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文档简介
6 3数学归纳法 二 学习目标 1 进一步掌握数学归纳法的实质与步骤 掌握用数学归纳法证明等式 不等式 整除问题 几何问题等数学命题 2 掌握证明n k 1成立的常见变形技巧 提公因式 添项 拆项 合并项 配方等 知识链接 1 数学归纳法的两个步骤有何关系 答使用数学归纳法时 两个步骤缺一不可 步骤 1 是递推的基础 步骤 2 是递推的依据 2 用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点 答与正整数n有关的命题 预习导引 1 归纳法的含义归纳法是一种的推理方法 分和两种 而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性 必须用数学归纳法进行严格证明 由特殊到一般 完全归纳法 不完全归纳法 2 数学归纳法 1 应用范围 作为一种证明方法 用于证明一些与有关数学命题 2 基本要求 它的证明过程必须是两步 最后还有结论 缺一不可 3 注意点 在第二步递推归纳时 从n k到n k 1必须用上归纳假设 正整数 规律方法用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法 即在归纳假设的基础上 通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式 要点二用数学归纳法证明整除性问题例2用数学归纳法证明 f n 2n 7 3n 9能被36整除 证明 当n 1时 f 1 2 1 7 3 9 36 能被36整除 假设n k时 f k 能被36整除 即 2k 7 3k 9能被36整除 则当n k 1时 f k 1 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由归纳假设3 2k 7 3k 9 能被36整除 而3k 1 1是偶数 所以18 3k 1 1 能被36整除 所以f k 1 能被36整除 由 可知 对任意的n n f n 能被36整除 规律方法应用数学归纳法证明整除性问题时 关键是 凑项 采用增项 减项 拆项和因式分解等方法 也可以说将式子 硬提公因式 即将n k时的项从n k 1时的项中 硬提出来 构成n k的项 后面的式子相对变形 使之与n k 1时的项相同 从而达到利用假设的目的 跟踪演练2用数学归纳法证明62n 1 1 n n 能被7整除 证明 1 当n 1时 62 1 1 7能被7整除 2 假设当n k k n 且k 1 时 62k 1 1能被7整除 那么当n k 1时 62 k 1 1 1 62k 1 2 1 36 62k 1 1 35 62k 1 1能被7整除 35也能被7整除 当n k 1时 62 k 1 1 1能被7整除 由 1 2 知命题成立 规律方法用数学归纳法证明几何问题 关键在于分析由n k到n k 1的变化情况 即分点 或顶点 增加了多少 直线的条数 或划分区域 增加了几部分等 或先用f k 1 f k 得出结果 再结合图形给予严谨的说明 几何问题的证明 一要注意数形结合 二要注意要有必要的文字说明 规律方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型 此种问题未给出问题的结论 往往需要由特殊情况入手 归纳 猜想 探索出
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