高中数学 第二章 推理与证明章末复习课课件 新人教B版选修22.ppt

章末复习课 第二章推理与证明 学习目标1 理解合情推理与演绎推理的区别与联系 会利用归纳与类比推理进行简单的推理 2 加深直接证明和间接证明的认识 会应用其解决一些简单的问题 3 进一步掌握数学归纳法的实质与步骤 掌握用数学归纳法证明等式与不等式问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 合情推理 1 归纳推理 由到 由到的推理 2 类比推理 由到的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 部分 个别 整体 一般 特殊 特殊 2 演绎推理 1 演绎推理 由到的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 一般 特殊 大前提 小前提 结论 3 直接证明和间接证明 1 直接证明的两类基本方法是和 是从已知条件推出结论的证明方法 是从结论追溯到条件的证明方法 2 间接证明的一种方法是 是从结论反面成立出发 推出矛盾的方法 综合法 分析法 综合法 分析法 反证法 4 数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题 证明时 它的两个步骤缺一不可 它的第一步 归纳奠基 是证当n 时结论成立 第二步 归纳递推 是假设当n k n 且k n0 时结论成立 推得当n 时结论也成立 n0 k 1 k 题型探究 类型一合情推理的应用 例1 1 有一个奇数列1 3 5 7 9 现在进行如下分组 第一组含一个数 1 第二组含两个数 3 5 第三组含三个数 7 9 11 第四组含四个数 13 15 17 19 试观察每组内各数之和并猜想f n n n 与组的编号数n的关系式为 f n n3 解析 答案 解析由于1 13 3 5 8 23 7 9 11 27 33 13 15 17 19 64 43 猜想第n组内各数之和f n 与组的编号数n的关系式为f n n3 2 在平面几何中 对于rt abc ac bc 设ab c ac b bc a 则 a2 b2 c2 cos2a cos2b 1 rt abc的外接圆半径为r 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论 试对其中一个猜想进行证明 解答 解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象 设3个两两垂直的侧面的面积分别为s1 s2 s3 底面面积为s 设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a b c 下面对 的猜想进行证明 如图在四面体a bcd中 ab ac ad两两垂直 平面abc 平面abd 平面acd为三个两两垂直的侧面 设ab a ac b ad c 即所证猜想为真命题 1 归纳推理中有很大一部分题目是数列内容 通过观察给定的规律 得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法 2 类比推理重在考查观察和比较的能力 题目一般情况下较为新颖 也有一定的探索性 反思与感悟 跟踪训练1 1 观察下列图形中小正方形的个数 则第n个图形中有 个小正方形 解析 答案 解析第1个图有3个正方形记作a1 第2个图有3 3个正方形记作a2 第3个图有6 4个正方形记作a3 第4个图有10 5个正方形记作a4 正方形的个数构成数列 an 则a2 a1 3 1 a3 a2 4 2 a4 a3 5 3 an an 1 n 1 n 1 1 2 n 1 得an a1 3 4 5 n 1 2 若数列 an 为等差数列 sn为其前n项和 则有性质 若sm sn m n n 且m n 则sm n 0 类比上述性质 相应地 当数列 bn 为等比数列时 写出一个正确的性质 答案 数列 bn 为等比数列 tm表示其前m项的积 若tm tn m n n m n 则tm n 1 类型二综合法与分析法 证明 例2已知x y 0 x y 1 试分别用综合法与分析法证明 log2 x2y2 1 log2x log2y log217 2 证明方法一 分析法 因为x y 0 所以要证log2 x2y2 1 log2x log2y log217 2 由于x y 0 于是为了证明上式成立 只需证明4x2y2 4 17xy 即证4x2y2 17xy 4 0 所以 式成立 这就证明了log2 x2y2 1 log2x log2y log217 2成立 方法二 综合法 即log2 x2y2 1 log2x log2y log217 2 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法 分析法是倒溯 综合法是顺推 二者各有优缺点 分析法容易探路 且探路与表述合一 缺点是表述易错 综合法条件清晰 易于表述 因此对于难题常把二者交互运用 互补优缺 形成分析综合法 其逻辑基础是充分条件与必要条件 反思与感悟 跟踪训练2设a 0 b 0 a b 1 求证 试用综合法和分析法分别证明 证明 证明方法一 综合法 因为a 0 b 0 a b 1 方法二 分析法 因为a 0 b 0 a b 1 类型三反证法 例3已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an sn 2 1 求数列 an 的通项公式 解答 解当n 1时 a1 s1 2a1 2 则a1 1 又an sn 2 所以an 1 sn 1 2 2 求证 数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差数列 证明 证明假设存在三项按原来顺序成等差数列 记为ap 1 aq 1 ar 1 p q r 且p q r n 又因为p q r 所以r q r p n 所以 式左边是偶数 右边是奇数 等式不成立 所以假设不成立 原命题得证 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题 涉及 都是 都不是 至少 至多 等形式的命题时 也常用反证法 反思与感悟 证明 因为x 0且y 0 所以1 x 2y且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知x y 2矛盾 类型四数学归纳法 例4观察下列四个等式 第一个式子1 1 第二个式子2 3 4 9 第三个式子3 4 5 6 7 25 第四个式子4 5 6 7 8 9 10 49 1 按照此规律 写出第五个等式 解答 解第五个等式 5 6 7 13 81 2 请你做出一般性的猜想 并用数学归纳法证明 解答 解猜想第n个等式为n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 证明 当n 1时 左边 1 右边 2 1 2 1 所以等式成立 假设当n k k 1 k n 时 等式成立 即有k k 1 k 2 3k 2 2k 1 2 那么当n k 1时 左边 k 1 k 2 3k 2 3k 1 3k 3k 1 k k 1 k 2 3k 2 2k 1 3k 3k 1 2k 1 2 2k 1 3k 3k 1 4k2 4k 1 8k 2k 1 2 2 k 1 1 2 右边 2 k 1 1 2 即当n k 1时 等式也成立 根据 知 等式对任意n n 都成立 1 用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型 其关键点在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始n0是多少 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要利用当n k时的式子 即利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 反思与感悟 解答 解答 2 求数列 an 的通项公式 下面用数学归纳法证明 那么当n k 1时 即当n k 1时 猜想也成立 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 解析 1 观察按下列顺序排序的等式 9 0 1 1 9 1 2 11 9 2 3 21 9 3 4 31 猜想第n n n 个等式应为a 9 n 1 n 10n 9b 9 n 1 n 10n 9c 9n n 1 10n 1d 9 n 1 n 1 10n 10 解析由已知中的式子 我们观察后分析 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号 等式右边是一个等差数列 根据已知可以推断 第n n n 个等式为9 n 1 n 10n 9 故选b 2 在平面直角坐标系中 方程 1表示x y轴上的截距分别为a b的直线 类比到空间直角坐标系中 在x y z轴上截距分别为a b c abc 0 的平面方程为 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 解析 在平面直角坐标系中 方程表示的图形是一条直线 具有特定性质 在x轴 y轴上的截距分别为a b 类比到空间坐标系中 在x y z轴上截距分别为a b c abc 0 的平面方程为 故选a 2 3 4 5 1 答案 解析 解析方程x3 ax b 0至少有一个实根的反面是方程x3 ax b 0没有实根 故选a 3 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是a 方程x3 ax b 0没有实根b 方程x3 ax b 0至多有一个实数c 方程x3 ax b 0至多有两个实根d 方程x3 ax b 0恰好有两个实根 4 如图 这是一个正六边形的序列 解析 答案 解析图 1 共6条边 图 2 共11条边 图 3 共16条边 其边数构成以6为首项 5为公差的等差数列 则图 n 的边数为an 6 n 1 5 5n 1 2 3 4 5 1 则第n个图形的边数为 5n 1 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 所以取a 25 当n 1时 已证结论正确 2 3 4 5 1 则当n k 1时 2 3 4 5 1 即当n k 1时 结论也成立 故a的最大值为25 规律与方法 1 归纳和类比都是合情推理 前者是由特殊到一般 部分到整体的推理 后者是由特殊到特殊的推理 但二者都能由已知推测未知 都能用于猜想 推理的结论不一定为真 有待进一步证明 2 演绎推理与合情推理不同 是由一般到特殊的推理 是数学中证明的基本推理形式 也是公理化体系所采用的推理形式 另一方面 合情推理与演绎推理又是相辅相成的 前者是后者的前提 后者论证前者的可靠性 3 直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法 直接证明的两类基本方法是综合法和分析法 综合法是从已知条件推导出结论的证明方法 分析法是由结论追溯到条件的证明方法 在解