高中数学 第6章 推理与证明 6.2 直接证明与间接证明 6.2.2 间接证明：反证法课堂讲义配套课件 湘教版选修22.ppt

6 2 2间接证明 反证法 学习目标 1 了解间接证明的一种基本方法 反证法 2 了解反证法的思考过程 特点 3 结合已经学过的数学实例 理解反证法的推理过程 证明步骤 体会直接证明与间接证明的区别与联系 知识链接 1 有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题 这种说法对吗 为什么 答这种说法是错误的 反证法是先否定命题 然后再证明命题的否定是错误的 从而肯定原命题正确 不是通过逆否命题证题 命题的否定与原命题是对立的 原命题正确 其命题的否定一定不对 2 反证法主要适用于什么情形 答 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 如果从正面证明 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明 只要研究一种或很少的几种情形 预习导引 1 间接证明的含义间接证明不是从正面确定论题的真实性 而是证明它的为假 或改证它的为真 以间接地达到目的 是间接证明的一种基本方法 反论题 等价命题 反证法 2 反证法的概念一般地 先假设原命题的 从这个假设出发 经过推理 得出与已知事实相矛盾的结果 这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立 从而间接肯定了原命题结论成立 像这样一种间接证法 称为 3 反证法证题的一般步骤 1 2 3 4 运用反证法的关键是 否定成立 反证法 反设 归谬 结论 导出矛盾 规律方法对于含有 至多 至少 的命题适合用反证法 对于此类问题 需仔细体会 至少有一个 至多有一个 等字眼的含义 弄清结论的否定是什么 避免出现证明遗漏的错误 跟踪演练1已知a b c d r 且a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 证明假设a b c d都是非负数 a b c d 1 a b c d 1 又 a b c d ac bd ad bc ac bd ac bd 1 这与已知ac bd 1矛盾 a b c d中至少有一个是负数 要点二用反证法证明不存在 唯一性命题例2求证对于直线l y kx 1 不存在这样的实数k 使得l与双曲线c 3x2 y2 1的交点a b关于直线y ax a为常数 对称 规律方法证明 唯一性 问题的方法 唯一性 包含 有一个 和 除了这个没有另外一个 两层意思 证明后一层意思时 采用直接证法往往会相当困难 因此一般情况下都采用间接证法 即用反证法 假设 有另外一个 推出矛盾 或同一法 假设 有另外一个 推出它就是 已知那一个 证明 而用反证法有时比用同一法更方便 跟踪演练2求证方程2x 3有且只有一个根 证明 2x 3 x log23 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则2b1 3 2b2 3 两式相除得2b1 b2 1 若b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 若b1 b2 0 则2b1 b2 1 这也与2b1 b2 1相矛盾 b1 b2 0 则b1 b2 假设不成立 从而原命题得证 规律方法 1 当结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题 此类问题的反面比较具体 适于应用反证法 例如证明异面直线 可以假设共面 再把假设作为已知条件推导出矛盾 2 反证法必