江苏省响水中学高中数学 第三章《第5课时 对数的运算性质与换底公式》导学案 苏教版必修1.doc

第5课时对数的运算性质与换底公式1.掌握对数的运算性质,能运用运算性质进行对数的有关运算.2.理解换底公式,能运用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数,并进行化简或计算.人民网北京2013年11月23日电:23日白天,华北、黄淮和江淮等地连续第三天出现雾霾天气.其中,霾主要出现在河北中南部和东部、北京南部、天津、辽宁中东部及黄淮、江淮等地.中央气象台23日18时继续发布霾黄色预警.雾霾天气已经严重影响了人们的正常生活,为治理雾霾天气,政府采取了多种强有力的措施,其中有的城市着重强化增加城市的绿地面积.假设从2014年起逐年增加城市绿化面积,若每年新增绿地亩数比上一年增加10%,从而力争逐步将城市的绿地面积翻两番.问题1:如何计算该城市在哪一年要实现绿地面积翻两番?若设该市2013年年底有绿地面积a,则经过1年,即2014年的绿地面积是a+a10%=a(1+10%);再经过一年,即2015年的绿地面积是a(1+10%)2;经过3年,即2016年的绿地面积是a(1+10%)3,经过x年的绿地面积是a(1+10%)x,依题意,a(1+10%)x=4a,即(1+10%)x=4,x=log1.14=2lg2lg1.115.大约经过15年,也就是到2028年该市的绿地面积将翻两番.问题2:对数的运算性质如果a0且a1,m0,n0,那么:loga(mn)=;logamn=;logamn=(nr).问题3:对数运算性质loga(mn)=logam+logan能否推广?可以推广到n个数的情形,即:loga(m1m2m3mn)=(其中a0,a1,m1,m2,m3,mn均大于0).问题4:(1)换底公式:已知a0,b0,且a1,c1,把对数logab化成底数为c的对数表示,即logab=.已知a0,b0,且a1,m,nn*,把对数logambn化成底数为a的对数表示,即logambn=.(2)换底公式的意义与作用:在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简与求值.在使用换底公式时,应根据实际情况选择底数,一般将对数化为常用对数或自然对数,然后化简求值.1.已知a0且a1,则loga2+loga12=.2.若a0且a1,m0,n0,且mn,给出下列式子:logamlogan=loga(m+n);logamlogan=loga(mn);logamn=logamlogan;logam-logan=loga(m-n).其中不正确的是.3.若lg a与lg b互为相反数,则a与b的关系是.4.若a0,且a1,b0,且b1,则由换底公式可知logab=lgblga,logba=lgalgb,所以logab=1logba,试利用此结论计算1log321+1log721的值.对数运算性质的应用计算下列各式的值:(1)log535-2log573+log57-log51.8;(2)2(lg 2)2+lg2lg 5+(lg 2)2-lg2+1;(3)lg27+lg8-lg1000lg1.2;(4)(lg 5)2+lg 2+lg 2lg 5.换底公式的应用(1)化简:log56log67log78log89log910.(2)已知lg 2=a,lg 3=b,用a、b表示log312.对数的实际应用里氏震级m的计算公式为:m=lg a-lg a0,其中a是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,a0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.计算下列各式的值:(1)(lg 14-lg 25)100-12=;(2)lg 52+23lg 8+lg 5lg 20+(lg 2)2=.(1)化简:1log1213+1log1413.(2)已知a、b、c均为正数,3a=4b=6c,求证:2a+1b=2c.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)?(lg 20.3010,lg 30.4771)1.已知f(x)=log2x,则f(8)=.2.已知a0,a1,xy0,nn*,给出下列各式:(logax)n=nlogax;(logax)n=logaxn;logax=-loga1x;nlogax=1nlogax;logaxn=loganx;logax-yx+y=-logax+yx-y.其中正确的是. 3.若log34log48log8m=log416,则m等于.4.已知log53=a,log52=b,试用a、b表示log2512.(2013年浙江卷)已知x,y为正实数,则().a.2lg x+lg y=2lg x+2lg yb.2lg(x+y)=2lg x2lg yc.2lg xlg y=2lg x+2lg yd.2lg(xy)=2lg x2lg y考题变式(我来改编):第5课时对数的运算性质与换底公式知识体系梳理问题2:logam+loganlogam-logannlogam问题3:logam1+logam2+logam3+logamn问题4:(1)logcblogcanmlogab基础学习交流1.0loga2+loga12=loga(212)=loga1=0.2.本题考查对数运算性质的掌握情况,与运算性质对照可知都是错误的.3.ab=1由题意lg a+lg b=0,lg(ab)=0,ab=1.4.解:(法一)1log321+1log721=1lg21lg3+1lg21lg7=lg3lg21+lg7lg21=lg(37)lg21=1.(法二)1log321+1log721=log213+log277=log2121=1.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式=log5(57)-2(log57-log53)+log57-log595=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2;(2)原式=lg2(2lg2+lg 5)+(lg2-1)2=lg2(lg 2+lg 5)+1-lg2=lg2+1-lg2=1;(3)原式=32lg3+3lg2-32lg3+2lg2-1=3lg3+6lg2-32(lg3+2lg2-1)=32;(4)原式=lg 2+lg 5(lg 5+lg 2)=lg 2+lg 5=1.【小结】1.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯,lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到.2.对于同底的对数的化简,常用方法是:(1)将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数;(2)将积(商)的对数化成对数的和(差).探究二:【解析】(1)原式=lg6lg5lg7lg6lg8lg7lg9lg8lg10lg9=1lg5.(2)log312=lg12lg3=lg3+lg4lg3=lg3+2lg2lg3,又lg 2=a,lg 3=b,log312=b+2ab=1+2ab.【小结】换底公式的作用是化为同底,在解题时常化为常用对数或自然对数.利用换底公式可以得到如下结论:(1)loganbm=mnlogab;(2)logablogba=1;(3)logablogbclogcd=logad.探究三:【解析】由m=lg a-lg a0知,m=lg 1000-lg 0.001=3-(-3)=6,此次地震的震级为6级.设9级地震的最大振幅为a1,5级地震的最大振幅为a2,则lga1a2=lg a1-lg a2=(lg a1-lg a0)-(lg a2-lg a0)=9-5=4.a1a2=104=10000,9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.【答案】610000【小结】本题体现了对数的实际应用,在高考中为中低档难度的题目;需注意的是这个高考题其实就是我们教材上例题的改编,这就启示我们,在平时的学习中一定要抓好教材,落实好双基.思维拓展应用应用一:(1)-20(2)3(1)(lg 14-lg 25)100-12=lg 1100110=lg 10-2110=-2110=-20;(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 2+lg 5)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.应用二:(1)原式=log1312+log1314=log32+log34=log38.(2)(法一)设3a=4b=6c=k,则k0,由对数定义得:a=log3k,b=log4k,c=log6k,则左边=2a+1b=2log3k+1log4k=2logk3+logk4=logk36,右边=2c=2log6k=2logk6=logk36,2a+1b=2c.(法二)对3a=4b=6c,两边同时取常用对数得:lg 3a=lg 4b=lg 6c,alg 3=blg 4=clg 6,ca=lg3lg6=log63,cb=lg4lg6=log64,2ca+cb=log6(94)=2,2a+1b=2c.应用三:设这种放射性物质最初的质量是1,经过x年后,剩余量是y,则有y=0.75x,依题意,得13=0.75x,即x=lg 13lg0.75=-lg3lg3-lg4=lg32lg2-lg3=0.477120.301-0.47714.答:估计约经过4年,该物质的剩余量是原来的13.基础智能检测1.3f(x)=log2x,则f(8)=log28=log223=3.2.由对数的运算性质知不正确,