数学分析中极限交换的条件探索.pdf

1 数学分析中极限交换的条件探索数学分析中极限交换的条件探索 商爱平 绍兴文理学院数学系九八 1 班 浙江 绍兴 312000 摘摘 要要 本文研究数学分析中一类极限交换顺序问题 对函数项级数和含参量积分引入了次一致收敛的概念 在 此基础上 得到函数项级数和含参量非正常积分连续的充要条件 关键词关键词 连续 一致收敛 次一致收敛 一 一 引言引言 通过数学分析的学习我们知道 函数列 函数项级数以及含参量非正常积分所确定的函 数的连续性 可积性和可微性 其实质是极限之间的顺序交换问题 例如 引理引理A 连续性 若函数列 n f 在区间I上一致收敛 且每一项都连续 则其极限函数 在区间I上也连续 这个引理的结论说明 在一致收敛条件下 连续函数列 n f x 中两个独立的变量n和 x 在分别求极限时 其极限顺序可以交换 即 0 lim xx n lim n f x n lim 0 lim xx n f x 0 xf 引理引理B 可积性 若函数列 n f 在区间 ba 上一致收敛 且每一项都连续 则 dxxfdxxf b a n n n b a n lim lim 这个引理的结论说明 在一致收敛条件下 极限运算和积分运算可以交换顺序 引理引理C 可微性 设 n f 为定义在 ba 上的函数列 若 0 x ba 为 n f 的收敛点 n f 的每一项在 ba 有连续的导数 且 n f 在 ba 上一致收敛 则 dx d n lim n f x n lim dx d n f x 这个引理的结论说明 在一致收敛条件下 极限运算和求导运算可以交换顺序 引理引理 A 连续性 若函数项级数 xun 在区间 I 上一致收敛 且每一项都连续 则和 函数在区间上也连续 这个引理的结论说明 在一致收敛条件下 无限项 求和运算和求极限运算可以交换顺 序 即 lim 0 xun xx 0 lim xx xun 引理引理 B 逐项求积 若函数项级数 xun在 ba 上一致连续 且每一项 xun都连 2 续 则 b a n dxxu b a n dxxu 这个引理的结论说明 在一致收敛条件下 逐项求积等于求和后再求积 引理引理C 逐项求导 若函数项级数 xun在 ba 上每一项都有连续的导函数 0 x ba 为 xun的收敛点 且 xun 在 ba 上一致收敛 则 xu dx d n xu dx d n 这个引理的结论说明 在一致收敛条件下 逐项求导等于求和后再求导 引理引理A 连续性 设f为 ba c上的连续函数 若含参量非正常积分 xI c dyyxf 在 ba 上一致收敛 则 xI在 ba 上连续 这个引理的结论说明 当 0 x ba 有 0 lim xx c yxf dy dyyxf c 0 cxx 0 limdyyxf 即在一致收敛条件下 极限运算与非正常积分的可交换性 引理引理B 可积性 设f为 ba c上的连续函数 若 xI c dyyxf 在 ba 上一致收敛 则 xI在 ba 上可积 且 dyyxfdx b ac dxyxfdy c b a 这个引理的结论说明 在一致收敛条件下 积分运算可以交换 引理引理C 可微性 设f和 x f为均为 ba c上的连续函数 若 xI c dyyxf 在 ba 上收敛 dyyxf c x 在 ba 上一致收敛 则 xI在 ba 上可微 且 x I dyyxf c x 这个引理的结论说明 在一定条件下 求积运算和求导运算可以交换 对于引理A 教材 1中明确指出一致收敛只是极限函数连续的充分条件而不是必要条 件 同样 对于函数项级数所确定的函数的连续性 一致收敛也只是充分条件而非必要条件 例如 3 定义在 1 1 上的函数项级数 几何级数 1 LL n xxx 2 的部分和为 n S x xn 1 1 因为x 及自然数m 存在有限 个 开 区 间 1 I j II 2L 覆 盖 了 ba 存 在 一 组 大 于m的 自 然 数 i N 使 得 i Nn i Ix 2 1jiL 有 及m 0 存在有限个 开区间 1 I j II 2L 覆盖了 ba 存在一组大于m的数 i N 使 i Nn i Ix 2 1jiL 有 存在0 1 当 10 xx时 有 3 0 0 当 0 Nn 时 3 000 xSxfxr nn 由于 0 xSN在 0 x连续 故存在 1 0 当 0 xx时 3 0 00 xSxS NN 于是 00 xSxfxr NN 000 000 xrxSxSxfxf NNN 这表明对任意 0 x ba 存在 0 x的 领域 0 x I当 0 x Ix 时 有 0 xrN 取1 m 根据级数 1 的次一致收敛性 存在开区间 k I以及相 应的mNk 使 0 x k I 且 3 使 00 xx k I 且当 00 xxx时 有 3 0 xSxS KK NN 5 因此当 0 xx时 便有 存在0 1 当 10 xx时 有 3 00 m 存在 0 Nm 当 0 Nn 时 3 00 n cc dyyxfdyyxf 又因 yxf为 cba上连续 所以 n c dyyxf 在 ba 上也连续 故存在 1 0 当 0 xx时 有 3 0 n c n c dyyxfdyyxf 于是 c n c dyyxfdyyxf cc dyyxfdyyxf 0 n c n c dyyxfdyyxf 0 c n c dyyxfdyyxf 00 这表明对任意 0 x ba 存在 0 x的领域 0 x I 当 0 x Ix 时 有 c n c dyyxfdyyxf 取cm 根据含参量非正常积分 2 的次一致收敛性 在 开区间 k I以及相应的mNk 使 0 x k I 当 k Nn 时 有 c n c dyyxfdyyxf 3 使 00 xx k I 且当 00 xxx 时 有 3 0 n c n c dyyxfdyyxf 因此当 0 xx时 有 0 xIxI cc dyyxfdyyxf 0 即 xI在 0 x处连续 由 0 x的任意性知 xI在 ba 上连续 致谢 此论文是在汪文珑老师的指导下完成的 在此表示衷心的感谢 参考文献 参考文献 1 华东师范大学 数学分析 M 北京 高等教育出版社 1991 10 2 汪文珑 数学分析选讲 M 2000 9 Exploration about condition of changing limit in mathematical analysis Shang Aiping 98 1 Department of Mathematics Shaoxing College of Arts and Science Zhejiang Shaoxing 312000 Abstract In this paper we study a kind of question about limit change in sequence quote second uniformly convergence to series with function and integral with parameter On this basic we can get a sufficient and ne