江西省信丰中学高三数学 三角法与向量法解平面几何题复习试题.doc

第八讲 三角法与向量法解平面几何题相关知识：在中,r为外接圆半径, 为内切圆半径, ,则1,正弦定理: ,2,余弦定理: , , .3,射影定理: , , .4,面积: = = （海伦公式） .a类例题例1在abc中，已知b=asinc ,c=asin(900-b)，试判断abc的形状。例1解 由条件c = asin(900 - b) = acosb = . abc是等腰直角三角形。例2（1）在abc中，已知cosa = ，sinb = ，则cosc的值为（ ）a b c d 例2解 c = p -(a + b),cosc = -cos(a + b),又a(0, p),sina = ,而sinb = 显然sina sinb ,a b , a为锐角, b必为锐角, cosb = cosc = - cos(a + b) = sinasinb - cosacosb = .选a.说明 abc中,sina sinb a b . 根据这一充要条件可判定b必为锐角。（2）在rtabc中，c90，a，外接圆半径为r ，内切圆半径为r ，当为 时， 的值最小。解答由题意，r ，r （其中a、b、c为rtabc的三条边长，c为斜边长） sin（ ）1， 1当且仅当 时， 的最小值为 1。例3 在abc中， ，求证：b、a、c成等差数列。例3证明 由条件得 sin（ab）sinc，sin（ab）sincsinb，sinbsin（ab）sin（ab）2cosasinbsinb0，cosa ，a60b、a、c成等差数列。例4 abc中，三个内角a、b、c的对边分别为 ，若 ，求角c的大小。例4解 由 =cosb，故b= ，ac= .由正弦定理有： ， 又sina=sin( -c)= ，于是 sinc=cosc， tanc=1, c= 。情景再现1 abc的三个内角a、b、c的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：a=2b.2 abc中，内角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且 （1）求 的值（2）设 ，求 的值3 已知a、b、c是abc的三个内角，y=cota+ .（1） 若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.b类例题例5 如图，某园林单位准备绿化一块直径为bc的半圆形空地，abc外的地方种草，abc的内接正方形pqrs为一水池，其余的地方种花.若bc=a，abc= ，设abc的面积为s1，正方形的面积为s2（）用a， 表示s1和s2；（）当a固定， 变化时，求 取最小值时的角 。例5解（1） 设正方形边长为 ，则 （2）当 固定， 变化时， 令 ，用导数知识可以证明：函数 在 是减函数，于是当 时， 取最小值，此时 。例6如图，a、b是一矩 oefg边界上不同的两点，且aob=45,oe=1,ef= ，设aoe=.（1）写出aob的面积关于的函数关系式f(); （2）写出函数f(x)的取值范围。例6解：（1）oe=1，ef= eof=60当0，15时，aob的两顶点a、b在e、f上，且ae=tan,be=tan(45+)f()=saob= tan(45+)tan= = 当a（15,45时，a点在ef上，b点在fg上，且oa= ，ob= =saob= oaobsin45= sin45= 综上得：f()= （2）由（1）得：当0， 时f()= , 1且当=0时，f()min= ；