江苏省南京市鼓楼区高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题1圆c：x2+y26x2y+1=0的周长是2已知椭圆上的点p到一个焦点的距离为3，则p到另一个焦点的距离为3双曲线=1的实轴长为4过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是5已知动点p的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点p的坐标是6圆（x+2）2+y2=4与圆（x2）2+（y1）2=9有条公切线7顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（1，2）的抛物线的标准方程为8已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是9已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为10如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为米11曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为12如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my4=0交于m，n两点，且m，n关于直线x+y=0对称，若p（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是13已知椭圆，f1，f2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点p，使|pf1|是p到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是14已知：点e（1，0），点a在直线l1：xy+1=0上运动，过点a，e的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点b，线段ab的中点m在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是二、解答题15（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=x，准线方程为x=，求该双曲线的标准方程16已知圆c的圆心为（2，4），且圆c经过点（0，4）（1）求圆c的标准方程；（2）过点p（3，1）作直线l与圆c相交于a，b两点，ab=2，求直线l的方程17某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kw，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kw，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kw；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？18已知抛物线y=x2+ax+与直线y=2x（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为a，b，当a（1，4）时，求线段ab长度的取值范围19已知直线l与圆c：x2+y2+2x4y+a=0相交于a，b两点，弦ab的中点为m（0，1）（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；（2）已知n（0，3），若圆c上存在两个不同的点p，使pm=pn，求实数a的取值范围20已知椭圆c： +=1（ab0）的离心率为，一条准线方程为x=（1）求椭圆c的方程；（2）设p（8，0），m，n是椭圆c上关于x轴对称的两个不同的点，连结pn交椭圆c于另一点e，求证：直线me与x轴相交于定点2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1圆c：x2+y26x2y+1=0的周长是6【考点】圆的一般方程【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆【分析】求出圆的半径，即可求解圆的周长【解答】解：圆c：x2+y26x2y+1=0的标准方程为：（x3）2+（y1）2=9，圆的半径为：3圆的周长为：6故答案为：6【点评】本题考查圆的方程的应用，是基础题2已知椭圆上的点p到一个焦点的距离为3，则p到另一个焦点的距离为7【考点】椭圆的定义【专题】计算题【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点p到一个焦点的距离为3，即可得到p到另一个焦点的距离【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，椭圆上的点p到一个焦点的距离为3p到另一个焦点的距离为103=7故答案为：7【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题3双曲线=1的实轴长为6【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线方程=1中，由a2=9，能求出双曲线的实轴长【解答】解：双曲线方程=1中，a2=9，双曲线的实轴长2a=23=6故答案为：6【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线的实轴长的求法，考查计算能力4过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是x+【考点】圆的切线方程【专题】计算题；集合思想；数学模型法；直线与圆【分析】点是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点p（x0，y0）的切线方程为求得圆的切线方程【解答】解：把点代入圆x2+y2=4成立，可知点是圆x2+y2=4上的一点，则过的圆x2+y2=4的切线方程为，即x+故答案为：x+【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点p（x0，y0）的切线方程为，此题是基础题5已知动点p的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点p的坐标是（5，2）【考点】简单线性规划【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点p即为可行域中的点b，联立，解得故答案为：（5，2）【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6圆（x+2）2+y2=4与圆（x2）2+（y1）2=9有2条公切线【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题；直线与圆【分析】分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数【解答】解：圆c1：（x+2）2+y2=4的圆心c1（2，0），半径r1=2，圆c2：（x2）2+（y1）2=9的圆心c2（2，1），半径r2=3，|c1c2|=，|r1r2|c1c2|r1+r2，圆c1：（x+2）2+y2=4与圆c2：（x2）2+（y1）2=9相交，公切线有2条故答案为：2【点评】本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用7顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（1，2）的抛物线的标准方程为y2=4x或x2=y【考点】抛物线的简单性质【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由于点（1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=mx或x2=ny（m，n0），代入（1，2），解方程可得m，n，进而得到抛物线的标准方程【解答】解：由于点（1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=mx或x2=ny（m，n0），代入（1，2），可得4=m或1=2n，解得m=4或n=，则抛物线的方程为y2=4x或x2=y故答案为：y2=4x或x2=y【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算能力，属于基础题8已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是1k3【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直接由题意可得5kk10求得k的范围得答案【解答】解：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，5kk10，1k3故答案为：1k3【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题9已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e=，化简即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题10如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为2米【考点】抛物线的应用【专题】计算题；压轴题【分析】先建立直角坐标系，将a点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=3代入抛物线方程求得x0进而得到答案【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将a（2，2）代入x2=my，得m=2x2=2y，代入b（x0，3）得x0=，故水面宽为2m故答案为：2【点评】本题主要考查抛物线的应用考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力11曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为2，2）2【考点】曲线与方程【专题】综合题；数形结合；数形结合法；综合法【分析】由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y0）有公共点，当直线过点a（2，0）时，求得 b的值；当直线和半圆相切于点b时，根据圆心到直线的距离等于半径求得b的值，数形结合从而得到b的取值范围【解答】解：由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y0）恰有1个公共点，如图所示：当直线过点a（2，0）时，可得0=2+b，求得b=2当直线和半圆相切于点b时，由圆心到直线的距离等于半径可得 =2，求得b=2，或b=2（舍去），故b的取值范围是2，2）2，故答案为：2，2）2【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题12如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my4=0交于m，n两点，且m，n关于直线x+y=0对称，若p（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是1，【考点】简单线性规划【专题】数形结合法；直线与圆；不等式【分析】直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my4=0交于m、n两点，且m、n关于直线x+y=0对称，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直；求出k再求m，利用线性规划的知识进行求解即可【解答】解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，k=1，圆x2+y2+kx+my4=0的圆心的横坐标为=，圆心坐标（，）在直线x+y=0上，m=1，即不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义为区域内的点（a，b）到定点）d（2，2）的斜率，由图象知，od的斜率最小，此时z=1，bd的斜率最大，此时b（1，0），则z=，即1，故答案为：1，【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线和圆的位置关系求出k，m的值，以及利用数形结合是解决本题的关键13已知椭圆，f1，f2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点p，使|pf1|是p到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；压轴题【分析】设点p到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|pf2|比d的值等于c比a的值，由题意知|pf1|等于2d，且|pf1|+|pf2|=2a，联立化简得到：|pf1|等于一个关于a与c的关系式，又|pf1|大于等于ac，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围【解答】解：设p到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|pf1|=2d，且|pf1|+|pf2|=2a，则|pf1|=2a|pf2|=2a=2d，即d=，而|pf1|（ac，a+c，即2d=，所以得到，由得： +20，为任意实数；由得： +320，解得或（舍去），所以不等式的解集为：，即离心率e，又e1，所以椭圆离心率的取值范围是，1）故答案为：，1）【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题14已知：点e（1，0），点a在直线l1：xy+1=0上运动，过点a，e的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点b，线段ab的中点m在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是x2y2=1【考点】轨迹方程【专题】综合题；方程思想；综合法；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设a（a，a+1），则直线ae的方程为y=（x1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得b的坐标，进而可得线段ab的中点m的坐标，消去a，即可得到结论【解答】解：设a（a，a+1），则直线ae的方程为y=（x1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得b（，1），设m（x，y），则x=（a+），y=（a），消去a，可得x2y2=1故答案为：x2y2=1【点评】本题考查曲线方程，考查学生的计算能力，正确求出b的坐标是关键二、解答题15（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=x，准线方程为x=，求该双曲线的标准方程【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，b2=3，所求椭圆的标准方程为（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b0），又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，所求双曲线标准方程为【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题16已知圆c的圆心为（2，4），且圆c经过点（0，4）（1）求圆c的标准方程；（2）过点p（3，1）作直线l与圆c相交于a，b两点，ab=2，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】（1）求出半径，即可求出圆c的方程（2）由题知，圆心c到直线l的距离d=1，当l的斜率不存在时，l：x=3成立；若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x3），由d=1，求出k，由此能求出直线l的方程【解答】解：（1）由题意，r=2，圆c的标准方程为（x2）2+（y4）2=4；（2）由题知，圆心c到直线l的距离d=1当l的斜率不存在时，l：x=3成立，若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x3），由d=1，得=1，解得k=，l：12x+5y31=0综上，直线l的方程为x=3或12x+5y31=0【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用17某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kw，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kw，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kw；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？【考点】简单线性规划的应用【专题】转化思想；数学模型法；不等式【分析】先设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=7x+12y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可【解答】解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为，目标函数为z=7x+12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x+12y=t，当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点b（20，24）时，利润最大即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=720+1224=428（万元）【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解属中档题18已知抛物线y=x2+ax+与直线y=2x（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为a，b，当a（1，4）时，求线段ab长度的取值范围【考点】二次函数的性质【专题】函数思想；设而不求法；函数的性质及应用【分析】（1）令f（x）=x2+ax+2x，只需证明f（x）有解即可；（2）设出交点坐标，利用根与系数得关系表示出x1+y1和x1x2，带入弦长公式得到关于a得函数求此函数的最值【解答】解：（1）令f（x）=x2+ax+2x=x2+（a2）x+，则=（a2）2+22f（x）有两个不相等的实数根抛物线y=x2+ax+与直线y=2x相交（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+y1=a2，x1x2=|ab|=a（1，4），2（a2）2+26|ab|【点评】本题考查了二次函数零点的存在性判断，弦长公式应用，设而不求是常用方法之一19已知直线l与圆c：x2+y2+2x4y+a=0相交于a，b两点，弦ab的中点为m（0，1）（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；（2）已知n（0，3），若圆c上存在两个不同的点p，使pm=pn，求实数a的取值范围【考点】直线和圆的方程的应用【专题】方程思想；不等式的解法及应用；直线与圆【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为1，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围；（2）利用pm=pn，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y2）2=5a，则圆心c（1，2），半径r=，弦ab的中点为m（0，1）点m在圆内部，即，5a2，即a3弦的中点为m（0