探究与拓展一道经典数学高考题.pdf

2 0 1 5年 7月 新颖试题 探究与拓展一道经典数学高考题 一 问题 由来 题 目 2 0 0 8 高考 数 学江 D 苏卷1 7 题 如图1 某地有三家工 厂 分别位于矩形A B C D的两个顶 点A B及 C D的 中 点 P处 A B A 安徽省浮 山中学吴约 中 P 教 学 参谋 2 选择函数模型 则Y 1 0 e o s O e o s O 2 0 l O s i n O s i n O 二 C O S 2 0 c o s z 0 4 0 得 s i n 1 因 为 0 号 所 以 a 詈 曰 当 0 詈 时 y 0 y 是 的 增 函 数 所 以 当 詈 时 n 1 0 十 1 0 了 这时点P f 立 于线黜 B的中垂线上 在矩形区域内且距离 二 问题探究 上述的点0 与三角形中的费马点有何关联呢 1 背景再现 1 费马点定义 在一个多边形中 到每个顶点距离 之和最小的点叫做这个多边形的费马点 2 如果三角形有一个内角大于或等于1 2 0 这个内 角的顶点就是费马点 如果3 个内角均小于1 2 0 则在三角 形内部对三边张角均为1 2 0 的点 就是三角形的费马点 3 如何作一个三角形的费马点 作法 作一三内角均小于 1 2 0 o 的Z A B C 分别以A B A C 为 一 边 向外侧作正AA B D与 AC E 连接C D B E 交于点P 则P 点 即 为所求 如图2 4 如何求一个三角形的费马 点 F 当一个三角形 的最大角小于 图2 D 1 2 0 时 以每一个边 向外侧作等边三角形 连接该等边 三角形的顶点和该边的对角顶点 三条连线的交点蹴 是费马点 高 中 版中 毒 教 参 新颖试题 2 0 1 5年 7月 B G 同上 则B B B D 则点J1 为最佳位置 图 6 I奎 l 7 探究拓展二 如果不计较结点的个数 有没有更短 的线路 如图8 在AA P D AB P C 中分别作 出费马点E F 费 马点定义可证三角形任意两边之和大于费马点到三顶 点距离之和 南AP P D AE P E DE P B P C B F C F P F 得 A C D A E P E DE BF CF PF 又E P F 三点共线 所以AE D E 日 F C n E F b y z 满 足条件 十 旷一 c y 2 一 船 b 求 y 的值 l 产 6 解析 这道代数问题似乎与费 马点没有直接关系 若根据方程组B 的特点 构造一个特殊三角形来 解 由于等式右端为 b 2 a 2 b 因 此构造一个R t AA B C 两条直角边 分别为A B a A C b A 9 0 并在 图9 R t AA B C 内找一点0 连接O A O B O C 使得它们之间的 夹角为1 2 0 如图9 设 O B y O C z 由余弦定理知 y n 6 之间的关系满足上述已知的方程组条件 再将 AA B O 绕A点逆时针旋转6 0 得到AA B 0 易知B 0 D C 四点共线 且B 0 y 0 O x O C z 曰 A C 1 5 0 即 日 C y 在 A曰 C 中 4 B r 上 AC b B AC 1 5 0 贝 0 由余 弦定理知B C 6 2 2 a b c o s l 5 0 O a 2 b 2 故 v 6 2 2 a b c o s l 5 0 6 2 3 评 注 费马点也 可 以看作是 一 种几何 模 型 在 一 些 代 数 问题 中 建构相应 的数 学模型 问题就 会 变得 非常 简单 这展 示 了数 与形 的有机 结合 对 问题 的解决 深 化 效 果 明显 2 0 1 5 年 7月 新颖试题 3 思维探究拓展 思维探究拓展一 解题思维需要有 第二过程 的暴 露 数学解题思维过程的暴露是一个不断分析解题过 程 循环提升理解能力 的探究过程 在此过程 中 既有 第一过程 的思维暴露 又有 第二过程 的思维暴露 是解题思维的全过程暴露 在内容上 既包括数学家的 思维 又包括教师 学生的思维 教学课堂应是这三种思 维 的同时暴露 1 停留在 第一过程 的思维暴露是不完整的 解题教学中暴露数学解题思维过程 结论的发现过 程 思路的探求过程 方法 的提炼过程等称为 第一过 程 的暴露 与解题思路的探求相比 初步解法的生成 其本身仍然是一个隐含在知识或结论中的思维过程 依 然是解题者不懈努力 有效思考的真实过程 如果其解 法是粗糙的 它就为我们继续探索深层结构准备了研究 的素材与园地 如果其解法是深刻的 它就为我们的模 仿 练习提供了范例和榜样 有利于我们直接领悟问题 的深层结 构 例3 如图1 O 所示 半径为2 c m 圆 心角 为9 0 的扇形 O A B的 上有 一运 动的点 从点P 向半径O A引垂线P H交 O A于点日 设 AO P H的内心为 当点P 在 上从点 运动到点日 时 求内心 A 所经过的路径长 解析 如图1 1 A O P 与 O P H的 角平分线的交点为点j 因为 P HO 9 0 所 以 H P O H O P 9 0 又P 分别平分 H P O HO P 1 所以 P I O 1 8 0 一 l一 9 0 1 3 5 日 图 l O 教 学 参谋 竹 2 2 进行 第二过程 的思维暴露是有道理的 解题过程中在暴露结论发现 思路探求的基础上 自觉分析 继续反思数学教学 解题的思维过程称为 第 二过程 的暴露 第一过程的暴露主要反映了将题作为对象 将解作 为 目的的认知活动 它实现了有序信息向大脑的线性输 入 而第二过程的暴露不仅要将题作为对象 将解作为 目标 而且要将包括 题与解 在内的解题活动作为对 象 将智力的开发 促进人的发展作为目标 将历时眭的 线性材料再组织为一个共时性的立体结构 是在更高层 面上的再认知活动 具有鲜明的元认知特征和具体的元 认知开发实效 思维的广阔性 灵活性 深刻性 批判性 等品质都将得到有效的锻炼和提升 通过揭示为题的深 层结构 对学生隐性的数学领悟施加显意识的影响 为 数学直觉的诱发铺设必要的逻辑通道 产生协同效应 思维探究拓展二 典型例题的探究拓展是一种案例 研究 在上面的解答过程中 思维很是精妙 结果又耐人 寻味 似乎不必用到 A O B 9 0 如果 厶4 O B 不是9 0 o 那 么还能求解吗 上面的求解是不是有破绽呢 于是又进 行 了下面 的探究 0 问题1 如果 A O B 9 0 例 如 厶4 O B 1 2 0 如 图1 4 所示 内心 蹭j 路径长为 与 的和 与问题 1 相似 同理可得 I C D B O D 1 8 0 一 A O B 6 0 O C D 9 0 所 以 0C 3 0 0 C 图 l 3 图 1 4 0 D 的长为 6 订 黼 路径长 为 孚竹 6 丁2 X 这道题 的解题方法非 常巧妙 动态弦转化定弦 通 过这样一转化 就解决了这个问题 再经过深入分析 不 高 中版 盥 教 参 解法探究 2 0 1 5年 7月 试析高中学生数学运算能力的组成要素 福建省尤溪第一 中学 肖兰珠 运算能力 逻辑思维能力和空间想象能力被喻为 数学三大基本能力 而笔者认为在三大基本能力中犹 以运算能力为基础 这里的运算能力不仅仅是计算能 力 它有着丰富的内涵 包括对基本概念 基本公式灵 活运用的能力 还包括综合与分析条件 寻求简单路径 的能力 可以说运算能力是学生数学成绩的决定性要 素之一 因此 有必要从数学运算能力的组成成分上对 其解读 以更好地培养学生的运算能力 笔者认为数学 的运算能力主要包括如下几个方面 首先 依据对象的 特点 选择适 当数学模型的能力 其次 依据对象的特 点 选择恰当运算方法的能力 第三 依据对象的特点 挖掘隐含信息的能力 第四 依据对象的特点 运用恰 当数学思想的能力 第五 依据对象的特点 选择恰 当 运算路径的能力 一 依 据对 象 的特 点 选 择 适 当数学 模 型 的能 力 数学模型在本质上是内在数学各要素的结构关系 外在表现上往往被抽象成建立在数学符号基础上的等 式 不等式 图像 图表等内容 简单地讲 选择适当的数 学模型的能力就是将问题归入哪类知识点的判断能力 从这一层面讲 提升学生运算能力的第一要求 即提升学 生的数学模型选择能力 数学题 目往往存在着知识交汇 的情况 因此每道题 目通常会存在至少一种数学模型 管 AO B 为多少度 都能求出这种三角形内心的路径长 而在分析思考的过程中 开发 提升了学生的思维 数学解题案例渗透着对特定数学问题的深刻反思 反映了数学解题实践的经验与方法 蕴含着一定程度的 理论 原理 是 了解解 题教学 的窗 口 是数学解 题理论 的 故乡 是数学教师发展的阶梯 数学解题是智慧创造活 动 谁也无法教会我们所有的题 目 重要的是 通过有限 道题的解题分析 案例研究 探究拓展来领悟解无限道 题的数学机智 人生有尽 题海无涯 思维有路 探究无限 探究拓 展高考数学题的目的就是要通过有限个问题 的思考去 领悟无限个问题的思维方法 课堂是教师教学的实践 场所 是教师成长和发展的主阵地 是教师生命价值得 以提升的现实起点 实践情境和经验背景构成了教师 构建知识的专业场所 以教学中面临的各种具体问题 为研究对象 既注重实际问题 又注重概括提升 总结 经验和探究规律 一方面有助于教师数学思想的启迪 数学人文精神的培育 数学情趣 意志 风格的塑造 另 一 方面又有助于构建体现新课程理念的教学模式与教 学风格 有助于形成驾驭新课程教学的有效经验和教 育智慧 使学生从中受益 从而提高他们的创新意识 和 创新能力 解题不 回顾 如同走进宝山空手回 作为一 个平凡的数学教育工作者 笔者想通过这样的探究拓 展 期望学生以研究的观点去对待解题 将每一次解题 当作对数学真理 的一次探究和再发现过程 解题之后 若善于进行命题的引申 探究与拓展 对优化学生的思 维品质 增强学生提出问题 分析问题与解决问题的基 本技能会有所帮