比知识点 等差数列与等比数列 空间与平面 圆与球等等 比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下 跟踪训练4在长方形abcd中 对角线ac与两邻边所成的角分别为 cos2 cos2 1 则在立体几何中 给出类比猜想并证明 解答 解在长方形abcd中 于是类比到长方体中 猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 证明如下 当堂训练 1 有一串彩旗 代表蓝色 代表黄色 两种彩旗排成一行 如图所示 那么在前200个彩旗中黄旗的个数为a 111b 89c 133d 67 答案 2 3 4 5 1 解析观察彩旗排列规律可知 颜色的交替成周期性变化 周期为9 每9个旗子中有3个黄旗 则200 9 22余2 则200个旗子中黄旗的个数为22 3 1 67 故选d 解析 2 下列平面图形中 与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是a 三角形b 梯形c 平行四边形d 矩形 答案 2 3 4 5 1 解析 解析因为平行六面体相对的两个面互相平行 类比平面图形 则相对的两条边互相平行 故选c 2 3 4 5 1 答案 解析 4 按照图1 图2 图3的规律 第10个图中圆点的个数为 2 3 4 5 1 答案 解析 40 解析图1中的点数为4 1 4 图2中的点数为8 2 4 图3中的点数为12 3 4 所以第10个图中的点数为10 4 40 5 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间上